Theorem le2addd 11909

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  supadd  12263  o1add  15660  o1sub  15662  o1fsum  15861  sadcaddlem  16503  4sqlem11  17002  4sqlem12  17003  4sqlem15  17006  4sqlem16  17007  prdsxmetlem  24399  nrmmetd  24608  nmotri  24781  pcoass  25076  minveclem2  25479  ovollb2lem  25542  ovolunlem1a  25550  ovoliunlem1  25556  nulmbl2  25590  ioombl1lem4  25615  uniioombllem5  25641  itg2splitlem  25803  itg2addlem  25813  ibladdlem  25875  ulmbdd  26459  cxpaddle  26813  ang180lem2  26871  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  ppiub  27266  lgsdirprm  27393  lgsqrlem2  27409  lgseisenlem2  27438  2sqlem8  27488  vmadivsumb  27545  dchrisumlem2  27552  dchrisum0lem1b  27577  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  logdivbnd  27618  selberg3lem2  27620  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemr  27664  ostth2lem2  27696  ostth3  27700  smcnlem  30729  minvecolem2  30907  stadd3i  32280  le2halvesd  32762  wrdt2ind  32920  dnibndlem9  36452  ismblfin  37621  itg2addnc  37634  ibladdnclem  37636  ftc1anclem7  37659  intlewftc  42018  aks4d1p1p2  42027  dvle2  42029  posbezout  42057  2np3bcnp1  42101  sticksstones7  42109  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  metakunt29  42190  2xp3dxp2ge1d  42198  pell1qrgaplem  42829  pellqrex  42835  pellfundgt1  42839  areaquad  43177  imo72b2lem0  44127  int-ineq1stprincd  44154  dvdivbd  45844  fourierdlem30  46058  sge0xaddlem2  46355  carageniuncllem2  46443