Theorem kardnnfi 35641

Description: The kard cardinal number of a finite ordinal is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardnnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7874	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onrankid 35554	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4	3	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
5	4	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		peano2 7892	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
7		r1fin 9752	. . 3 ⊢ (suc (rank‘𝐴) ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
9		kardval 35624	. . 3 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
10		enrefnn 9050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
11		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
12	11	elabg 3637	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
13	10, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
14		scottssr1 35583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
16	9, 15	eqsstrid 3976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17	8, 16	ssfid 9236	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6540  ωcom 7868   ≈ cen 8946  Fincfn 8949  𝑅₁cr1 9741  rankcrnk 9742  Scott cscott 9864  kardckard 35621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-fin 8953  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-kard 35622

This theorem is used by:  kardfi  35642