Theorem prmgaplem8 17105

Description: Lemma for prmgap 17106. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem8	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
3	2	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4		prmnn 16721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8		prmgaplem7.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		prmgaplem7.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
13		elmapi 8907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
16	12, 13, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
17	8, 16	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
18	17	nnred 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
21		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℝ)
23	17	nncnd 12309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
24		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25	8	nncnd 12309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	add32d 11517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
28	27	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
29	17	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
31	8	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	30, 32	zaddcld 12751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34		prmz 16722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
36	33, 34, 35	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
38	28, 37	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
39	38	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
41	40	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42		df-2 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (1 + 1)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 = (1 + 1))
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
45	23, 24, 24	addassd 11312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
46	44, 45	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
48	47	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
49		prmz 16722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
50	29	peano2zd 12750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51		zleltp1 12694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
52	49, 50, 51	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
53	52	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
54	48, 53	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
56	55	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
58	57	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))
59	3, 7, 11, 22, 41, 58	lesub3d 11908	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
61	60	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
62	61	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
63		simpr3 1196	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
64	62, 63	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65		prmgaplem7.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
66	8, 12, 65	prmgaplem7 17104	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
67	64, 66	reximddv2 3221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3052  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  prmgap  17106  prmgaplcm  17107  prmgapprmo  17109