Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnlta Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnlta 39416
Description: 𝑁 is less than 𝐴. See https://www.youtu.be/EymVXkPWxyc for an outline. (Contributed by Steven Nguyen, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltne.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltne.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
fltnlta.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fltnlta (𝜑𝑁 < 𝐴)

Proof of Theorem fltnlta
StepHypRef Expression
1 fltne.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 eluzge3nn 12268 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnred 11630 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 fltne.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
65nnred 11630 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 fltne.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnred 11630 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 11045 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
10 uzuzle23 12267 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 uz2m1nn 12301 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1312nnnn0d 11933 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
146, 13reexpcld 13511 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1512nnred 11630 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
168, 13reexpcld 13511 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1715, 16remulcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 10647 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
199, 18remulcld 10648 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
20 fltne.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2120nnrpd 12407 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2212nnzd 12064 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2321, 22rpexpcld 13592 . . 3 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
2419, 23rerpdivcld 12440 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
2520nnred 11630 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2616, 17readdcld 10647 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
279, 26remulcld 10648 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
2827, 23rerpdivcld 12440 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
299, 4remulcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ)
30 1cnd 10613 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3112nncnd 11631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3216recnd 10646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
3330, 31, 32adddird 10643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
343nncnd 11631 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3530, 34pncan3d 10977 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
3635oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
3732mulid2d 10636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
3837oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
3933, 36, 383eqtr3rd 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
4039oveq2d 7146 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
4140oveq1d 7145 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
4241, 28eqeltrrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
433nnnn0d 11933 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4443nn0ge0d 11936 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
45 1red 10619 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
46 fltne.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
4720, 7, 5, 1, 46fltltc 39414 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 𝐶)
48 nnltp1le 12016 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
497, 5, 48syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
5047, 49mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)
518leidd 11183 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
526, 8, 45, 8, 50, 51lesub3d 11235 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (𝐶𝐵))
534, 9, 44, 52lemulge12d 11555 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ ((𝐶𝐵) · 𝑁))
549recnd 10646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
5523rpred 12409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
5655recnd 10646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5754, 34, 56mulassd 10641 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
5857oveq1d 7145 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
5954, 34mulcld 10638 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ)
6020nncnd 11631 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6120nnne0d 11665 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
6260, 61, 22expne0d 13500 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
6359, 56, 62divcan4d 11399 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · 𝑁))
6458, 63eqtr3d 2858 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · 𝑁))
654, 55remulcld 10648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
669, 65remulcld 10648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
6740, 27eqeltrrd 2913 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
6839, 26eqeltrrd 2913 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
69 difrp 12405 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
708, 6, 69syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
7147, 70mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
723nnrpd 12407 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
737nnrpd 12407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
74 fltnlta.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7521, 73, 12, 74ltexp1dd 39315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1)))
7655, 16, 72, 75ltmul2dd 12465 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
7765, 68, 71, 76ltmul2dd 12465 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
7866, 67, 23, 77ltdiv1dd 12466 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
7964, 78eqbrtrrd 5063 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
804, 29, 42, 53, 79lelttrd 10775 . . . 4 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
8180, 41breqtrrd 5067 . . 3 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
825nnrpd 12407 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
8373, 82, 12, 47ltexp1dd 39315 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1)))
8416, 14, 17, 83ltadd1dd 11228 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
8526, 18, 71, 84ltmul2dd 12465 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))))
8627, 19, 23, 85ltdiv1dd 12466 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
874, 28, 24, 81, 86lttrd 10778 . 2 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
8825, 43reexpcld 13511 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
8920, 7, 5, 1, 46fltnltalem 39415 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))
9019, 88, 23, 89ltdiv1dd 12466 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
9134, 30nncand 10979 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1)
9291oveq2d 7146 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1))
933nnzd 12064 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9460, 61, 22, 93expsubd 13505 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
9560exp1d 13489 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
9692, 94, 953eqtr3d 2864 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴)
9790, 96breqtrd 5065 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴)
984, 24, 25, 87, 97lttrd 10778 1 (𝜑𝑁 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653  cmin 10847   / cdiv 11274  cn 11615  2c2 11670  3c3 11671  cuz 12221  +crp 12367  cexp 13413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator