Theorem kardnnfi 35703

Description: The kard cardinal number of a finite ordinal is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardnnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onrankid 35616	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4	3	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
5	4	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		peano2 7890	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
7		r1fin 9759	. . 3 ⊢ (suc (rank‘𝐴) ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
9		kardval 35686	. . 3 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
10		enrefnn 9057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
11		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
12	11	elabg 3633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
13	10, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
14		scottssr1 35645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
16	9, 15	eqsstrid 3972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17	8, 16	ssfid 9243	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  ωcom 7866   ≈ cen 8953  Fincfn 8956  𝑅₁cr1 9748  rankcrnk 9749  Scott cscott 9871  kardckard 35683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9872  df-kard 35684

This theorem is used by:  kardfi  35704