Theorem kardnnfi 35698

Description: The kard cardinal number of a finite ordinal is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardnnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onrankid 35611	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4	3	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
5	4	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		peano2 7887	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
7		r1fin 9758	. . 3 ⊢ (suc (rank‘𝐴) ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
9		kardval 35681	. . 3 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
10		enrefnn 9056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
11		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
12	11	elabg 3630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
13	10, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
14		scottssr1 35640	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
16	9, 15	eqsstrid 3969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17	8, 16	ssfid 9242	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  ωcom 7863   ≈ cen 8952  Fincfn 8955  𝑅₁cr1 9747  rankcrnk 9748  Scott cscott 9870  kardckard 35678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35679

This theorem is used by:  kardfi  35699