Theorem lesub3d 11974

Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lesub3d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
lesub3d.g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
lesub3d.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lesub3d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lesub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		lesub3d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4, 1	readdcld 11377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	1	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcomd 11551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
10		lesub3d.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑋)
11	2, 4, 1, 10	leadd1dd 11970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))
12	9, 11	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝑋 + 𝐶))
13		lesub3d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐶) ≤ 𝐴)
14	3, 5, 6, 12, 13	letrd 11506	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴)
15		leaddsub 11832	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
17	14, 16	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   + caddc 11242   ≤ cle 11383   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  prmgaplem8  17280  bcmono  27661  fltnlta  43940