Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | prmnn 16557 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β π β
β) |
2 | 1 | nnred 12175 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β π β
β) |
3 | 2 | ad2antll 728 |
. . . . . . 7
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β π β β) |
4 | | prmnn 16557 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β π β
β) |
5 | 4 | nnred 12175 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β π β
β) |
6 | 5 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β β) β π β β) |
7 | 6 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β π β β) |
8 | | prmgaplem7.n |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β) |
9 | 8 | nnred 12175 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β β) |
10 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β β) β π β β) |
11 | 10 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β π β β) |
12 | | prmgaplem7.f |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β πΉ β (β βm
β)) |
13 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ β (β
βm β) β πΉ:ββΆβ) |
14 | | ffvelcdm 7037 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΉ:ββΆβ β§
π β β) β
(πΉβπ) β β) |
15 | 14 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ:ββΆβ β
(π β β β
(πΉβπ) β β)) |
16 | 12, 13, 15 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π β β β (πΉβπ) β β)) |
17 | 8, 16 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΉβπ) β β) |
18 | 17 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΉβπ) β β) |
19 | 18 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β β) β (πΉβπ) β β) |
20 | 19 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β (πΉβπ) β β) |
21 | | 1red 11163 |
. . . . . . . 8
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β 1 β
β) |
22 | 20, 21 | readdcld 11191 |
. . . . . . 7
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β ((πΉβπ) + 1) β β) |
23 | 17 | nncnd 12176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (πΉβπ) β β) |
24 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β 1 β
β) |
25 | 8 | nncnd 12176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β β) |
26 | 23, 24, 25 | add32d 11389 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (((πΉβπ) + 1) + π) = (((πΉβπ) + π) + 1)) |
27 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (((πΉβπ) + 1) + π) = (((πΉβπ) + π) + 1)) |
28 | 27 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β β) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β (((πΉβπ) + 1) + π) = (((πΉβπ) + π) + 1)) |
29 | 17 | nnzd 12533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (πΉβπ) β β€) |
30 | 29 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β) β (πΉβπ) β β€) |
31 | 8 | nnzd 12533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β β€) |
32 | 31 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β) β π β β€) |
33 | 30, 32 | zaddcld 12618 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β ((πΉβπ) + π) β β€) |
34 | | prmz 16558 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β π β
β€) |
35 | | zltp1le 12560 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΉβπ) + π) β β€ β§ π β β€) β (((πΉβπ) + π) < π β (((πΉβπ) + π) + 1) β€ π)) |
36 | 33, 34, 35 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π β β) β (((πΉβπ) + π) < π β (((πΉβπ) + π) + 1) β€ π)) |
37 | 36 | biimpa 478 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β β) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β (((πΉβπ) + π) + 1) β€ π) |
38 | 28, 37 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β β) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β (((πΉβπ) + 1) + π) β€ π) |
39 | 38 | expcom 415 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΉβπ) + π) < π β (((π β§ π β β) β§ π β β) β (((πΉβπ) + 1) + π) β€ π)) |
40 | 39 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β (((π β§ π β β) β§ π β β) β (((πΉβπ) + 1) + π) β€ π)) |
41 | 40 | imp 408 |
. . . . . . 7
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β (((πΉβπ) + 1) + π) β€ π) |
42 | | df-2 12223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ 2 = (1 +
1) |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β 2 = (1 +
1)) |
44 | 43 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β ((πΉβπ) + 2) = ((πΉβπ) + (1 + 1))) |
45 | 23, 24, 24 | addassd 11184 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (((πΉβπ) + 1) + 1) = ((πΉβπ) + (1 + 1))) |
46 | 44, 45 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((πΉβπ) + 2) = (((πΉβπ) + 1) + 1)) |
47 | 46 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β ((πΉβπ) + 2) = (((πΉβπ) + 1) + 1)) |
48 | 47 | breq2d 5122 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (π < ((πΉβπ) + 2) β π < (((πΉβπ) + 1) + 1))) |
49 | | prmz 16558 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β π β
β€) |
50 | 29 | peano2zd 12617 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((πΉβπ) + 1) β β€) |
51 | | zleltp1 12561 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β€ β§ ((πΉβπ) + 1) β β€) β (π β€ ((πΉβπ) + 1) β π < (((πΉβπ) + 1) + 1))) |
52 | 49, 50, 51 | syl2anr 598 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β (π β€ ((πΉβπ) + 1) β π < (((πΉβπ) + 1) + 1))) |
53 | 52 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (π < (((πΉβπ) + 1) + 1) β π β€ ((πΉβπ) + 1))) |
54 | 48, 53 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β (π < ((πΉβπ) + 2) β π β€ ((πΉβπ) + 1))) |
55 | 54 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β β) β (π < ((πΉβπ) + 2) β π β€ ((πΉβπ) + 1))) |
56 | 55 | com12 32 |
. . . . . . . . 9
β’ (π < ((πΉβπ) + 2) β (((π β§ π β β) β§ π β β) β π β€ ((πΉβπ) + 1))) |
57 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β (((π β§ π β β) β§ π β β) β π β€ ((πΉβπ) + 1))) |
58 | 57 | imp 408 |
. . . . . . 7
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β π β€ ((πΉβπ) + 1)) |
59 | 3, 7, 11, 22, 41, 58 | lesub3d 11780 |
. . . . . 6
β’ (((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β§ ((π β§ π β β) β§ π β β)) β π β€ (π β π)) |
60 | 59 | ex 414 |
. . . . 5
β’ ((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π) β (((π β§ π β β) β§ π β β) β π β€ (π β π))) |
61 | 60 | 3adant3 1133 |
. . . 4
β’ ((π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β) β (((π β§ π β β) β§ π β β) β π β€ (π β π))) |
62 | 61 | impcom 409 |
. . 3
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β β) β§ (π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β)) β π β€ (π β π)) |
63 | | simpr3 1197 |
. . 3
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β β) β§ (π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β)) β βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β) |
64 | 62, 63 | jca 513 |
. 2
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β β) β§ (π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β)) β (π β€ (π β π) β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β)) |
65 | | prmgaplem7.i |
. . 3
β’ (π β βπ β (2...π)1 < (((πΉβπ) + π) gcd π)) |
66 | 8, 12, 65 | prmgaplem7 16936 |
. 2
β’ (π β βπ β β βπ β β (π < ((πΉβπ) + 2) β§ ((πΉβπ) + π) < π β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β)) |
67 | 64, 66 | reximddv2 3207 |
1
β’ (π β βπ β β βπ β β (π β€ (π β π) β§ βπ§ β ((π + 1)..^π)π§ β β)) |