Theorem ltnegs 28051

Description: Negative of both sides of surreal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltnegs	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))

Proof of Theorem ltnegs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnegsim 28044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))
2		negscl 28042	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
3		negscl 28042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
4		ltnegsim 28044	. . . 4 ⊢ ((( -us ‘𝐵) ∈ No ∧ ( -us ‘𝐴) ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) <s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anr 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) <s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
6		negnegs 28050	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
7		negnegs 28050	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
8	6, 7	breqan12d 5102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) <s ( -us ‘( -us ‘𝐵)) ↔ 𝐴 <s 𝐵))
9	5, 8	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
10	1, 9	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492   No csur 27617   <s clts 27618   -u_s cnegs 28025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-nadd 8595  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-les 27723  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837  df-norec 27944  df-norec2 27955  df-adds 27966  df-negs 28027

This theorem is referenced by:  lenegs  28052  ltnegsd  28053  lt0negs2d  28057  ltsubs2  28083  mulscan2d  28185  recsex  28225  elnnzs  28407