Theorem lesub3d 11881

Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lesub3d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
lesub3d.g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
lesub3d.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lesub3d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lesub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lesub3d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4, 1	readdcld 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	1	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcomd 11463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
10		lesub3d.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)
11	2, 4, 1, 10	leadd1dd 11877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))
12	9, 11	eqbrtrd 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝑋 + 𝐶))
13		lesub3d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
14	3, 5, 6, 12, 13	letrd 11418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴)
15		leaddsub 11739	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
17	14, 16	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  prmgaplem8  17096  bcmono  27321  fltnlta  42673