Theorem le2addd 11828

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11362	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  supadd  12178  o1add  15661  o1sub  15663  o1fsum  15861  sadcaddlem  16510  4sqlem11  17010  4sqlem12  17011  4sqlem15  17014  4sqlem16  17015  prdsxmetlem  24525  nrmmetd  24731  nmotri  24896  pcoass  25183  minveclem2  25585  ovollb2lem  25647  ovolunlem1a  25655  ovoliunlem1  25661  nulmbl2  25695  ioombl1lem4  25720  uniioombllem5  25746  itg2splitlem  25907  itg2addlem  25917  ibladdlem  25979  ulmbdd  26561  cxpaddle  26917  ang180lem2  26975  fsumharmonic  27176  lgamgulmlem3  27195  lgamgulmlem5  27197  ppiub  27368  lgsdirprm  27495  lgsqrlem2  27511  lgseisenlem2  27540  2sqlem8  27590  vmadivsumb  27647  dchrisumlem2  27654  dchrisum0lem1b  27679  mulog2sumlem1  27698  mulog2sumlem2  27699  selbergb  27713  selberg2b  27716  chpdifbndlem1  27717  logdivbnd  27720  selberg3lem2  27722  pntrlog2bnd  27748  pntpbnd2  27751  pntibndlem2  27755  pntlemr  27766  ostth2lem2  27798  ostth3  27802  smcnlem  31049  minvecolem2  31227  stadd3i  32600  le2halvesd  33101  wrdt2ind  33273  cos9thpiminplylem1  34172  dnibndlem9  37095  ismblfin  38332  itg2addnc  38345  ibladdnclem  38347  ftc1anclem7  38370  intlewftc  42848  aks4d1p1p2  42857  dvle2  42859  posbezout  42887  2np3bcnp1  42931  sticksstones7  42939  sticksstones12a  42944  sticksstones12  42945  pell1qrgaplem  43620  pellqrex  43626  pellfundgt1  43630  areaquad  43963  imo72b2lem0  44911  int-ineq1stprincd  44938  dvdivbd  46657  fourierdlem30  46871  sge0xaddlem1  47167  sge0xaddlem2  47168  carageniuncllem2  47256  hoidmvlelem2  47330  hspmbllem2  47361  smfmullem1  47525