Theorem le2addd 11833

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11696	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   + caddc 11113   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  supadd  12182  o1add  15558  o1sub  15560  o1fsum  15759  sadcaddlem  16398  4sqlem11  16888  4sqlem12  16889  4sqlem15  16892  4sqlem16  16893  prdsxmetlem  23874  nrmmetd  24083  nmotri  24256  pcoass  24540  minveclem2  24943  ovollb2lem  25005  ovolunlem1a  25013  ovoliunlem1  25019  nulmbl2  25053  ioombl1lem4  25078  uniioombllem5  25104  itg2splitlem  25266  itg2addlem  25276  ibladdlem  25337  ulmbdd  25910  cxpaddle  26260  ang180lem2  26315  fsumharmonic  26516  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem5  26537  ppiub  26707  lgsdirprm  26834  lgsqrlem2  26850  lgseisenlem2  26879  2sqlem8  26929  vmadivsumb  26986  dchrisumlem2  26993  dchrisum0lem1b  27018  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  selbergb  27052  selberg2b  27055  chpdifbndlem1  27056  logdivbnd  27059  selberg3lem2  27061  pntrlog2bnd  27087  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntlemr  27105  ostth2lem2  27137  ostth3  27141  smcnlem  29950  minvecolem2  30128  stadd3i  31501  le2halvesd  31968  wrdt2ind  32117  dnibndlem9  35362  ismblfin  36529  itg2addnc  36542  ibladdnclem  36544  ftc1anclem7  36567  intlewftc  40926  aks4d1p1p2  40935  dvle2  40937  2np3bcnp1  40960  sticksstones7  40968  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  metakunt29  41013  2xp3dxp2ge1d  41022  pell1qrgaplem  41611  pellqrex  41617  pellfundgt1  41621  areaquad  41965  imo72b2lem0  42917  int-ineq1stprincd  42944  dvdivbd  44639  fourierdlem30  44853  sge0xaddlem2  45150  carageniuncllem2  45238