Theorem lesub3d 11935

Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lesub3d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
lesub3d.g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
lesub3d.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lesub3d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lesub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lesub3d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4, 1	readdcld 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	1	recnd 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	recnd 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcomd 11513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
10		lesub3d.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)
11	2, 4, 1, 10	leadd1dd 11931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))
12	9, 11	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝑋 + 𝐶))
13		lesub3d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
14	3, 5, 6, 12, 13	letrd 11468	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴)
15		leaddsub 11793	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
17	14, 16	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7421  ℝcr 11200   + caddc 11204   ≤ cle 11345   − cmin 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545

This theorem is used by:  prmgaplem8  17237  bcmono  27605  fltnlta  43676