Theorem kardnnfi 35515

Description: The kard cardinal number of a finite ordinal is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardnnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7868	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onrankid 35437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4	3	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
5	4	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		peano2 7886	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
7		r1fin 9745	. . 3 ⊢ (suc (rank‘𝐴) ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
9		kardval 35498	. . 3 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
10		enrefnn 9043	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
11		breq1 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
12	11	elabg 3644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
13	10, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
14		scottssr1 35457	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
16	9, 15	eqsstrid 3983	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17	8, 16	ssfid 9229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  ωcom 7862   ≈ cen 8940  Fincfn 8943  𝑅₁cr1 9734  rankcrnk 9735  Scott cscott 9857  kardckard 35495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947  df-r1 9736  df-rank 9737  df-scott 9858  df-kard 35496

This theorem is referenced by:  kardfi  35516