Theorem le2addd 11948

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11943	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11480	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  ℝcr 11212   + caddc 11216   ≤ cle 11357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362

This theorem is used by:  supadd  12298  o1add  15796  o1sub  15798  o1fsum  15995  sadcaddlem  16642  4sqlem11  17148  4sqlem12  17149  4sqlem15  17152  4sqlem16  17153  prdsxmetlem  24702  nrmmetd  24908  nmotri  25073  pcoass  25360  minveclem2  25762  ovollb2lem  25824  ovolunlem1a  25832  ovoliunlem1  25838  nulmbl2  25872  ioombl1lem4  25897  uniioombllem5  25923  itg2splitlem  26084  itg2addlem  26094  ibladdlem  26155  ulmbdd  26740  cxpaddle  27095  ang180lem2  27153  fsumharmonic  27354  lgamgulmlem3  27373  lgamgulmlem5  27375  ppiub  27546  lgsdirprm  27673  lgsqrlem2  27689  lgseisenlem2  27718  2sqlem8  27768  vmadivsumb  27825  dchrisumlem2  27832  dchrisum0lem1b  27857  mulog2sumlem1  27876  mulog2sumlem2  27877  selbergb  27891  selberg2b  27894  chpdifbndlem1  27895  logdivbnd  27898  selberg3lem2  27900  pntrlog2bnd  27926  pntpbnd2  27929  pntibndlem2  27933  pntlemr  27944  ostth2lem2  27976  ostth3  27980  smcnlem  31314  minvecolem2  31492  stadd3i  32865  le2halvesd  33404  wrdt2ind  33572  cos9thpiminplylem1  34470  dnibndlem9  37485  ismblfin  38725  itg2addnc  38738  ibladdnclem  38740  ftc1anclem7  38763  intlewftc  43257  aks4d1p1p2  43266  dvle2  43268  posbezout  43296  2np3bcnp1  43340  sticksstones7  43348  sticksstones12a  43353  sticksstones12  43354  pell1qrgaplem  44026  pellqrex  44032  pellfundgt1  44036  areaquad  44364  imo72b2lem0  45311  int-ineq1stprincd  45338  dvdivbd  47078  fourierdlem30  47292  sge0xaddlem1  47588  sge0xaddlem2  47589  carageniuncllem2  47677  hoidmvlelem2  47751  hspmbllem2  47782  smfmullem1  47946