Theorem le2addd 11768

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11763	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11302	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  supadd  12122  o1add  15549  o1sub  15551  o1fsum  15748  sadcaddlem  16396  4sqlem11  16895  4sqlem12  16896  4sqlem15  16899  4sqlem16  16900  prdsxmetlem  24327  nrmmetd  24533  nmotri  24698  pcoass  24995  minveclem2  25397  ovollb2lem  25460  ovolunlem1a  25468  ovoliunlem1  25474  nulmbl2  25508  ioombl1lem4  25533  uniioombllem5  25559  itg2splitlem  25720  itg2addlem  25730  ibladdlem  25792  ulmbdd  26378  cxpaddle  26733  ang180lem2  26791  fsumharmonic  26993  lgamgulmlem3  27012  lgamgulmlem5  27014  ppiub  27186  lgsdirprm  27313  lgsqrlem2  27329  lgseisenlem2  27358  2sqlem8  27408  vmadivsumb  27465  dchrisumlem2  27472  dchrisum0lem1b  27497  mulog2sumlem1  27516  mulog2sumlem2  27517  selbergb  27531  selberg2b  27534  chpdifbndlem1  27535  logdivbnd  27538  selberg3lem2  27540  pntrlog2bnd  27566  pntpbnd2  27569  pntibndlem2  27573  pntlemr  27584  ostth2lem2  27616  ostth3  27620  smcnlem  30789  minvecolem2  30967  stadd3i  32340  le2halvesd  32851  wrdt2ind  33050  cos9thpiminplylem1  33964  dnibndlem9  36712  ismblfin  37916  itg2addnc  37929  ibladdnclem  37931  ftc1anclem7  37954  intlewftc  42435  aks4d1p1p2  42444  dvle2  42446  posbezout  42474  2np3bcnp1  42518  sticksstones7  42526  sticksstones12a  42531  sticksstones12  42532  pell1qrgaplem  43234  pellqrex  43240  pellfundgt1  43244  areaquad  43577  imo72b2lem0  44525  int-ineq1stprincd  44552  dvdivbd  46285  fourierdlem30  46499  sge0xaddlem1  46795  sge0xaddlem2  46796  carageniuncllem2  46884  hoidmvlelem2  46958  hspmbllem2  46989  smfmullem1  47153