Proof of Theorem fltnlta
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fltltc.n |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘3)) |
| 2 | | eluzge3nn 12932 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 4 | 3 | nnred 12281 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 5 | | fltltc.c |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ) |
| 6 | 5 | nnred 12281 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 7 | | fltltc.b |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ) |
| 8 | 7 | nnred 12281 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 9 | 6, 8 | resubcld 11691 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) |
| 10 | | uzuzle23 12931 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 11 | | uz2m1nn 12965 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ) |
| 12 | 1, 10, 11 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ) |
| 13 | 12 | nnnn0d 12587 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
| 14 | 6, 13 | reexpcld 14203 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ) |
| 15 | 12 | nnred 12281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ) |
| 16 | 8, 13 | reexpcld 14203 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ) |
| 17 | 15, 16 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
| 18 | 14, 17 | readdcld 11290 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
| 19 | 9, 18 | remulcld 11291 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈
ℝ) |
| 20 | | fltltc.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ) |
| 21 | 20 | nnrpd 13075 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ+) |
| 22 | 12 | nnzd 12640 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ) |
| 23 | 21, 22 | rpexpcld 14286 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ+) |
| 24 | 19, 23 | rerpdivcld 13108 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
| 25 | 20 | nnred 12281 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 26 | 16, 17 | readdcld 11290 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
| 27 | 9, 26 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈
ℝ) |
| 28 | 27, 23 | rerpdivcld 13108 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
| 29 | 9, 4 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ) |
| 30 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 31 | 12 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ) |
| 32 | 16 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
| 33 | 30, 31, 32 | adddird 11286 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
| 34 | 3 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 35 | 30, 34 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁) |
| 36 | 35 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) |
| 37 | 32 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1))) |
| 38 | 37 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
| 39 | 33, 36, 38 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) |
| 40 | 39 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
| 41 | 40 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 42 | 41, 28 | eqeltrrd 2842 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
| 43 | 3 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 44 | 43 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 45 | | 1red 11262 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 46 | | fltltc.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁)) |
| 47 | 20, 7, 5, 1, 46 | fltltc 42671 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶) |
| 48 | | nnltp1le 12674 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)) |
| 49 | 7, 5, 48 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)) |
| 50 | 47, 49 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶) |
| 51 | 8 | leidd 11829 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵) |
| 52 | 6, 8, 45, 8, 50, 51 | lesub3d 11881 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
| 53 | 4, 9, 44, 52 | lemulge12d 12206 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁)) |
| 54 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 55 | 23 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈
ℝ) |
| 56 | 55 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
| 57 | 54, 34, 56 | mulassd 11284 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))))) |
| 58 | 57 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 59 | 54, 34 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 60 | 20 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 61 | 20 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
| 62 | 60, 61, 22 | expne0d 14192 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0) |
| 63 | 59, 56, 62 | divcan4d 12049 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁)) |
| 64 | 58, 63 | eqtr3d 2779 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁)) |
| 65 | 4, 55 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
| 66 | 9, 65 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
| 67 | 40, 27 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈
ℝ) |
| 68 | 39, 26 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈
ℝ) |
| 69 | | difrp 13073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈
ℝ+)) |
| 70 | 8, 6, 69 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈
ℝ+)) |
| 71 | 47, 70 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈
ℝ+) |
| 72 | 3 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 73 | 7 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ+) |
| 74 | | fltnlta.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
| 75 | 21, 73, 12, 74 | ltexp1dd 14299 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1))) |
| 76 | 55, 16, 72, 75 | ltmul2dd 13133 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) |
| 77 | 65, 68, 71, 76 | ltmul2dd 13133 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
| 78 | 66, 67, 23, 77 | ltdiv1dd 13134 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 79 | 64, 78 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑁) < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 80 | 4, 29, 42, 53, 79 | lelttrd 11419 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 81 | 80, 41 | breqtrrd 5171 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 82 | 5 | nnrpd 13075 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ+) |
| 83 | 73, 82, 12, 47 | ltexp1dd 14299 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1))) |
| 84 | 16, 14, 17, 83 | ltadd1dd 11874 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) |
| 85 | 26, 18, 71, 84 | ltmul2dd 13133 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))) |
| 86 | 27, 19, 23, 85 | ltdiv1dd 13134 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 87 | 4, 28, 24, 81, 86 | lttrd 11422 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 88 | 25, 43 | reexpcld 14203 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ) |
| 89 | 20, 7, 5, 1, 46 | fltnltalem 42672 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴↑𝑁)) |
| 90 | 19, 88, 23, 89 | ltdiv1dd 13134 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 91 | 34, 30 | nncand 11625 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1) |
| 92 | 91 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1)) |
| 93 | 3 | nnzd 12640 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 94 | 60, 61, 22, 93 | expsubd 14197 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1)))) |
| 95 | 60 | exp1d 14181 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴) |
| 96 | 92, 94, 95 | 3eqtr3d 2785 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴) |
| 97 | 90, 96 | breqtrd 5169 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴) |
| 98 | 4, 24, 25, 87, 97 | lttrd 11422 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐴) |