Theorem rankkardu 35910

Description: An upper bound on the rank of a kard cardinal. (Contributed by BTernaryTau, 4-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankkardu	⊢ (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem rankkardu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardval 35891	. . . 4 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
2	1	fveq2i 6896	. . 3 ⊢ (rank‘(kard‘𝐴)) = (rank‘Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3		enrefg 9022	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		breq1 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
5	4	elabg 3632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
6	3, 5	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		rankscottu 35818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → (rank‘Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}) ⊆ suc (rank‘𝐴))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (rank‘Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}) ⊆ suc (rank‘𝐴))
9	2, 8	eqsstrid 3950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
10		kardeq0 35895	. . 3 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)
11		fvex 6906	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) ∈ V
12	11	rankeq0 9887	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ (rank‘(kard‘𝐴)) = ∅)
13		0ss 4352	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ suc (rank‘𝐴)
14		sseq1 3937	. . . . 5 ⊢ ((rank‘(kard‘𝐴)) = ∅ → ((rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴) ↔ ∅ ⊆ suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((rank‘(kard‘𝐴)) = ∅ → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
16	12, 15	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
17	10, 16	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
18	9, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280   class class class wbr 5105  suc csuc 6370  ‘cfv 6546   ≈ cen 8981  rankcrnk 9777  Scott cscott 9938  kardckard 35888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-en 8985  df-r1 9778  df-rank 9779  df-scott 9939  df-kard 35889

This theorem is used by: (None)