Theorem le2addd 11880

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  supadd  12234  o1add  15647  o1sub  15649  o1fsum  15846  sadcaddlem  16491  4sqlem11  16989  4sqlem12  16990  4sqlem15  16993  4sqlem16  16994  prdsxmetlem  24394  nrmmetd  24603  nmotri  24776  pcoass  25071  minveclem2  25474  ovollb2lem  25537  ovolunlem1a  25545  ovoliunlem1  25551  nulmbl2  25585  ioombl1lem4  25610  uniioombllem5  25636  itg2splitlem  25798  itg2addlem  25808  ibladdlem  25870  ulmbdd  26456  cxpaddle  26810  ang180lem2  26868  fsumharmonic  27070  lgamgulmlem3  27089  lgamgulmlem5  27091  ppiub  27263  lgsdirprm  27390  lgsqrlem2  27406  lgseisenlem2  27435  2sqlem8  27485  vmadivsumb  27542  dchrisumlem2  27549  dchrisum0lem1b  27574  mulog2sumlem1  27593  mulog2sumlem2  27594  selbergb  27608  selberg2b  27611  chpdifbndlem1  27612  logdivbnd  27615  selberg3lem2  27617  pntrlog2bnd  27643  pntpbnd2  27646  pntibndlem2  27650  pntlemr  27661  ostth2lem2  27693  ostth3  27697  smcnlem  30726  minvecolem2  30904  stadd3i  32277  le2halvesd  32766  wrdt2ind  32923  dnibndlem9  36469  ismblfin  37648  itg2addnc  37661  ibladdnclem  37663  ftc1anclem7  37686  intlewftc  42043  aks4d1p1p2  42052  dvle2  42054  posbezout  42082  2np3bcnp1  42126  sticksstones7  42134  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  metakunt29  42215  2xp3dxp2ge1d  42223  pell1qrgaplem  42861  pellqrex  42867  pellfundgt1  42871  areaquad  43205  imo72b2lem0  44155  int-ineq1stprincd  44182  dvdivbd  45879  fourierdlem30  46093  sge0xaddlem2  46390  carageniuncllem2  46478