fltnlta - Mathbox for Steven Nguyen

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Theorem fltnlta 41964

Description: In a Fermat counterexample, the exponent 𝑁 is less than all three numbers (𝐴, 𝐵, and 𝐶). Note that 𝐴 < 𝐵 (hypothesis) and 𝐵 < 𝐶 (fltltc 41962). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 41962 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltnlta.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
fltnlta	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴)

**Proof of Theorem fltnlta**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
2		eluzge3nn 12875	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12228	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		fltltc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		fltltc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
10		uzuzle23 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
11		uz2m1nn 12908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
12	1, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	6, 13	reexpcld 14131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
15	12	nnred 12228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16	8, 13	reexpcld 14131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 17	readdcld 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
19	9, 18	remulcld 11245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
20		fltltc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 13017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
22	12	nnzd 12586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
23	21, 22	rpexpcld 14213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
24	19, 23	rerpdivcld 13050	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
25	20	nnred 12228	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
26	16, 17	readdcld 11244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
27	9, 26	remulcld 11245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
28	27, 23	rerpdivcld 13050	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
29	9, 4	remulcld 11245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ)
30		1cnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
31	12	nncnd 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
32	16	recnd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	adddird 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
34	3	nncnd 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
35	30, 34	pncan3d 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
36	35	oveq1d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
37	32	mullidd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
38	37	oveq1d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
40	39	oveq2d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
41	40	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
42	41, 28	eqeltrrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
43	3	nnnn0d 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	43	nn0ge0d 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
45		1red 11216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
46		fltltc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
47	20, 7, 5, 1, 46	fltltc 41962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
48		nnltp1le 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
49	7, 5, 48	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
50	47, 49	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)
51	8	leidd 11781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
52	6, 8, 45, 8, 50, 51	lesub3d 11833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐶 − 𝐵))
53	4, 9, 44, 52	lemulge12d 12153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
54	9	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
55	23	rpred 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
57	54, 34, 56	mulassd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
58	57	oveq1d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
59	54, 34	mulcld 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ)
60	20	nncnd 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
61	20	nnne0d 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
62	60, 61, 22	expne0d 14120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
63	59, 56, 62	divcan4d 11997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
64	58, 63	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
65	4, 55	remulcld 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
66	9, 65	remulcld 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
67	40, 27	eqeltrrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
68	39, 26	eqeltrrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
69		difrp 13015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
70	8, 6, 69	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
71	47, 70	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺)
72	3	nnrpd 13017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
73	7	nnrpd 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
74		fltnlta.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
75	21, 73, 12, 74	ltexp1dd 41760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1)))
76	55, 16, 72, 75	ltmul2dd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
77	65, 68, 71, 76	ltmul2dd 13075	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
78	66, 67, 23, 77	ltdiv1dd 13076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
79	64, 78	eqbrtrrd 5165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
80	4, 29, 42, 53, 79	lelttrd 11373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
81	80, 41	breqtrrd 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
82	5	nnrpd 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
83	73, 82, 12, 47	ltexp1dd 41760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1)))
84	16, 14, 17, 83	ltadd1dd 11826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
85	26, 18, 71, 84	ltmul2dd 13075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))))
86	27, 19, 23, 85	ltdiv1dd 13076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
87	4, 28, 24, 81, 86	lttrd 11376	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
88	25, 43	reexpcld 14131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
89	20, 7, 5, 1, 46	fltnltalem 41963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))
90	19, 88, 23, 89	ltdiv1dd 13076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
91	34, 30	nncand 11577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1)
92	91	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1))
93	3	nnzd 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94	60, 61, 22, 93	expsubd 14125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
95	60	exp1d 14109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
96	92, 94, 95	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴)
97	90, 96	breqtrd 5167	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴)
98	4, 24, 25, 87, 97	lttrd 11376	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 class class class wbr 5141 ‘cfv 6536 (class class class)co 7404 ℝcr 11108 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 < clt 11249 ≤ cle 11250 − cmin 11445 / cdiv 11872 ℕcn 12213 2c2 12268 3c3 12269 ℤ_≥cuz 12823 ℝ⁺crp 12977 ↑cexp 14030

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-rp 12978 df-ico 13333 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-exp 14031 df-hash 14294 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-clim 15436 df-sum 15637

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