Theorem le2addd 11829

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11692	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   + caddc 11109   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  supadd  12178  o1add  15554  o1sub  15556  o1fsum  15755  sadcaddlem  16394  4sqlem11  16884  4sqlem12  16885  4sqlem15  16888  4sqlem16  16889  prdsxmetlem  23865  nrmmetd  24074  nmotri  24247  pcoass  24531  minveclem2  24934  ovollb2lem  24996  ovolunlem1a  25004  ovoliunlem1  25010  nulmbl2  25044  ioombl1lem4  25069  uniioombllem5  25095  itg2splitlem  25257  itg2addlem  25267  ibladdlem  25328  ulmbdd  25901  cxpaddle  26249  ang180lem2  26304  fsumharmonic  26505  lgamgulmlem3  26524  lgamgulmlem5  26526  ppiub  26696  lgsdirprm  26823  lgsqrlem2  26839  lgseisenlem2  26868  2sqlem8  26918  vmadivsumb  26975  dchrisumlem2  26982  dchrisum0lem1b  27007  mulog2sumlem1  27026  mulog2sumlem2  27027  selbergb  27041  selberg2b  27044  chpdifbndlem1  27045  logdivbnd  27048  selberg3lem2  27050  pntrlog2bnd  27076  pntpbnd2  27079  pntibndlem2  27083  pntlemr  27094  ostth2lem2  27126  ostth3  27130  smcnlem  29937  minvecolem2  30115  stadd3i  31488  le2halvesd  31955  wrdt2ind  32104  dnibndlem9  35350  ismblfin  36517  itg2addnc  36530  ibladdnclem  36532  ftc1anclem7  36555  intlewftc  40914  aks4d1p1p2  40923  dvle2  40925  2np3bcnp1  40948  sticksstones7  40956  sticksstones12a  40961  sticksstones12  40962  metakunt29  41001  2xp3dxp2ge1d  41010  pell1qrgaplem  41596  pellqrex  41602  pellfundgt1  41606  areaquad  41950  imo72b2lem0  42902  int-ineq1stprincd  42929  dvdivbd  44625  fourierdlem30  44839  sge0xaddlem2  45136  carageniuncllem2  45224