Theorem lediv12a 12103

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lediv12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2		0re 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltletr 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
4	2, 3	mp3an1 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
5	4	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < 𝐷)
6	5	gt0ne0d 11774	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
7	1, 6	rereccld 12037	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
8		gt0ne0 11675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
9		rereccl 11928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	10	ad2ant2r 746	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
12		recgt0 12056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 0 < (1 / 𝐷))
13	1, 5, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < (1 / 𝐷))
14		ltle 11298	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
15	2, 7, 14	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
16	13, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
17		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐷)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
19	18	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
20		lerec 12093	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
21	19, 1, 5, 20	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
22	17, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
23	16, 22	jca 513	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
24	7, 11, 23	jca31 516	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))))
25		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ 𝐴)
27		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	jca31 516	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
29		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
30		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
31	29, 30	jca 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)))
32		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
33	28, 31, 32	jca32 517	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)))
34		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35		simprrr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
36	34, 35	jca 513	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
37		lemul12a 12068	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
38	33, 36, 37	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
39	24, 38	sylan2 594	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
40		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		recn 11196	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
43	42	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
44	43	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	6	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ≠ 0)
46	41, 44, 45	divrecd 11989	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
47	46	ad4ant14 751	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
48		recn 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
50		recn 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
51	50	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
52	8	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
53	49, 51, 52	divrecd 11989	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
54	53	adantrrr 724	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
55	54	adantrlr 722	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
56	55	ad4ant24 753	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
57	39, 47, 56	3brtr4d 5179	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868

This theorem is referenced by:  lediv2a  12104  lediv12ad  13071  stoweidlem1  44652