MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2addd 11775
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2addd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 le2add 11638 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 838 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 698 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051   + caddc 11055  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  supadd  12124  o1add  15497  o1sub  15499  o1fsum  15699  sadcaddlem  16338  4sqlem11  16828  4sqlem12  16829  4sqlem15  16832  4sqlem16  16833  prdsxmetlem  23724  nrmmetd  23933  nmotri  24106  pcoass  24390  minveclem2  24793  ovollb2lem  24855  ovolunlem1a  24863  ovoliunlem1  24869  nulmbl2  24903  ioombl1lem4  24928  uniioombllem5  24954  itg2splitlem  25116  itg2addlem  25126  ibladdlem  25187  ulmbdd  25760  cxpaddle  26108  ang180lem2  26163  fsumharmonic  26364  lgamgulmlem3  26383  lgamgulmlem5  26385  ppiub  26555  lgsdirprm  26682  lgsqrlem2  26698  lgseisenlem2  26727  2sqlem8  26777  vmadivsumb  26834  dchrisumlem2  26841  dchrisum0lem1b  26866  mulog2sumlem1  26885  mulog2sumlem2  26886  selbergb  26900  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  logdivbnd  26907  selberg3lem2  26909  pntrlog2bnd  26935  pntpbnd2  26938  pntibndlem2  26942  pntlemr  26953  ostth2lem2  26985  ostth3  26989  smcnlem  29642  minvecolem2  29820  stadd3i  31193  le2halvesd  31663  wrdt2ind  31810  dnibndlem9  34952  ismblfin  36122  itg2addnc  36135  ibladdnclem  36137  ftc1anclem7  36160  intlewftc  40521  aks4d1p1p2  40530  dvle2  40532  2np3bcnp1  40555  sticksstones7  40563  sticksstones12a  40568  sticksstones12  40569  metakunt29  40608  2xp3dxp2ge1d  40617  pell1qrgaplem  41199  pellqrex  41205  pellfundgt1  41209  areaquad  41553  imo72b2lem0  42445  int-ineq1stprincd  42472  dvdivbd  44171  fourierdlem30  44385  sge0xaddlem2  44682  carageniuncllem2  44770
  Copyright terms: Public domain W3C validator