Proof of Theorem fltnlta
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fltne.n |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘3)) |
2 | | eluzge3nn 12291 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
4 | 3 | nnred 11653 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
5 | | fltne.c |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ) |
6 | 5 | nnred 11653 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
7 | | fltne.b |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ) |
8 | 7 | nnred 11653 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
9 | 6, 8 | resubcld 11068 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) |
10 | | uzuzle23 12290 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘2)) |
11 | | uz2m1nn 12324 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ) |
12 | 1, 10, 11 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ) |
13 | 12 | nnnn0d 11956 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
14 | 6, 13 | reexpcld 13528 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ) |
15 | 12 | nnred 11653 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ) |
16 | 8, 13 | reexpcld 13528 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ) |
17 | 15, 16 | remulcld 10671 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
18 | 14, 17 | readdcld 10670 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
19 | 9, 18 | remulcld 10671 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈
ℝ) |
20 | | fltne.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ) |
21 | 20 | nnrpd 12430 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ+) |
22 | 12 | nnzd 12087 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ) |
23 | 21, 22 | rpexpcld 13609 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ+) |
24 | 19, 23 | rerpdivcld 12463 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
25 | 20 | nnred 11653 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
26 | 16, 17 | readdcld 10670 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
27 | 9, 26 | remulcld 10671 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈
ℝ) |
28 | 27, 23 | rerpdivcld 12463 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
29 | 9, 4 | remulcld 10671 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ) |
30 | | 1cnd 10636 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
31 | 12 | nncnd 11654 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ) |
32 | 16 | recnd 10669 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
33 | 30, 31, 32 | adddird 10666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
34 | 3 | nncnd 11654 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
35 | 30, 34 | pncan3d 11000 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁) |
36 | 35 | oveq1d 7171 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) |
37 | 32 | mulid2d 10659 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1))) |
38 | 37 | oveq1d 7171 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
39 | 33, 36, 38 | 3eqtr3rd 2865 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) |
40 | 39 | oveq2d 7172 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
41 | 40 | oveq1d 7171 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
42 | 41, 28 | eqeltrrd 2914 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
43 | 3 | nnnn0d 11956 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
44 | 43 | nn0ge0d 11959 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
45 | | 1red 10642 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
46 | | fltne.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁)) |
47 | 20, 7, 5, 1, 46 | fltltc 39322 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶) |
48 | | nnltp1le 12039 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)) |
49 | 7, 5, 48 | syl2anc 586 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)) |
50 | 47, 49 | mpbid 234 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶) |
51 | 8 | leidd 11206 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵) |
52 | 6, 8, 45, 8, 50, 51 | lesub3d 11258 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
53 | 4, 9, 44, 52 | lemulge12d 11578 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁)) |
54 | 9 | recnd 10669 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
55 | 23 | rpred 12432 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ) |
56 | 55 | recnd 10669 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
57 | 54, 34, 56 | mulassd 10664 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))))) |
58 | 57 | oveq1d 7171 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
59 | 54, 34 | mulcld 10661 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ) |
60 | 20 | nncnd 11654 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
61 | 20 | nnne0d 11688 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
62 | 60, 61, 22 | expne0d 13517 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0) |
63 | 59, 56, 62 | divcan4d 11422 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁)) |
64 | 58, 63 | eqtr3d 2858 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁)) |
65 | 4, 55 | remulcld 10671 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
66 | 9, 65 | remulcld 10671 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
67 | 40, 27 | eqeltrrd 2914 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
68 | 39, 26 | eqeltrrd 2914 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
69 | | difrp 12428 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈
ℝ+)) |
70 | 8, 6, 69 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈
ℝ+)) |
71 | 47, 70 | mpbid 234 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈
ℝ+) |
72 | 3 | nnrpd 12430 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
73 | 7 | nnrpd 12430 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ+) |
74 | | fltnlta.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
75 | 21, 73, 12, 74 | ltexp1dd 39240 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1))) |
76 | 55, 16, 72, 75 | ltmul2dd 12488 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) |
77 | 65, 68, 71, 76 | ltmul2dd 12488 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
78 | 66, 67, 23, 77 | ltdiv1dd 12489 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
79 | 64, 78 | eqbrtrrd 5090 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
80 | 4, 29, 42, 53, 79 | lelttrd 10798 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
81 | 80, 41 | breqtrrd 5094 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
82 | 5 | nnrpd 12430 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ+) |
83 | 73, 82, 12, 47 | ltexp1dd 39240 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1))) |
84 | 16, 14, 17, 83 | ltadd1dd 11251 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
85 | 26, 18, 71, 84 | ltmul2dd 12488 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))) |
86 | 27, 19, 23, 85 | ltdiv1dd 12489 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
87 | 4, 28, 24, 81, 86 | lttrd 10801 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
88 | 25, 43 | reexpcld 13528 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ) |
89 | 20, 7, 5, 1, 46 | fltnltalem 39323 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁)) |
90 | 19, 88, 23, 89 | ltdiv1dd 12489 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
91 | 34, 30 | nncand 11002 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1) |
92 | 91 | oveq2d 7172 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1)) |
93 | 3 | nnzd 12087 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
94 | 60, 61, 22, 93 | expsubd 13522 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
95 | 60 | exp1d 13506 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴) |
96 | 92, 94, 95 | 3eqtr3d 2864 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴) |
97 | 90, 96 | breqtrd 5092 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴) |
98 | 4, 24, 25, 87, 97 | lttrd 10801 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴) |