Theorem prmgaplem8 17154

Description: Lemma for prmgap 17155. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem8	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
3	2	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4		prmnn 16768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8		prmgaplem7.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		prmgaplem7.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
13		elmapi 8851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
15	14	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
16	12, 13, 15	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
17	8, 16	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
18	17	nnred 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
21		1red 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	readdcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℝ)
23	17	nncnd 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
24		1cnd 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25	8	nncnd 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	add32d 11465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
29	17	nnzd 12644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
31	8	nnzd 12644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	30, 32	zaddcld 12732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34		prmz 16769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35		zltp1le 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
36	33, 34, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
37	36	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
38	28, 37	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
39	38	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
40	39	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
41	40	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42		df-2 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (1 + 1)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 = (1 + 1))
44	43	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
45	23, 24, 24	addassd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
46	44, 45	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
48	47	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
49		prmz 16769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
50	29	peano2zd 12731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51		zleltp1 12672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
52	49, 50, 51	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
53	52	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
54	48, 53	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
56	55	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
57	56	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
58	57	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))
59	3, 7, 11, 22, 41, 58	lesub3d 11859	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
60	59	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
61	60	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
62	61	impcom 413	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
63		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
64	62, 63	jca 521	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65		prmgaplem7.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
66	8, 12, 65	prmgaplem7 17153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
67	64, 66	reximddv2 3223	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  ℤcz 12618  ...cfz 13563  ..^cfzo 13711   gcd cgcd 16588  ℙcprime 16765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766

This theorem is used by:  prmgap  17155  prmgaplcm  17156  prmgapprmo  17158