Theorem le2addd 11833

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103   ≤ cle 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249

This theorem is referenced by:  supadd  12183  o1add  15665  o1sub  15667  o1fsum  15865  sadcaddlem  16515  4sqlem11  17015  4sqlem12  17016  4sqlem15  17019  4sqlem16  17020  prdsxmetlem  24494  nrmmetd  24700  nmotri  24865  pcoass  25152  minveclem2  25554  ovollb2lem  25616  ovolunlem1a  25624  ovoliunlem1  25630  nulmbl2  25664  ioombl1lem4  25689  uniioombllem5  25715  itg2splitlem  25876  itg2addlem  25886  ibladdlem  25948  ulmbdd  26527  cxpaddle  26883  ang180lem2  26941  fsumharmonic  27142  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem5  27163  ppiub  27334  lgsdirprm  27461  lgsqrlem2  27477  lgseisenlem2  27506  2sqlem8  27556  vmadivsumb  27613  dchrisumlem2  27620  dchrisum0lem1b  27645  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  selbergb  27679  selberg2b  27682  chpdifbndlem1  27683  logdivbnd  27686  selberg3lem2  27688  pntrlog2bnd  27714  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntlemr  27732  ostth2lem2  27764  ostth3  27768  smcnlem  30990  minvecolem2  31168  stadd3i  32541  le2halvesd  33042  wrdt2ind  33214  cos9thpiminplylem1  34117  dnibndlem9  36998  ismblfin  38234  itg2addnc  38247  ibladdnclem  38249  ftc1anclem7  38272  intlewftc  42752  aks4d1p1p2  42761  dvle2  42763  posbezout  42791  2np3bcnp1  42835  sticksstones7  42843  sticksstones12a  42848  sticksstones12  42849  pell1qrgaplem  43526  pellqrex  43532  pellfundgt1  43536  areaquad  43869  imo72b2lem0  44817  int-ineq1stprincd  44844  dvdivbd  46563  fourierdlem30  46777  sge0xaddlem1  47073  sge0xaddlem2  47074  carageniuncllem2  47162  hoidmvlelem2  47236  hspmbllem2  47267  smfmullem1  47431