Theorem le2addd 11259

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11122	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  supadd  11609  o1add  14970  o1sub  14972  o1fsum  15168  sadcaddlem  15806  4sqlem11  16291  4sqlem12  16292  4sqlem15  16295  4sqlem16  16296  prdsxmetlem  22978  nrmmetd  23184  nmotri  23348  pcoass  23628  minveclem2  24029  ovollb2lem  24089  ovolunlem1a  24097  ovoliunlem1  24103  nulmbl2  24137  ioombl1lem4  24162  uniioombllem5  24188  itg2splitlem  24349  itg2addlem  24359  ibladdlem  24420  ulmbdd  24986  cxpaddle  25333  ang180lem2  25388  fsumharmonic  25589  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem5  25610  ppiub  25780  lgsdirprm  25907  lgsqrlem2  25923  lgseisenlem2  25952  2sqlem8  26002  vmadivsumb  26059  dchrisumlem2  26066  dchrisum0lem1b  26091  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  selbergb  26125  selberg2b  26128  chpdifbndlem1  26129  logdivbnd  26132  selberg3lem2  26134  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemr  26178  ostth2lem2  26210  ostth3  26214  smcnlem  28474  minvecolem2  28652  stadd3i  30025  le2halvesd  30479  wrdt2ind  30627  dnibndlem9  33825  ismblfin  34948  itg2addnc  34961  ibladdnclem  34963  ftc1anclem7  34988  2xp3dxp2ge1d  39117  pell1qrgaplem  39490  pellqrex  39496  pellfundgt1  39500  areaquad  39843  imo72b2lem0  40536  int-ineq1stprincd  40565  dvdivbd  42228  fourierdlem30  42442  sge0xaddlem2  42736  carageniuncllem2  42824