Theorem le2addd 11852

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11386	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11118   + caddc 11122   ≤ cle 11263

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268

This theorem is used by:  supadd  12202  o1add  15693  o1sub  15695  o1fsum  15892  sadcaddlem  16541  4sqlem11  17041  4sqlem12  17042  4sqlem15  17045  4sqlem16  17046  prdsxmetlem  24580  nrmmetd  24786  nmotri  24951  pcoass  25238  minveclem2  25640  ovollb2lem  25702  ovolunlem1a  25710  ovoliunlem1  25716  nulmbl2  25750  ioombl1lem4  25775  uniioombllem5  25801  itg2splitlem  25962  itg2addlem  25972  ibladdlem  26034  ulmbdd  26616  cxpaddle  26972  ang180lem2  27030  fsumharmonic  27231  lgamgulmlem3  27250  lgamgulmlem5  27252  ppiub  27423  lgsdirprm  27550  lgsqrlem2  27566  lgseisenlem2  27595  2sqlem8  27645  vmadivsumb  27702  dchrisumlem2  27709  dchrisum0lem1b  27734  mulog2sumlem1  27753  mulog2sumlem2  27754  selbergb  27768  selberg2b  27771  chpdifbndlem1  27772  logdivbnd  27775  selberg3lem2  27777  pntrlog2bnd  27803  pntpbnd2  27806  pntibndlem2  27810  pntlemr  27821  ostth2lem2  27853  ostth3  27857  smcnlem  31124  minvecolem2  31302  stadd3i  32675  le2halvesd  33175  wrdt2ind  33343  cos9thpiminplylem1  34240  dnibndlem9  37136  ismblfin  38373  itg2addnc  38386  ibladdnclem  38388  ftc1anclem7  38411  intlewftc  42890  aks4d1p1p2  42899  dvle2  42901  posbezout  42929  2np3bcnp1  42973  sticksstones7  42981  sticksstones12a  42986  sticksstones12  42987  pell1qrgaplem  43677  pellqrex  43683  pellfundgt1  43687  areaquad  44020  imo72b2lem0  44968  int-ineq1stprincd  44995  dvdivbd  46714  fourierdlem30  46928  sge0xaddlem1  47224  sge0xaddlem2  47225  carageniuncllem2  47313  hoidmvlelem2  47387  hspmbllem2  47418  smfmullem1  47582