Theorem le2addd 11860

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126   + caddc 11130   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276

This theorem is used by:  supadd  12210  o1add  15704  o1sub  15706  o1fsum  15903  sadcaddlem  16550  4sqlem11  17050  4sqlem12  17051  4sqlem15  17054  4sqlem16  17055  prdsxmetlem  24597  nrmmetd  24803  nmotri  24968  pcoass  25255  minveclem2  25657  ovollb2lem  25719  ovolunlem1a  25727  ovoliunlem1  25733  nulmbl2  25767  ioombl1lem4  25792  uniioombllem5  25818  itg2splitlem  25979  itg2addlem  25989  ibladdlem  26050  ulmbdd  26637  cxpaddle  26992  ang180lem2  27050  fsumharmonic  27251  lgamgulmlem3  27270  lgamgulmlem5  27272  ppiub  27443  lgsdirprm  27570  lgsqrlem2  27586  lgseisenlem2  27615  2sqlem8  27665  vmadivsumb  27722  dchrisumlem2  27729  dchrisum0lem1b  27754  mulog2sumlem1  27773  mulog2sumlem2  27774  selbergb  27788  selberg2b  27791  chpdifbndlem1  27792  logdivbnd  27795  selberg3lem2  27797  pntrlog2bnd  27823  pntpbnd2  27826  pntibndlem2  27830  pntlemr  27841  ostth2lem2  27873  ostth3  27877  smcnlem  31181  minvecolem2  31359  stadd3i  32732  le2halvesd  33230  wrdt2ind  33398  cos9thpiminplylem1  34295  dnibndlem9  37186  ismblfin  38413  itg2addnc  38426  ibladdnclem  38428  ftc1anclem7  38451  intlewftc  42930  aks4d1p1p2  42939  dvle2  42941  posbezout  42969  2np3bcnp1  43013  sticksstones7  43021  sticksstones12a  43026  sticksstones12  43027  pell1qrgaplem  43717  pellqrex  43723  pellfundgt1  43727  areaquad  44060  imo72b2lem0  45008  int-ineq1stprincd  45035  dvdivbd  46754  fourierdlem30  46968  sge0xaddlem1  47264  sge0xaddlem2  47265  carageniuncllem2  47353  hoidmvlelem2  47427  hspmbllem2  47458  smfmullem1  47622