Theorem lediv12a 12085

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lediv12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltletr 11275	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
4	2, 3	mp3an1 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < 𝐷))
5	4	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < 𝐷)
6	5	gt0ne0d 11751	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
7	1, 6	rereccld 12018	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
8		gt0ne0 11652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
9		rereccl 11909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	syldan 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	10	ad2ant2r 757	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
12		recgt0 12037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 0 < (1 / 𝐷))
13	1, 5, 12	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 < (1 / 𝐷))
14		ltle 11271	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
15	2, 7, 14	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 < (1 / 𝐷) → 0 ≤ (1 / 𝐷)))
16	13, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
17		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐷)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
19	18	ad2ant2r 757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
20		lerec 12075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
21	19, 1, 5, 20	syl12anc 847	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
22	17, 21	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
23	16, 22	jca 519	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
24	7, 11, 23	jca31 522	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))))
25		simplll 784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simplrl 786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ 𝐴)
27		simpllr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	jca31 522	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
29		simprll 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
30		simprrl 790	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 0 ≤ (1 / 𝐷))
31	29, 30	jca 519	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → ((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)))
32		simprlr 789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
33	28, 31, 32	jca32 523	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)))
34		simplrr 787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35		simprrr 791	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶))
36	34, 35	jca 519	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))
37		lemul12a 12049	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐷)) ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
38	33, 36, 37	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐷) ∧ (1 / 𝐷) ≤ (1 / 𝐶)))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
39	24, 38	sylan2 602	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · (1 / 𝐷)) ≤ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
40		recn 11163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		recn 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
43	42	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
44	43	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	6	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → 𝐷 ≠ 0)
46	41, 44, 45	divrecd 11970	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
47	46	ad4ant14 762	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) = (𝐴 · (1 / 𝐷)))
48		recn 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
50		recn 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
51	50	ad2antrl 738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
52	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
53	49, 51, 52	divrecd 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
54	53	adantrrr 735	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
55	54	adantrlr 733	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
56	55	ad4ant24 764	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
57	39, 47, 56	3brtr4d 5132	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217   / cdiv 11844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845

This theorem is referenced by:  lediv2a  12086  lediv12ad  13096  stoweidlem1  46572