Theorem lesub3d 11247

Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lesub3d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
lesub3d.g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
lesub3d.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lesub3d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lesub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lesub3d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4, 1	readdcld 10659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	1	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcomd 10831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
10		lesub3d.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)
11	2, 4, 1, 10	leadd1dd 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))
12	9, 11	eqbrtrd 5052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝑋 + 𝐶))
13		lesub3d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
14	3, 5, 6, 12, 13	letrd 10786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴)
15		leaddsub 11105	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
17	14, 16	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  prmgaplem8  16384  bcmono  25861  fltnlta  39619