Theorem lediv12a 12188

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lediv12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2		0re 11292	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltletr 11382	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
4	2, 3	mp3an1 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
5	4	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < 𝐷)
6	5	gt0ne0d 11854	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
7	1, 6	rereccld 12121	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
8		gt0ne0 11755	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
9		rereccl 12012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	10	ad2ant2r 746	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
12		recgt0 12140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 0 < (1 / 𝐷))
13	1, 5, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < (1 / 𝐷))
14		ltle 11378	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
15	2, 7, 14	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
16	13, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
17		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐷)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
19	18	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
20		lerec 12178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
21	19, 1, 5, 20	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
23	16, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
24	7, 11, 23	jca31 514	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))))
25		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ 𝐴)
27		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	jca31 514	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
29		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
30		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
31	29, 30	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)))
32		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
33	28, 31, 32	jca32 515	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)))
34		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35		simprrr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
36	34, 35	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
37		lemul12a 12152	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
38	33, 36, 37	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
39	24, 38	sylan2 592	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
40		recn 11274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		recn 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
43	42	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
44	43	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ≠ 0)
46	41, 44, 45	divrecd 12073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
47	46	ad4ant14 751	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
48		recn 11274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
50		recn 11274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
51	50	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
52	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
53	49, 51, 52	divrecd 12073	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
54	53	adantrrr 724	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
55	54	adantrlr 722	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
56	55	ad4ant24 753	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
57	39, 47, 56	3brtr4d 5198	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  lediv2a  12189  lediv12ad  13158  stoweidlem1  45922