Theorem lediv12a 11868

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lediv12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltletr 11067	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
4	2, 3	mp3an1 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
5	4	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < 𝐷)
6	5	gt0ne0d 11539	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
7	1, 6	rereccld 11802	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
8		gt0ne0 11440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
9		rereccl 11693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	10	ad2ant2r 744	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
12		recgt0 11821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 0 < (1 / 𝐷))
13	1, 5, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < (1 / 𝐷))
14		ltle 11063	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
15	2, 7, 14	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
16	13, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
17		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐷)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
19	18	ad2ant2r 744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
20		lerec 11858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
21	19, 1, 5, 20	syl12anc 834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
22	17, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
23	16, 22	jca 512	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
24	7, 11, 23	jca31 515	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))))
25		simplll 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simplrl 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ 𝐴)
27		simpllr 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	jca31 515	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
29		simprll 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
30		simprrl 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
31	29, 30	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)))
32		simprlr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
33	28, 31, 32	jca32 516	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)))
34		simplrr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35		simprrr 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
36	34, 35	jca 512	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
37		lemul12a 11833	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
38	33, 36, 37	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
39	24, 38	sylan2 593	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
40		recn 10961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		recn 10961	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
43	42	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
44	43	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ≠ 0)
46	41, 44, 45	divrecd 11754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
47	46	ad4ant14 749	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
48		recn 10961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
50		recn 10961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
51	50	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
52	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
53	49, 51, 52	divrecd 11754	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
54	53	adantrrr 722	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
55	54	adantrlr 720	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
56	55	ad4ant24 751	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
57	39, 47, 56	3brtr4d 5106	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  lediv2a  11869  lediv12ad  12831  stoweidlem1  43542