MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2addd 10849
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2addd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 le2add 10713 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 673 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cr 10138   + caddc 10142  cle 10278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283
This theorem is referenced by:  supadd  11194  o1add  14553  o1sub  14555  o1fsum  14753  sadcaddlem  15388  4sqlem11  15867  4sqlem12  15868  4sqlem15  15871  4sqlem16  15872  prdsxmetlem  22394  nrmmetd  22600  nmotri  22764  pcoass  23044  minveclem2  23417  ovollb2lem  23477  ovolunlem1a  23485  ovoliunlem1  23491  nulmbl2  23525  ioombl1lem4  23550  uniioombllem5  23576  itg2splitlem  23736  itg2addlem  23746  ibladdlem  23807  ulmbdd  24373  cxpaddle  24715  ang180lem2  24762  fsumharmonic  24960  lgamgulmlem3  24979  lgamgulmlem5  24981  ppiub  25151  lgsdirprm  25278  lgsqrlem2  25294  lgseisenlem2  25323  2sqlem8  25373  vmadivsumb  25394  dchrisumlem2  25401  dchrisum0lem1b  25426  mulog2sumlem1  25445  mulog2sumlem2  25446  selbergb  25460  selberg2b  25463  chpdifbndlem1  25464  logdivbnd  25467  selberg3lem2  25469  pntrlog2bnd  25495  pntpbnd2  25498  pntibndlem2  25502  pntlemr  25513  ostth2lem2  25545  ostth3  25549  smcnlem  27893  minvecolem2  28072  stadd3i  29448  le2halvesd  29861  dnibndlem9  32814  ismblfin  33784  itg2addnc  33797  ibladdnclem  33799  ftc1anclem7  33824  pell1qrgaplem  37964  pellqrex  37970  pellfundgt1  37974  areaquad  38329  imo72b2lem0  38992  int-ineq1stprincd  39022  dvdivbd  40657  fourierdlem30  40872  sge0xaddlem2  41169  carageniuncllem2  41257
  Copyright terms: Public domain W3C validator