Theorem reclt1 12051

Description: The reciprocal of a positive number less than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reclt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))

Proof of Theorem reclt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11672	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		ltrec 12038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 < 1 ↔ (1 / 1) < (1 / 𝐴)))
4	1, 2, 3	mpanr12 706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 1 ↔ (1 / 1) < (1 / 𝐴)))
5		1div1e1 11845	. . 3 ⊢ (1 / 1) = 1
6	5	breq1i 5093	. 2 ⊢ ((1 / 1) < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 / 𝐴))
7	4, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  reclt1d  12999  expnngt1  14203  reeff1o  26412