Theorem le2addd 11848

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11711	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  (class class class)co 7399  ℝcr 11120   + caddc 11124   ≤ cle 11262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is referenced by:  supadd  12202  o1add  15617  o1sub  15619  o1fsum  15816  sadcaddlem  16461  4sqlem11  16960  4sqlem12  16961  4sqlem15  16964  4sqlem16  16965  prdsxmetlem  24292  nrmmetd  24498  nmotri  24663  pcoass  24960  minveclem2  25363  ovollb2lem  25426  ovolunlem1a  25434  ovoliunlem1  25440  nulmbl2  25474  ioombl1lem4  25499  uniioombllem5  25525  itg2splitlem  25686  itg2addlem  25696  ibladdlem  25758  ulmbdd  26344  cxpaddle  26698  ang180lem2  26756  fsumharmonic  26958  lgamgulmlem3  26977  lgamgulmlem5  26979  ppiub  27151  lgsdirprm  27278  lgsqrlem2  27294  lgseisenlem2  27323  2sqlem8  27373  vmadivsumb  27430  dchrisumlem2  27437  dchrisum0lem1b  27462  mulog2sumlem1  27481  mulog2sumlem2  27482  selbergb  27496  selberg2b  27499  chpdifbndlem1  27500  logdivbnd  27503  selberg3lem2  27505  pntrlog2bnd  27531  pntpbnd2  27534  pntibndlem2  27538  pntlemr  27549  ostth2lem2  27581  ostth3  27585  smcnlem  30610  minvecolem2  30788  stadd3i  32161  le2halvesd  32666  wrdt2ind  32848  dnibndlem9  36425  ismblfin  37606  itg2addnc  37619  ibladdnclem  37621  ftc1anclem7  37644  intlewftc  41996  aks4d1p1p2  42005  dvle2  42007  posbezout  42035  2np3bcnp1  42079  sticksstones7  42087  sticksstones12a  42092  sticksstones12  42093  metakunt29  42168  2xp3dxp2ge1d  42176  pell1qrgaplem  42821  pellqrex  42827  pellfundgt1  42831  areaquad  43165  imo72b2lem0  44114  int-ineq1stprincd  44141  dvdivbd  45882  fourierdlem30  46096  sge0xaddlem2  46393  carageniuncllem2  46481