MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem8 16993
Description: Lemma for prmgap 16994. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
prmgaplem7.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„• ↑m β„•))
prmgaplem7.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑁)1 < (((πΉβ€˜π‘) + 𝑖) gcd 𝑖))
Assertion
Ref Expression
prmgaplem8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,π‘ž,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,π‘ž,𝑧   𝑖,𝑁   πœ‘,𝑝,π‘ž,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8
StepHypRef Expression
1 prmnn 16613 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„•)
21nnred 12229 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ ℝ)
32ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
4 prmnn 16613 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
54nnred 12229 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
8 prmgaplem7.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
98nnred 12229 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
12 prmgaplem7.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„• ↑m β„•))
13 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (β„• ↑m β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
14 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)
1514ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•))
1612, 13, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•))
178, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)
1817nnred 12229 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2019adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
21 1red 11217 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 11245 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ∈ ℝ)
2317nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
24 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
258nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2623, 24, 25add32d 11443 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) = (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) = (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1))
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) = (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1))
2917nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
318nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3330, 32zaddcld 12672 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) ∈ β„€)
34 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
35 zltp1le 12614 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ↔ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1) ≀ π‘ž))
3633, 34, 35syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ↔ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1) ≀ π‘ž))
3736biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1) ≀ π‘ž)
3828, 37eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž)
3938expcom 414 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž))
4039adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž))
4140imp 407 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž)
42 df-2 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (1 + 1)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 = (1 + 1))
4443oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 2) = ((πΉβ€˜π‘) + (1 + 1)))
4523, 24, 24addassd 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1) = ((πΉβ€˜π‘) + (1 + 1)))
4644, 45eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 2) = (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 2) = (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1))
4847breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ↔ 𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1)))
49 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
5029peano2zd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ∈ β„€)
51 zleltp1 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ↔ 𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1)))
5249, 50, 51syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ↔ 𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1)))
5352biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5448, 53sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5554adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5655com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5857imp 407 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1))
593, 7, 11, 22, 41, 58lesub3d 11834 . . . . . 6 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝))
6059ex 413 . . . . 5 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝)))
61603adant3 1132 . . . 4 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝)))
6261impcom 408 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝))
63 simpr3 1196 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
6462, 63jca 512 . 2 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)) β†’ (𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
65 prmgaplem7.i . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑁)1 < (((πΉβ€˜π‘) + 𝑖) gcd 𝑖))
668, 12, 65prmgaplem7 16992 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
6764, 66reximddv2 3212 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„•cn 12214  2c2 12269  β„€cz 12560  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629   gcd cgcd 16437  β„™cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  prmgap  16994  prmgaplcm  16995  prmgapprmo  16997
  Copyright terms: Public domain W3C validator