Theorem le2addd 11758

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11753	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11754	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11292	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   + caddc 11031   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  supadd  12112  o1add  15539  o1sub  15541  o1fsum  15738  sadcaddlem  16386  4sqlem11  16885  4sqlem12  16886  4sqlem15  16889  4sqlem16  16890  prdsxmetlem  24314  nrmmetd  24520  nmotri  24685  pcoass  24982  minveclem2  25384  ovollb2lem  25447  ovolunlem1a  25455  ovoliunlem1  25461  nulmbl2  25495  ioombl1lem4  25520  uniioombllem5  25546  itg2splitlem  25707  itg2addlem  25717  ibladdlem  25779  ulmbdd  26365  cxpaddle  26720  ang180lem2  26778  fsumharmonic  26980  lgamgulmlem3  26999  lgamgulmlem5  27001  ppiub  27173  lgsdirprm  27300  lgsqrlem2  27316  lgseisenlem2  27345  2sqlem8  27395  vmadivsumb  27452  dchrisumlem2  27459  dchrisum0lem1b  27484  mulog2sumlem1  27503  mulog2sumlem2  27504  selbergb  27518  selberg2b  27521  chpdifbndlem1  27522  logdivbnd  27525  selberg3lem2  27527  pntrlog2bnd  27553  pntpbnd2  27556  pntibndlem2  27560  pntlemr  27571  ostth2lem2  27603  ostth3  27607  smcnlem  30774  minvecolem2  30952  stadd3i  32325  le2halvesd  32838  wrdt2ind  33037  cos9thpiminplylem1  33941  dnibndlem9  36688  ismblfin  37864  itg2addnc  37877  ibladdnclem  37879  ftc1anclem7  37902  intlewftc  42337  aks4d1p1p2  42346  dvle2  42348  posbezout  42376  2np3bcnp1  42420  sticksstones7  42428  sticksstones12a  42433  sticksstones12  42434  pell1qrgaplem  43136  pellqrex  43142  pellfundgt1  43146  areaquad  43479  imo72b2lem0  44427  int-ineq1stprincd  44454  dvdivbd  46188  fourierdlem30  46402  sge0xaddlem1  46698  sge0xaddlem2  46699  carageniuncllem2  46787  hoidmvlelem2  46861  hspmbllem2  46892  smfmullem1  47056