Theorem kardnnfi 35911

Description: The kard cardinal number of a finite ordinal is finite. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardnnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem kardnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7893	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onrankid 35791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) = 𝐴)
4	3	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
5	4	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		peano2 7911	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
7		r1fin 9793	. . 3 ⊢ (suc (rank‘𝐴) ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∈ Fin)
9		kardval 35894	. . 3 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
10		enrefnn 9088	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
11		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
12	11	elabg 3633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
13	10, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
14		scottssr1 35822	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
16	9, 15	eqsstrid 3951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17	8, 16	ssfid 9274	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (kard‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  Oncon0 6369  suc csuc 6371  ‘cfv 6547  ωcom 7887   ≈ cen 8984  Fincfn 8987  𝑅₁cr1 9779  rankcrnk 9780  Scott cscott 9941  kardckard 35891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-reg 9599  ax-inf2 9655

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-en 8988  df-dom 8989  df-fin 8991  df-r1 9781  df-rank 9782  df-scott 9942  df-kard 35892

This theorem is used by:  kardfi  35912