fltnlta - Mathbox for Steven Nguyen

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Theorem fltnlta 43496

Description: In a Fermat counterexample, the exponent 𝑁 is less than all three numbers (𝐴, 𝐵, and 𝐶). Note that 𝐴 < 𝐵 (hypothesis) and 𝐵 < 𝐶 (fltltc 43494). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 43494 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltnlta.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
fltnlta	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴)

**Proof of Theorem fltnlta**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
2		eluz3nn 12941	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12275	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		fltltc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		fltltc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
10		uzuzle23 12936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
11		uz2m1nn 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
12	1, 10, 11	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	6, 13	reexpcld 14229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
15	12	nnred 12275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16	8, 13	reexpcld 14229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 17	readdcld 11265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
19	9, 18	remulcld 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
20		fltltc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 13086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
22	12	nnzd 12644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
23	21, 22	rpexpcld 14313	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
24	19, 23	rerpdivcld 13119	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
25	20	nnred 12275	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
26	16, 17	readdcld 11265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
27	9, 26	remulcld 11266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
28	27, 23	rerpdivcld 13119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
29	9, 4	remulcld 11266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ)
30		1cnd 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
31	12	nncnd 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
32	16	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	adddird 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
34	3	nncnd 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
35	30, 34	pncan3d 11599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
36	35	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
37	32	mullidd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
38	37	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
40	39	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
41	40	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
42	41, 28	eqeltrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
43	3	nnnn0d 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	43	nn0ge0d 12595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
45		1red 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
46		fltltc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
47	20, 7, 5, 1, 46	fltltc 43494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
48		nnltp1le 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
49	7, 5, 48	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)
51	8	leidd 11807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
52	6, 8, 45, 8, 50, 51	lesub3d 11859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐶 − 𝐵))
53	4, 9, 44, 52	lemulge12d 12180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
54	9	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
55	23	rpred 13088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
57	54, 34, 56	mulassd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
58	57	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
59	54, 34	mulcld 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ)
60	20	nncnd 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
61	20	nnne0d 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
62	60, 61, 22	expne0d 14218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
63	59, 56, 62	divcan4d 12024	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
64	58, 63	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
65	4, 55	remulcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
66	9, 65	remulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
67	40, 27	eqeltrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
68	39, 26	eqeltrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
69		difrp 13084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
70	8, 6, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
71	47, 70	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺)
72	3	nnrpd 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
73	7	nnrpd 13086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
74		fltnlta.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
75	21, 73, 12, 74	ltexp1dd 14326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1)))
76	55, 16, 72, 75	ltmul2dd 13144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
77	65, 68, 71, 76	ltmul2dd 13144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
78	66, 67, 23, 77	ltdiv1dd 13145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
79	64, 78	eqbrtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
80	4, 29, 42, 53, 79	lelttrd 11395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
81	80, 41	breqtrrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
82	5	nnrpd 13086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
83	73, 82, 12, 47	ltexp1dd 14326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1)))
84	16, 14, 17, 83	ltadd1dd 11852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
85	26, 18, 71, 84	ltmul2dd 13144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))))
86	27, 19, 23, 85	ltdiv1dd 13145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
87	4, 28, 24, 81, 86	lttrd 11398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
88	25, 43	reexpcld 14229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
89	20, 7, 5, 1, 46	fltnltalem 43495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))
90	19, 88, 23, 89	ltdiv1dd 13145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
91	34, 30	nncand 11601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1)
92	91	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1))
93	3	nnzd 12644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94	60, 61, 22, 93	expsubd 14223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
95	60	exp1d 14207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
96	92, 94, 95	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴)
97	90, 96	breqtrd 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴)
98	4, 24, 25, 87, 97	lttrd 11398	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 class class class wbr 5107 ‘cfv 6537 (class class class)co 7416 ℝcr 11126 1c1 11128 + caddc 11130 · cmul 11132 < clt 11270 ≤ cle 11271 − cmin 11468 / cdiv 11898 ℕcn 12260 2c2 12322 3c3 12323 ℤ_≥cuz 12890 ℝ⁺crp 13044 ↑cexp 14127

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7739 ax-inf2 9623 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204 ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-se 5613 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7866 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8458 df-er 8699 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-sup 9415 df-oi 9485 df-card 9947 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11899 df-nn 12261 df-2 12330 df-3 12331 df-n0 12532 df-z 12619 df-uz 12891 df-rp 13045 df-ico 13406 df-fz 13564 df-fzo 13712 df-seq 14068 df-exp 14128 df-hash 14397 df-cj 15188 df-re 15189 df-im 15190 df-sqrt 15324 df-abs 15325 df-clim 15577 df-sum 15776

This theorem is used by: (None)

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