Theorem le2addd 11761

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11756	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11757	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11295	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℝcr 11029   + caddc 11033   ≤ cle 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177

This theorem is referenced by:  supadd  12116  o1add  15568  o1sub  15570  o1fsum  15768  sadcaddlem  16418  4sqlem11  16918  4sqlem12  16919  4sqlem15  16922  4sqlem16  16923  prdsxmetlem  24352  nrmmetd  24558  nmotri  24723  pcoass  25010  minveclem2  25412  ovollb2lem  25474  ovolunlem1a  25482  ovoliunlem1  25488  nulmbl2  25522  ioombl1lem4  25547  uniioombllem5  25573  itg2splitlem  25734  itg2addlem  25744  ibladdlem  25806  ulmbdd  26382  cxpaddle  26735  ang180lem2  26793  fsumharmonic  26994  lgamgulmlem3  27013  lgamgulmlem5  27015  ppiub  27186  lgsdirprm  27313  lgsqrlem2  27329  lgseisenlem2  27358  2sqlem8  27408  vmadivsumb  27465  dchrisumlem2  27472  dchrisum0lem1b  27497  mulog2sumlem1  27516  mulog2sumlem2  27517  selbergb  27531  selberg2b  27534  chpdifbndlem1  27535  logdivbnd  27538  selberg3lem2  27540  pntrlog2bnd  27566  pntpbnd2  27569  pntibndlem2  27573  pntlemr  27584  ostth2lem2  27616  ostth3  27620  smcnlem  30787  minvecolem2  30965  stadd3i  32338  le2halvesd  32849  wrdt2ind  33033  cos9thpiminplylem1  33975  dnibndlem9  36801  ismblfin  38037  itg2addnc  38050  ibladdnclem  38052  ftc1anclem7  38075  intlewftc  42555  aks4d1p1p2  42564  dvle2  42566  posbezout  42594  2np3bcnp1  42638  sticksstones7  42646  sticksstones12a  42651  sticksstones12  42652  pell1qrgaplem  43327  pellqrex  43333  pellfundgt1  43337  areaquad  43670  imo72b2lem0  44618  int-ineq1stprincd  44645  dvdivbd  46374  fourierdlem30  46588  sge0xaddlem1  46884  sge0xaddlem2  46885  carageniuncllem2  46973  hoidmvlelem2  47047  hspmbllem2  47078  smfmullem1  47242