fltnlta - Mathbox for Steven Nguyen

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Theorem fltnlta 43015

Description: In a Fermat counterexample, the exponent 𝑁 is less than all three numbers (𝐴, 𝐵, and 𝐶). Note that 𝐴 < 𝐵 (hypothesis) and 𝐵 < 𝐶 (fltltc 43013). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 43013 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltnlta.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
fltnlta	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴)

**Proof of Theorem fltnlta**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
2		eluz3nn 12814	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		fltltc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		fltltc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
10		uzuzle23 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
11		uz2m1nn 12848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
12	1, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	6, 13	reexpcld 14098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
15	12	nnred 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16	8, 13	reexpcld 14098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 17	readdcld 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
19	9, 18	remulcld 11174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
20		fltltc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 12959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
22	12	nnzd 12526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
23	21, 22	rpexpcld 14182	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
24	19, 23	rerpdivcld 12992	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
25	20	nnred 12172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
26	16, 17	readdcld 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
27	9, 26	remulcld 11174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
28	27, 23	rerpdivcld 12992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
29	9, 4	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ)
30		1cnd 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
31	12	nncnd 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
32	16	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	adddird 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
34	3	nncnd 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
35	30, 34	pncan3d 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
36	35	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
37	32	mullidd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
38	37	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
40	39	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
41	40	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
42	41, 28	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
43	3	nnnn0d 12474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	43	nn0ge0d 12477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
45		1red 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
46		fltltc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
47	20, 7, 5, 1, 46	fltltc 43013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
48		nnltp1le 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
49	7, 5, 48	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)
51	8	leidd 11715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
52	6, 8, 45, 8, 50, 51	lesub3d 11767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐶 − 𝐵))
53	4, 9, 44, 52	lemulge12d 12092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
54	9	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
55	23	rpred 12961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
57	54, 34, 56	mulassd 11167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
58	57	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
59	54, 34	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ)
60	20	nncnd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
61	20	nnne0d 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
62	60, 61, 22	expne0d 14087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
63	59, 56, 62	divcan4d 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
64	58, 63	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁))
65	4, 55	remulcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
66	9, 65	remulcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
67	40, 27	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
68	39, 26	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
69		difrp 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
70	8, 6, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺))
71	47, 70	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ⁺)
72	3	nnrpd 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
73	7	nnrpd 12959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
74		fltnlta.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
75	21, 73, 12, 74	ltexp1dd 14195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1)))
76	55, 16, 72, 75	ltmul2dd 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
77	65, 68, 71, 76	ltmul2dd 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
78	66, 67, 23, 77	ltdiv1dd 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
79	64, 78	eqbrtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
80	4, 29, 42, 53, 79	lelttrd 11303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
81	80, 41	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
82	5	nnrpd 12959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
83	73, 82, 12, 47	ltexp1dd 14195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1)))
84	16, 14, 17, 83	ltadd1dd 11760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
85	26, 18, 71, 84	ltmul2dd 13017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))))
86	27, 19, 23, 85	ltdiv1dd 13018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
87	4, 28, 24, 81, 86	lttrd 11306	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
88	25, 43	reexpcld 14098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
89	20, 7, 5, 1, 46	fltnltalem 43014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁))
90	19, 88, 23, 89	ltdiv1dd 13018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
91	34, 30	nncand 11509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1)
92	91	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1))
93	3	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94	60, 61, 22, 93	expsubd 14092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
95	60	exp1d 14076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
96	92, 94, 95	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴)
97	90, 96	breqtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴)
98	4, 24, 25, 87, 97	lttrd 11306	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 class class class wbr 5100 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℝcr 11037 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 / cdiv 11806 ℕcn 12157 2c2 12212 3c3 12213 ℤ_≥cuz 12763 ℝ⁺crp 12917 ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-se 5586 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-sup 9357 df-oi 9427 df-card 9863 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-ico 13279 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-seq 13937 df-exp 13997 df-hash 14266 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-clim 15423 df-sum 15622

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