Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnlta Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnlta 41048
Description: In a Fermat counterexample, the exponent ๐‘ is less than all three numbers (๐ด, ๐ต, and ๐ถ). Note that ๐ด < ๐ต (hypothesis) and ๐ต < ๐ถ (fltltc 41046). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 41046 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
fltltc.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
fltltc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
fltltc.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
fltltc.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
fltnlta.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fltnlta (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)

Proof of Theorem fltnlta
StepHypRef Expression
1 fltltc.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
2 eluzge3nn 12823 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnred 12176 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5 fltltc.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
65nnred 12176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
7 fltltc.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
87nnred 12176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
96, 8resubcld 11591 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
10 uzuzle23 12822 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
11 uz2m1nn 12856 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1312nnnn0d 12481 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
146, 13reexpcld 14077 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
1512nnred 12176 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
168, 13reexpcld 14077 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
1715, 16remulcld 11193 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1814, 17readdcld 11192 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
199, 18remulcld 11193 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) โˆˆ โ„)
20 fltltc.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2120nnrpd 12963 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2212nnzd 12534 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2321, 22rpexpcld 14159 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
2419, 23rerpdivcld 12996 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
2520nnred 12176 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2616, 17readdcld 11192 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
279, 26remulcld 11193 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) โˆˆ โ„)
2827, 23rerpdivcld 12996 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
299, 4remulcld 11193 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
30 1cnd 11158 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3112nncnd 12177 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3216recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3330, 31, 32adddird 11188 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
343nncnd 12177 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3530, 34pncan3d 11523 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ 1)) = ๐‘)
3635oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3732mulid2d 11181 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
3837oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
3933, 36, 383eqtr3rd 2782 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4039oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4140oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4241, 28eqeltrrd 2835 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
433nnnn0d 12481 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4443nn0ge0d 12484 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
45 1red 11164 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
46 fltltc.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
4720, 7, 5, 1, 46fltltc 41046 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ถ)
48 nnltp1le 12567 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ))
497, 5, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ)
518leidd 11729 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ต)
526, 8, 45, 8, 50, 51lesub3d 11781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต))
534, 9, 44, 52lemulge12d 12101 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
549recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5523rpred 12965 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
5655recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5754, 34, 56mulassd 11186 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
5857oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
5954, 34mulcld 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6020nncnd 12177 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6120nnne0d 12211 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
6260, 61, 22expne0d 14066 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
6359, 56, 62divcan4d 11945 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
6458, 63eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
654, 55remulcld 11193 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
669, 65remulcld 11193 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
6740, 27eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
6839, 26eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
69 difrp 12961 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
708, 6, 69syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
7147, 70mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+)
723nnrpd 12963 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
737nnrpd 12963 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
74 fltnlta.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
7521, 73, 12, 74ltexp1dd 40856 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
7655, 16, 72, 75ltmul2dd 13021 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7765, 68, 71, 76ltmul2dd 13021 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
7866, 67, 23, 77ltdiv1dd 13022 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7964, 78eqbrtrrd 5133 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
804, 29, 42, 53, 79lelttrd 11321 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8180, 41breqtrrd 5137 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
825nnrpd 12963 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
8373, 82, 12, 47ltexp1dd 40856 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) < (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
8416, 14, 17, 83ltadd1dd 11774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
8526, 18, 71, 84ltmul2dd 13021 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))))
8627, 19, 23, 85ltdiv1dd 13022 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
874, 28, 24, 81, 86lttrd 11324 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8825, 43reexpcld 14077 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
8920, 7, 5, 1, 46fltnltalem 41047 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < (๐ดโ†‘๐‘))
9019, 88, 23, 89ltdiv1dd 13022 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9134, 30nncand 11525 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = 1)
9291oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘1))
933nnzd 12534 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9460, 61, 22, 93expsubd 14071 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9560exp1d 14055 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
9692, 94, 953eqtr3d 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐ด)
9790, 96breqtrd 5135 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ๐ด)
984, 24, 25, 87, 97lttrd 11324 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  3c3 12217  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator