MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv12a 12107
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด / ๐ท) โ‰ค (๐ต / ๐ถ))

Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
2 0re 11216 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
3 ltletr 11306 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 < ๐ท))
42, 3mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 < ๐ท))
54imp 408 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ 0 < ๐ท)
65gt0ne0d 11778 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โ‰  0)
71, 6rereccld 12041 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (1 / ๐ท) โˆˆ โ„)
8 gt0ne0 11679 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
9 rereccl 11932 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
108, 9syldan 592 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
1110ad2ant2r 746 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
12 recgt0 12060 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท) โ†’ 0 < (1 / ๐ท))
131, 5, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ 0 < (1 / ๐ท))
14 ltle 11302 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ท)))
152, 7, 14sylancr 588 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (0 < (1 / ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ท)))
1613, 15mpd 15 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ท))
17 simprr 772 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
18 id 22 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
1918ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
20 lerec 12097 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท)) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))
2119, 1, 5, 20syl12anc 836 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))
2217, 21mpbid 231 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ))
2316, 22jca 513 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))
247, 11, 23jca31 516 . . 3 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ))))
25 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
26 simplrl 776 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
27 simpllr 775 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2825, 26, 27jca31 516 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
29 simprll 778 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ (1 / ๐ท) โˆˆ โ„)
30 simprrl 780 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ท))
3129, 30jca 513 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ ((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ท)))
32 simprlr 779 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
3328, 31, 32jca32 517 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ท)) โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)))
34 simplrr 777 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
35 simprrr 781 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ))
3634, 35jca 513 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))
37 lemul12a 12072 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ท)) โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ท)) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
3833, 36, 37sylc 65 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / ๐ท) โˆง (1 / ๐ท) โ‰ค (1 / ๐ถ)))) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ท)) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
3924, 38sylan2 594 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ท)) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
40 recn 11200 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4140adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 recn 11200 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4342ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4443adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
456adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ ๐ท โ‰  0)
4641, 44, 45divrecd 11993 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด / ๐ท) = (๐ด ยท (1 / ๐ท)))
4746ad4ant14 751 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด / ๐ท) = (๐ด ยท (1 / ๐ท)))
48 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4948adantr 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
50 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5150ad2antrl 727 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
528adantl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5349, 51, 52divrecd 11993 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
5453adantrrr 724 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
5554adantrlr 722 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
5655ad4ant24 753 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
5739, 47, 563brtr4d 5181 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด / ๐ท) โ‰ค (๐ต / ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by:  lediv2a  12108  lediv12ad  13075  stoweidlem1  44717
  Copyright terms: Public domain W3C validator