Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnlta Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnlta 41406
Description: In a Fermat counterexample, the exponent ๐‘ is less than all three numbers (๐ด, ๐ต, and ๐ถ). Note that ๐ด < ๐ต (hypothesis) and ๐ต < ๐ถ (fltltc 41404). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 41404 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
fltltc.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
fltltc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
fltltc.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
fltltc.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
fltnlta.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fltnlta (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)

Proof of Theorem fltnlta
StepHypRef Expression
1 fltltc.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
2 eluzge3nn 12873 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnred 12226 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5 fltltc.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
65nnred 12226 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
7 fltltc.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
87nnred 12226 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
96, 8resubcld 11641 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
10 uzuzle23 12872 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
11 uz2m1nn 12906 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1312nnnn0d 12531 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
146, 13reexpcld 14127 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
1512nnred 12226 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
168, 13reexpcld 14127 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
1715, 16remulcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1814, 17readdcld 11242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
199, 18remulcld 11243 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) โˆˆ โ„)
20 fltltc.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2120nnrpd 13013 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2212nnzd 12584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2321, 22rpexpcld 14209 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
2419, 23rerpdivcld 13046 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
2520nnred 12226 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2616, 17readdcld 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
279, 26remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) โˆˆ โ„)
2827, 23rerpdivcld 13046 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
299, 4remulcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
30 1cnd 11208 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3112nncnd 12227 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3216recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3330, 31, 32adddird 11238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
343nncnd 12227 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3530, 34pncan3d 11573 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ 1)) = ๐‘)
3635oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3732mullidd 11231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
3837oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
3933, 36, 383eqtr3rd 2781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4039oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4140oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4241, 28eqeltrrd 2834 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
433nnnn0d 12531 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4443nn0ge0d 12534 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
45 1red 11214 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
46 fltltc.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
4720, 7, 5, 1, 46fltltc 41404 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ถ)
48 nnltp1le 12617 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ))
497, 5, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ)
518leidd 11779 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ต)
526, 8, 45, 8, 50, 51lesub3d 11831 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต))
534, 9, 44, 52lemulge12d 12151 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
549recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5523rpred 13015 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
5655recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5754, 34, 56mulassd 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
5857oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
5954, 34mulcld 11233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6020nncnd 12227 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6120nnne0d 12261 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
6260, 61, 22expne0d 14116 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
6359, 56, 62divcan4d 11995 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
6458, 63eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
654, 55remulcld 11243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
669, 65remulcld 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
6740, 27eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
6839, 26eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
69 difrp 13011 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
708, 6, 69syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
7147, 70mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+)
723nnrpd 13013 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
737nnrpd 13013 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
74 fltnlta.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
7521, 73, 12, 74ltexp1dd 41214 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
7655, 16, 72, 75ltmul2dd 13071 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7765, 68, 71, 76ltmul2dd 13071 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
7866, 67, 23, 77ltdiv1dd 13072 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7964, 78eqbrtrrd 5172 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
804, 29, 42, 53, 79lelttrd 11371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8180, 41breqtrrd 5176 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
825nnrpd 13013 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
8373, 82, 12, 47ltexp1dd 41214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) < (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
8416, 14, 17, 83ltadd1dd 11824 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
8526, 18, 71, 84ltmul2dd 13071 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))))
8627, 19, 23, 85ltdiv1dd 13072 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
874, 28, 24, 81, 86lttrd 11374 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8825, 43reexpcld 14127 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
8920, 7, 5, 1, 46fltnltalem 41405 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < (๐ดโ†‘๐‘))
9019, 88, 23, 89ltdiv1dd 13072 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9134, 30nncand 11575 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = 1)
9291oveq2d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘1))
933nnzd 12584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9460, 61, 22, 93expsubd 14121 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9560exp1d 14105 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
9692, 94, 953eqtr3d 2780 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐ด)
9790, 96breqtrd 5174 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ๐ด)
984, 24, 25, 87, 97lttrd 11374 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  โ„คโ‰ฅcuz 12821  โ„+crp 12973  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator