Theorem prmgaplem8 17029

Description: Lemma for prmgap 17030. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem8	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
3	2	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4		prmnn 16644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8		prmgaplem7.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		prmgaplem7.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
13		elmapi 8822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
16	12, 13, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ))
17	8, 16	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
18	17	nnred 12201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
21		1red 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	readdcld 11203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℝ)
23	17	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
24		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25	8	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	add32d 11402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))
29	17	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
31	8	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	30, 32	zaddcld 12642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35		zltp1le 12583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
36	33, 34, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
38	28, 37	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
39	38	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
41	40	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42		df-2 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (1 + 1)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 = (1 + 1))
44	43	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
45	23, 24, 24	addassd 11196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹‘𝑁) + (1 + 1)))
46	44, 45	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) = (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1))
48	47	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
49		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
50	29	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51		zleltp1 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
52	49, 50, 51	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1)))
53	52	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹‘𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
54	48, 53	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
56	55	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1)))
58	57	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹‘𝑁) + 1))
59	3, 7, 11, 22, 41, 58	lesub3d 11796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
61	60	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝)))
62	61	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝))
63		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
64	62, 63	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65		prmgaplem7.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
66	8, 12, 65	prmgaplem7 17028	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
67	64, 66	reximddv2 3196	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  prmgap  17030  prmgaplcm  17031  prmgapprmo  17033