MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem8 17096
Description: Lemma for prmgap 17097. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
Assertion
Ref Expression
prmgaplem8 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8
StepHypRef Expression
1 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
21nnred 12281 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
32ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4 prmnn 16711 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
54nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8 prmgaplem7.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 prmgaplem7.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
13 elmapi 8889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
1514ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℕ))
1612, 13, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℕ))
178, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
1817nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
21 1red 11262 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 11290 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℝ)
2317nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
24 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
258nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2623, 24, 25add32d 11489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2917nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
318nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3330, 32zaddcld 12726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34 prmz 16712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
3633, 34, 35syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
3736biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
3828, 37eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
3938expcom 413 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
4140imp 406 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42 df-2 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (1 + 1)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 = (1 + 1))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 2) = ((𝐹𝑁) + (1 + 1)))
4523, 24, 24addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹𝑁) + (1 + 1)))
4644, 45eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 2) = (((𝐹𝑁) + 1) + 1))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 2) = (((𝐹𝑁) + 1) + 1))
4847breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
49 prmz 16712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5029peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51 zleltp1 12668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
5249, 50, 51syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
5352biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5448, 53sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5554adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5655com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5756adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5857imp 406 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1))
593, 7, 11, 22, 41, 58lesub3d 11881 . . . . . 6 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝))
6059ex 412 . . . . 5 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝)))
61603adant3 1133 . . . 4 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝)))
6261impcom 407 . . 3 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝))
63 simpr3 1197 . . 3 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
6462, 63jca 511 . 2 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65 prmgaplem7.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
668, 12, 65prmgaplem7 17095 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
6764, 66reximddv2 3215 1 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   gcd cgcd 16531  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  prmgap  17097  prmgaplcm  17098  prmgapprmo  17100
  Copyright terms: Public domain W3C validator