MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem8 16937
Description: Lemma for prmgap 16938. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
prmgaplem7.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„• ↑m β„•))
prmgaplem7.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑁)1 < (((πΉβ€˜π‘) + 𝑖) gcd 𝑖))
Assertion
Ref Expression
prmgaplem8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,π‘ž,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,π‘ž,𝑧   𝑖,𝑁   πœ‘,𝑝,π‘ž,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8
StepHypRef Expression
1 prmnn 16557 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„•)
21nnred 12175 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ ℝ)
32ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
4 prmnn 16557 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
54nnred 12175 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
76adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
8 prmgaplem7.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
98nnred 12175 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
12 prmgaplem7.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„• ↑m β„•))
13 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (β„• ↑m β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
14 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)
1514ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•))
1612, 13, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•))
178, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)
1817nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2019adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
21 1red 11163 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 11191 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ∈ ℝ)
2317nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
24 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
258nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2623, 24, 25add32d 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) = (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) = (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1))
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) = (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1))
2917nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
318nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3330, 32zaddcld 12618 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) ∈ β„€)
34 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
35 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ↔ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1) ≀ π‘ž))
3633, 34, 35syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ↔ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1) ≀ π‘ž))
3736biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) + 1) ≀ π‘ž)
3828, 37eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž)
3938expcom 415 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž))
4039adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž))
4140imp 408 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 𝑁) ≀ π‘ž)
42 df-2 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (1 + 1)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 = (1 + 1))
4443oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 2) = ((πΉβ€˜π‘) + (1 + 1)))
4523, 24, 24addassd 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1) = ((πΉβ€˜π‘) + (1 + 1)))
4644, 45eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 2) = (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 2) = (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1))
4847breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ↔ 𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1)))
49 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
5029peano2zd 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ∈ β„€)
51 zleltp1 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ↔ 𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1)))
5249, 50, 51syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1) ↔ 𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1)))
5352biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 < (((πΉβ€˜π‘) + 1) + 1) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5448, 53sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5554adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5655com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5756adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1)))
5857imp 408 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ ((πΉβ€˜π‘) + 1))
593, 7, 11, 22, 41, 58lesub3d 11780 . . . . . 6 (((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝))
6059ex 414 . . . . 5 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝)))
61603adant3 1133 . . . 4 ((𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝)))
6261impcom 409 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)) β†’ 𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝))
63 simpr3 1197 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
6462, 63jca 513 . 2 ((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)) β†’ (𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
65 prmgaplem7.i . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑁)1 < (((πΉβ€˜π‘) + 𝑖) gcd 𝑖))
668, 12, 65prmgaplem7 16936 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 < ((πΉβ€˜π‘) + 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘) + 𝑁) < π‘ž ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
6764, 66reximddv2 3207 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑁 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3050  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„€cz 12506  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574   gcd cgcd 16381  β„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prmgap  16938  prmgaplcm  16939  prmgapprmo  16941
  Copyright terms: Public domain W3C validator