Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesub3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesub3d 11247
 Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lesub3d.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
lesub3d.g (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
lesub3d.l (𝜑𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
lesub3d (𝜑𝐶 ≤ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem lesub3d
StepHypRef Expression
1 ltadd1d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10659 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 lesub3d.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
54, 1readdcld 10659 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
6 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
71recnd 10658 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
82recnd 10658 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
97, 8addcomd 10831 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
10 lesub3d.l . . . . 5 (𝜑𝐵𝑋)
112, 4, 1, 10leadd1dd 11243 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))
129, 11eqbrtrd 5064 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝑋 + 𝐶))
13 lesub3d.g . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
143, 5, 6, 12, 13letrd 10786 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴)
15 leaddsub 11105 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴𝐶 ≤ (𝐴𝐵)))
161, 2, 6, 15syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴𝐶 ≤ (𝐴𝐵)))
1714, 16mpbid 235 1 (𝜑𝐶 ≤ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℝcr 10525   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862 This theorem is referenced by:  prmgaplem8  16383  bcmono  25859  fltnlta  39549
 Copyright terms: Public domain W3C validator