MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem8 16397
Description: Lemma for prmgap 16398. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
Assertion
Ref Expression
prmgaplem8 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8
StepHypRef Expression
1 prmnn 16021 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
21nnred 11656 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
32ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4 prmnn 16021 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
54nnred 11656 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
76adantl 484 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8 prmgaplem7.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnred 11656 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantl 484 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 prmgaplem7.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
13 elmapi 8431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14 ffvelrn 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
1514ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℕ))
1612, 13, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℕ))
178, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
1817nnred 11656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
2019adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
21 1red 10645 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 10673 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℝ)
2317nncnd 11657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
24 1cnd 10639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
258nncnd 11657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2623, 24, 25add32d 10870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2726adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2917nnzd 12089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
318nnzd 12089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3231adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3330, 32zaddcld 12094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34 prmz 16022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35 zltp1le 12035 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
3633, 34, 35syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
3736biimpa 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
3828, 37eqbrtrd 5091 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
3938expcom 416 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
4039adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
4140imp 409 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42 df-2 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (1 + 1)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 = (1 + 1))
4443oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 2) = ((𝐹𝑁) + (1 + 1)))
4523, 24, 24addassd 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹𝑁) + (1 + 1)))
4644, 45eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 2) = (((𝐹𝑁) + 1) + 1))
4746adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 2) = (((𝐹𝑁) + 1) + 1))
4847breq2d 5081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
49 prmz 16022 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5029peano2zd 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51 zleltp1 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
5249, 50, 51syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
5352biimprd 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5448, 53sylbid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5554adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5655com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5756adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5857imp 409 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1))
593, 7, 11, 22, 41, 58lesub3d 11261 . . . . . 6 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝))
6059ex 415 . . . . 5 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝)))
61603adant3 1128 . . . 4 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝)))
6261impcom 410 . . 3 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝))
63 simpr3 1192 . . 3 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
6462, 63jca 514 . 2 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65 prmgaplem7.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
668, 12, 65prmgaplem7 16396 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
6764, 66reximddv2 3281 1 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wnel 3126  wral 3141  wrex 3142   class class class wbr 5069  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159  m cmap 8409  cr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678  cle 10679  cmin 10873  cn 11641  2c2 11695  cz 11984  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036   gcd cgcd 15846  cprime 16018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-prm 16019
This theorem is referenced by:  prmgap  16398  prmgaplcm  16399  prmgapprmo  16401
  Copyright terms: Public domain W3C validator