Theorem le2addd 11302

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11165	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  ℝcr 10579   + caddc 10583   ≤ cle 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724

This theorem is referenced by:  supadd  11650  o1add  15023  o1sub  15025  o1fsum  15221  sadcaddlem  15861  4sqlem11  16351  4sqlem12  16352  4sqlem15  16355  4sqlem16  16356  prdsxmetlem  23075  nrmmetd  23281  nmotri  23446  pcoass  23730  minveclem2  24131  ovollb2lem  24193  ovolunlem1a  24201  ovoliunlem1  24207  nulmbl2  24241  ioombl1lem4  24266  uniioombllem5  24292  itg2splitlem  24453  itg2addlem  24463  ibladdlem  24524  ulmbdd  25097  cxpaddle  25445  ang180lem2  25500  fsumharmonic  25701  lgamgulmlem3  25720  lgamgulmlem5  25722  ppiub  25892  lgsdirprm  26019  lgsqrlem2  26035  lgseisenlem2  26064  2sqlem8  26114  vmadivsumb  26171  dchrisumlem2  26178  dchrisum0lem1b  26203  mulog2sumlem1  26222  mulog2sumlem2  26223  selbergb  26237  selberg2b  26240  chpdifbndlem1  26241  logdivbnd  26244  selberg3lem2  26246  pntrlog2bnd  26272  pntpbnd2  26275  pntibndlem2  26279  pntlemr  26290  ostth2lem2  26322  ostth3  26326  smcnlem  28584  minvecolem2  28762  stadd3i  30135  le2halvesd  30606  wrdt2ind  30753  dnibndlem9  34241  ismblfin  35404  itg2addnc  35417  ibladdnclem  35419  ftc1anclem7  35442  intlewftc  39654  aks4d1p1p2  39662  dvle2  39664  2np3bcnp1  39671  metakunt29  39701  2xp3dxp2ge1d  39710  pell1qrgaplem  40215  pellqrex  40221  pellfundgt1  40225  areaquad  40567  imo72b2lem0  41270  int-ineq1stprincd  41299  dvdivbd  42959  fourierdlem30  43173  sge0xaddlem2  43467  carageniuncllem2  43555