Proof of Theorem prmgaplem8
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | prmnn 15760 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈
ℕ) |
2 | 1 | nnred 11367 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈
ℝ) |
3 | 2 | ad2antll 722 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ) |
4 | | prmnn 15760 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℕ) |
5 | 4 | nnred 11367 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℝ) |
6 | 5 | ad2antlr 720 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ) |
7 | 6 | adantl 475 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ) |
8 | | prmgaplem7.n |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
9 | 8 | nnred 11367 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
10 | 9 | ad2antrr 719 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ) |
11 | 10 | adantl 475 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
12 | | prmgaplem7.f |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑𝑚
ℕ)) |
13 | | elmapi 8144 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐹 ∈ (ℕ
↑𝑚 ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ) |
14 | | ffvelrn 6606 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧
𝑁 ∈ ℕ) →
(𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) |
15 | 14 | ex 403 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ →
(𝑁 ∈ ℕ →
(𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) |
16 | 12, 13, 15 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) |
17 | 8, 16 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) |
18 | 17 | nnred 11367 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) |
19 | 18 | ad2antrr 719 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) |
20 | 19 | adantl 475 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) |
21 | | 1red 10357 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈
ℝ) |
22 | 20, 21 | readdcld 10386 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℝ) |
23 | 17 | nncnd 11368 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) |
24 | | 1cnd 10351 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
25 | 8 | nncnd 11368 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
26 | 23, 24, 25 | add32d 10582 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) |
27 | 26 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) |
28 | 27 | ad2antrr 719 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) |
29 | 17 | nnzd 11809 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) |
30 | 29 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) |
31 | 8 | nnzd 11809 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
32 | 31 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ) |
33 | 30, 32 | zaddcld 11814 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ) |
34 | | prmz 15761 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈
ℤ) |
35 | | zltp1le 11755 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)) |
36 | 33, 34, 35 | syl2an 591 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)) |
37 | 36 | biimpa 470 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞) |
38 | 28, 37 | eqbrtrd 4895 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞) |
39 | 38 | expcom 404 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)) |
40 | 39 | adantl 475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)) |
41 | 40 | imp 397 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞) |
42 | | df-2 11414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 = (1 +
1) |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 = (1 +
1)) |
44 | 43 | oveq2d 6921 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1))) |
45 | 23, 24, 24 | addassd 10379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1))) |
46 | 44, 45 | eqtr4d 2864 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)) |
47 | 46 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)) |
48 | 47 | breq2d 4885 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))) |
49 | | prmz 15761 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℤ) |
50 | 29 | peano2zd 11813 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ) |
51 | | zleltp1 11756 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))) |
52 | 49, 50, 51 | syl2anr 592 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))) |
53 | 52 | biimprd 240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))) |
54 | 48, 53 | sylbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))) |
55 | 54 | adantr 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))) |
56 | 55 | com12 32 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))) |
57 | 56 | adantr 474 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))) |
58 | 57 | imp 397 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)) |
59 | 3, 7, 11, 22, 41, 58 | lesub3d 10970 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)) |
60 | 59 | ex 403 |
. . . . 5
⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))) |
61 | 60 | 3adant3 1168 |
. . . 4
⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))) |
62 | 61 | impcom 398 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)) |
63 | | simpr3 1258 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) |
64 | 62, 63 | jca 509 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) |
65 | | prmgaplem7.i |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)) |
66 | 8, 12, 65 | prmgaplem7 16132 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) |
67 | 64, 66 | reximddv2 3229 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) |