Theorem le2addd 11856

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11392	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  supadd  12210  o1add  15630  o1sub  15632  o1fsum  15829  sadcaddlem  16476  4sqlem11  16975  4sqlem12  16976  4sqlem15  16979  4sqlem16  16980  prdsxmetlem  24307  nrmmetd  24513  nmotri  24678  pcoass  24975  minveclem2  25378  ovollb2lem  25441  ovolunlem1a  25449  ovoliunlem1  25455  nulmbl2  25489  ioombl1lem4  25514  uniioombllem5  25540  itg2splitlem  25701  itg2addlem  25711  ibladdlem  25773  ulmbdd  26359  cxpaddle  26714  ang180lem2  26772  fsumharmonic  26974  lgamgulmlem3  26993  lgamgulmlem5  26995  ppiub  27167  lgsdirprm  27294  lgsqrlem2  27310  lgseisenlem2  27339  2sqlem8  27389  vmadivsumb  27446  dchrisumlem2  27453  dchrisum0lem1b  27478  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  selbergb  27512  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  logdivbnd  27519  selberg3lem2  27521  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemr  27565  ostth2lem2  27597  ostth3  27601  smcnlem  30678  minvecolem2  30856  stadd3i  32229  le2halvesd  32733  wrdt2ind  32929  cos9thpiminplylem1  33816  dnibndlem9  36504  ismblfin  37685  itg2addnc  37698  ibladdnclem  37700  ftc1anclem7  37723  intlewftc  42074  aks4d1p1p2  42083  dvle2  42085  posbezout  42113  2np3bcnp1  42157  sticksstones7  42165  sticksstones12a  42170  sticksstones12  42171  metakunt29  42246  2xp3dxp2ge1d  42254  pell1qrgaplem  42896  pellqrex  42902  pellfundgt1  42906  areaquad  43240  imo72b2lem0  44189  int-ineq1stprincd  44216  dvdivbd  45952  fourierdlem30  46166  sge0xaddlem1  46462  sge0xaddlem2  46463  carageniuncllem2  46551  hoidmvlelem2  46625  hspmbllem2  46656  smfmullem1  46820