Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnlta Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnlta 41401
Description: In a Fermat counterexample, the exponent 𝑁 is less than all three numbers (𝐴, 𝐵, and 𝐶). Note that 𝐴 < 𝐵 (hypothesis) and 𝐵 < 𝐶 (fltltc 41399). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 41399 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltltc.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
fltnlta.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fltnlta (𝜑𝑁 < 𝐴)

Proof of Theorem fltnlta
StepHypRef Expression
1 fltltc.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 eluzge3nn 12870 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnred 12223 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 fltltc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
65nnred 12223 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 fltltc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnred 12223 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 11638 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
10 uzuzle23 12869 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 uz2m1nn 12903 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1312nnnn0d 12528 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
146, 13reexpcld 14124 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1512nnred 12223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
168, 13reexpcld 14124 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1715, 16remulcld 11240 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 11239 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
199, 18remulcld 11240 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
20 fltltc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2120nnrpd 13010 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2212nnzd 12581 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2321, 22rpexpcld 14206 . . 3 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
2419, 23rerpdivcld 13043 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
2520nnred 12223 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2616, 17readdcld 11239 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
279, 26remulcld 11240 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
2827, 23rerpdivcld 13043 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
299, 4remulcld 11240 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ)
30 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3112nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3216recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
3330, 31, 32adddird 11235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
343nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3530, 34pncan3d 11570 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
3635oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
3732mullidd 11228 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
3837oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
3933, 36, 383eqtr3rd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
4039oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
4140oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
4241, 28eqeltrrd 2834 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
433nnnn0d 12528 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4443nn0ge0d 12531 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
45 1red 11211 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
46 fltltc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
4720, 7, 5, 1, 46fltltc 41399 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 𝐶)
48 nnltp1le 12614 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
497, 5, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)
518leidd 11776 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
526, 8, 45, 8, 50, 51lesub3d 11828 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (𝐶𝐵))
534, 9, 44, 52lemulge12d 12148 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ ((𝐶𝐵) · 𝑁))
549recnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
5523rpred 13012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
5655recnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5754, 34, 56mulassd 11233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
5857oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
5954, 34mulcld 11230 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ)
6020nncnd 12224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6120nnne0d 12258 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
6260, 61, 22expne0d 14113 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
6359, 56, 62divcan4d 11992 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · 𝑁))
6458, 63eqtr3d 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · 𝑁))
654, 55remulcld 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
669, 65remulcld 11240 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
6740, 27eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
6839, 26eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
69 difrp 13008 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
708, 6, 69syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
7147, 70mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
723nnrpd 13010 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
737nnrpd 13010 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
74 fltnlta.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7521, 73, 12, 74ltexp1dd 41209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1)))
7655, 16, 72, 75ltmul2dd 13068 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
7765, 68, 71, 76ltmul2dd 13068 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
7866, 67, 23, 77ltdiv1dd 13069 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
7964, 78eqbrtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
804, 29, 42, 53, 79lelttrd 11368 . . . 4 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
8180, 41breqtrrd 5175 . . 3 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
825nnrpd 13010 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
8373, 82, 12, 47ltexp1dd 41209 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1)))
8416, 14, 17, 83ltadd1dd 11821 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
8526, 18, 71, 84ltmul2dd 13068 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))))
8627, 19, 23, 85ltdiv1dd 13069 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
874, 28, 24, 81, 86lttrd 11371 . 2 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
8825, 43reexpcld 14124 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
8920, 7, 5, 1, 46fltnltalem 41400 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))
9019, 88, 23, 89ltdiv1dd 13069 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
9134, 30nncand 11572 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1)
9291oveq2d 7421 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1))
933nnzd 12581 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9460, 61, 22, 93expsubd 14118 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
9560exp1d 14102 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
9692, 94, 953eqtr3d 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴)
9790, 96breqtrd 5173 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴)
984, 24, 25, 87, 97lttrd 11371 1 (𝜑𝑁 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  cuz 12818  +crp 12970  cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator