Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnlta Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnlta 42673
Description: In a Fermat counterexample, the exponent 𝑁 is less than all three numbers (𝐴, 𝐵, and 𝐶). Note that 𝐴 < 𝐵 (hypothesis) and 𝐵 < 𝐶 (fltltc 42671). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 42671 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltltc.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
fltnlta.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fltnlta (𝜑𝑁 < 𝐴)

Proof of Theorem fltnlta
StepHypRef Expression
1 fltltc.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 eluzge3nn 12932 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnred 12281 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 fltltc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
65nnred 12281 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 fltltc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnred 12281 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 11691 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
10 uzuzle23 12931 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 uz2m1nn 12965 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1312nnnn0d 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
146, 13reexpcld 14203 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1512nnred 12281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
168, 13reexpcld 14203 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1715, 16remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
199, 18remulcld 11291 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
20 fltltc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2120nnrpd 13075 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2212nnzd 12640 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2321, 22rpexpcld 14286 . . 3 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
2419, 23rerpdivcld 13108 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
2520nnred 12281 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2616, 17readdcld 11290 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
279, 26remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℝ)
2827, 23rerpdivcld 13108 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
299, 4remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) ∈ ℝ)
30 1cnd 11256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3112nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3216recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
3330, 31, 32adddird 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
343nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3530, 34pncan3d 11623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
3635oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1)) · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
3732mullidd 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) = (𝐵↑(𝑁 − 1)))
3837oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
3933, 36, 383eqtr3rd 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
4039oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) = ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
4140oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
4241, 28eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
433nnnn0d 12587 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4443nn0ge0d 12590 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
45 1red 11262 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
46 fltltc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
4720, 7, 5, 1, 46fltltc 42671 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 𝐶)
48 nnltp1le 12674 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
497, 5, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐶))
5047, 49mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 1) ≤ 𝐶)
518leidd 11829 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
526, 8, 45, 8, 50, 51lesub3d 11881 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (𝐶𝐵))
534, 9, 44, 52lemulge12d 12206 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ ((𝐶𝐵) · 𝑁))
549recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
5523rpred 13077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
5655recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5754, 34, 56mulassd 11284 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
5857oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
5954, 34mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) ∈ ℂ)
6020nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6120nnne0d 12316 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
6260, 61, 22expne0d 14192 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
6359, 56, 62divcan4d 12049 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶𝐵) · 𝑁) · (𝐴↑(𝑁 − 1))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · 𝑁))
6458, 63eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = ((𝐶𝐵) · 𝑁))
654, 55remulcld 11291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
669, 65remulcld 11291 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
6740, 27eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℝ)
6839, 26eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
69 difrp 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
708, 6, 69syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
7147, 70mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
723nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
737nnrpd 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
74 fltnlta.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7521, 73, 12, 74ltexp1dd 14299 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − 1)) < (𝐵↑(𝑁 − 1)))
7655, 16, 72, 75ltmul2dd 13133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1))))
7765, 68, 71, 76ltmul2dd 13133 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
7866, 67, 23, 77ltdiv1dd 13134 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐴↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
7964, 78eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · 𝑁) < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
804, 29, 42, 53, 79lelttrd 11419 . . . 4 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · (𝑁 · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
8180, 41breqtrrd 5171 . . 3 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
825nnrpd 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
8373, 82, 12, 47ltexp1dd 14299 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 − 1)) < (𝐶↑(𝑁 − 1)))
8416, 14, 17, 83ltadd1dd 11874 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))) < ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1)))))
8526, 18, 71, 84ltmul2dd 13133 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))))
8627, 19, 23, 85ltdiv1dd 13134 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐵↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
874, 28, 24, 81, 86lttrd 11422 . 2 (𝜑𝑁 < (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
8825, 43reexpcld 14203 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
8920, 7, 5, 1, 46fltnltalem 42672 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) < (𝐴𝑁))
9019, 88, 23, 89ltdiv1dd 13134 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
9134, 30nncand 11625 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 − 1)) = 1)
9291oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = (𝐴↑1))
933nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9460, 61, 22, 93expsubd 14197 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))))
9560exp1d 14181 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
9692, 94, 953eqtr3d 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑁) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) = 𝐴)
9790, 96breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) · ((𝐶↑(𝑁 − 1)) + ((𝑁 − 1) · (𝐵↑(𝑁 − 1))))) / (𝐴↑(𝑁 − 1))) < 𝐴)
984, 24, 25, 87, 97lttrd 11422 1 (𝜑𝑁 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  cuz 12878  +crp 13034  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator