Theorem lesub3d 11741

Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lesub3d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
lesub3d.g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
lesub3d.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lesub3d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lesub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lesub3d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4, 1	readdcld 11147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	1	recnd 11146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	recnd 11146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcomd 11321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
10		lesub3d.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)
11	2, 4, 1, 10	leadd1dd 11737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))
12	9, 11	eqbrtrd 5115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝑋 + 𝐶))
13		lesub3d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
14	3, 5, 6, 12, 13	letrd 11276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴)
15		leaddsub 11599	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
17	14, 16	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11011   + caddc 11015   ≤ cle 11153   − cmin 11350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353

This theorem is referenced by:  prmgaplem8  16976  bcmono  27221  fltnlta  42762