Theorem prmgaplem8 17092

Description: Lemma for prmgap 17093. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem8	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
3	2	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4		prmnn 16708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8		prmgaplem7.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		prmgaplem7.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
13		elmapi 8888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
16	12, 13, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
17	8, 16	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
18	17	nnred 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
21		1red 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	readdcld 11288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℝ)
23	17	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
24		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25	8	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	add32d 11487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
29	17	nnzd 12638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
31	8	nnzd 12638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	30, 32	zaddcld 12724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34		prmz 16709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35		zltp1le 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
36	33, 34, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
38	28, 37	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
39	38	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
41	40	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42		df-2 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (1 + 1)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 = (1 + 1))
44	43	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
45	23, 24, 24	addassd 11281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
46	44, 45	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
48	47	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
49		prmz 16709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
50	29	peano2zd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51		zleltp1 12666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
52	49, 50, 51	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
53	52	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
54	48, 53	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
56	55	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
58	57	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))
59	3, 7, 11, 22, 41, 58	lesub3d 11879	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
61	60	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
62	61	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
63		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
64	62, 63	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65		prmgaplem7.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
66	8, 12, 65	prmgaplem7 17091	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
67	64, 66	reximddv2 3213	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691   gcd cgcd 16528  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  prmgap  17093  prmgaplcm  17094  prmgapprmo  17096