Theorem rankkardu 35839

Description: An upper bound on the rank of a kard cardinal. (Contributed by BTernaryTau, 4-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankkardu	⊢ (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem rankkardu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardval 35820	. . . 4 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
2	1	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (rank‘(kard‘𝐴)) = (rank‘Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3		enrefg 9011	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
5	4	elabg 3630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
6	3, 5	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		rankscottu 35753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} → (rank‘Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}) ⊆ suc (rank‘𝐴))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (rank‘Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}) ⊆ suc (rank‘𝐴))
9	2, 8	eqsstrid 3969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
10		kardeq0 35824	. . 3 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)
11		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) ∈ V
12	11	rankeq0 9877	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ (rank‘(kard‘𝐴)) = ∅)
13		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ suc (rank‘𝐴)
14		sseq1 3956	. . . . 5 ⊢ ((rank‘(kard‘𝐴)) = ∅ → ((rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴) ↔ ∅ ⊆ suc (rank‘𝐴)))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((rank‘(kard‘𝐴)) = ∅ → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
16	12, 15	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
17	10, 16	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴))
18	9, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ (rank‘(kard‘𝐴)) ⊆ suc (rank‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  suc csuc 6364  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970  rankcrnk 9767  Scott cscott 9928  kardckard 35817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-en 8974  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-kard 35818

This theorem is used by: (None)