Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltnlta Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltnlta 42090
Description: In a Fermat counterexample, the exponent ๐‘ is less than all three numbers (๐ด, ๐ต, and ๐ถ). Note that ๐ด < ๐ต (hypothesis) and ๐ต < ๐ถ (fltltc 42088). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 42088 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltltc.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
fltltc.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
fltltc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
fltltc.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
fltltc.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
fltnlta.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fltnlta (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)

Proof of Theorem fltnlta
StepHypRef Expression
1 fltltc.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
2 eluzge3nn 12910 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnred 12263 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5 fltltc.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
65nnred 12263 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
7 fltltc.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
87nnred 12263 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
96, 8resubcld 11678 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
10 uzuzle23 12909 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
11 uz2m1nn 12943 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1312nnnn0d 12568 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
146, 13reexpcld 14165 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
1512nnred 12263 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
168, 13reexpcld 14165 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
1715, 16remulcld 11280 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1814, 17readdcld 11279 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
199, 18remulcld 11280 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) โˆˆ โ„)
20 fltltc.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2120nnrpd 13052 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2212nnzd 12621 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2321, 22rpexpcld 14247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
2419, 23rerpdivcld 13085 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
2520nnred 12263 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2616, 17readdcld 11279 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
279, 26remulcld 11280 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) โˆˆ โ„)
2827, 23rerpdivcld 13085 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
299, 4remulcld 11280 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
30 1cnd 11245 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3112nncnd 12264 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3216recnd 11278 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3330, 31, 32adddird 11275 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
343nncnd 12264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3530, 34pncan3d 11610 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ 1)) = ๐‘)
3635oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3732mullidd 11268 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
3837oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
3933, 36, 383eqtr3rd 2776 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4039oveq2d 7440 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4140oveq1d 7439 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4241, 28eqeltrrd 2829 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
433nnnn0d 12568 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4443nn0ge0d 12571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
45 1red 11251 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
46 fltltc.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
4720, 7, 5, 1, 46fltltc 42088 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ถ)
48 nnltp1le 12654 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ))
497, 5, 48syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + 1) โ‰ค ๐ถ)
518leidd 11816 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ต)
526, 8, 45, 8, 50, 51lesub3d 11868 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต))
534, 9, 44, 52lemulge12d 12188 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
549recnd 11278 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5523rpred 13054 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
5655recnd 11278 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5754, 34, 56mulassd 11273 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
5857oveq1d 7439 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
5954, 34mulcld 11270 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6020nncnd 12264 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6120nnne0d 12298 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
6260, 61, 22expne0d 14154 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
6359, 56, 62divcan4d 12032 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
6458, 63eqtr3d 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘))
654, 55remulcld 11280 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
669, 65remulcld 11280 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
6740, 27eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
6839, 26eqeltrrd 2829 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
69 difrp 13050 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
708, 6, 69syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
7147, 70mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+)
723nnrpd 13052 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
737nnrpd 13052 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
74 fltnlta.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
7521, 73, 12, 74ltexp1dd 41886 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
7655, 16, 72, 75ltmul2dd 13110 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7765, 68, 71, 76ltmul2dd 13110 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
7866, 67, 23, 77ltdiv1dd 13111 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7964, 78eqbrtrrd 5174 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
804, 29, 42, 53, 79lelttrd 11408 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐‘ ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8180, 41breqtrrd 5178 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
825nnrpd 13052 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
8373, 82, 12, 47ltexp1dd 41886 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) < (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
8416, 14, 17, 83ltadd1dd 11861 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) < ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
8526, 18, 71, 84ltmul2dd 13110 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))))
8627, 19, 23, 85ltdiv1dd 13111 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
874, 28, 24, 81, 86lttrd 11411 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8825, 43reexpcld 14165 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
8920, 7, 5, 1, 46fltnltalem 42089 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < (๐ดโ†‘๐‘))
9019, 88, 23, 89ltdiv1dd 13111 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9134, 30nncand 11612 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = 1)
9291oveq2d 7440 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘1))
933nnzd 12621 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9460, 61, 22, 93expsubd 14159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9560exp1d 14143 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
9692, 94, 953eqtr3d 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐ด)
9790, 96breqtrd 5176 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) / (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) < ๐ด)
984, 24, 25, 87, 97lttrd 11411 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5150  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   < clt 11284   โ‰ค cle 11285   โˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  2c2 12303  3c3 12304  โ„คโ‰ฅcuz 12858  โ„+crp 13012  โ†‘cexp 14064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13368  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator