Theorem le2addd 11754

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11288	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   + caddc 11027   ≤ cle 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170

This theorem is referenced by:  supadd  12108  o1add  15535  o1sub  15537  o1fsum  15734  sadcaddlem  16382  4sqlem11  16881  4sqlem12  16882  4sqlem15  16885  4sqlem16  16886  prdsxmetlem  24310  nrmmetd  24516  nmotri  24681  pcoass  24978  minveclem2  25380  ovollb2lem  25443  ovolunlem1a  25451  ovoliunlem1  25457  nulmbl2  25491  ioombl1lem4  25516  uniioombllem5  25542  itg2splitlem  25703  itg2addlem  25713  ibladdlem  25775  ulmbdd  26361  cxpaddle  26716  ang180lem2  26774  fsumharmonic  26976  lgamgulmlem3  26995  lgamgulmlem5  26997  ppiub  27169  lgsdirprm  27296  lgsqrlem2  27312  lgseisenlem2  27341  2sqlem8  27391  vmadivsumb  27448  dchrisumlem2  27455  dchrisum0lem1b  27480  mulog2sumlem1  27499  mulog2sumlem2  27500  selbergb  27514  selberg2b  27517  chpdifbndlem1  27518  logdivbnd  27521  selberg3lem2  27523  pntrlog2bnd  27549  pntpbnd2  27552  pntibndlem2  27556  pntlemr  27567  ostth2lem2  27599  ostth3  27603  smcnlem  30721  minvecolem2  30899  stadd3i  32272  le2halvesd  32785  wrdt2ind  32984  cos9thpiminplylem1  33888  dnibndlem9  36629  ismblfin  37801  itg2addnc  37814  ibladdnclem  37816  ftc1anclem7  37839  intlewftc  42254  aks4d1p1p2  42263  dvle2  42265  posbezout  42293  2np3bcnp1  42337  sticksstones7  42345  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  pell1qrgaplem  43057  pellqrex  43063  pellfundgt1  43067  areaquad  43400  imo72b2lem0  44348  int-ineq1stprincd  44375  dvdivbd  46109  fourierdlem30  46323  sge0xaddlem1  46619  sge0xaddlem2  46620  carageniuncllem2  46708  hoidmvlelem2  46782  hspmbllem2  46813  smfmullem1  46977