Theorem le2addd 11763

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11297	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031   + caddc 11035   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179

This theorem is referenced by:  supadd  12118  o1add  15570  o1sub  15572  o1fsum  15770  sadcaddlem  16420  4sqlem11  16920  4sqlem12  16921  4sqlem15  16924  4sqlem16  16925  prdsxmetlem  24346  nrmmetd  24552  nmotri  24717  pcoass  25004  minveclem2  25406  ovollb2lem  25468  ovolunlem1a  25476  ovoliunlem1  25482  nulmbl2  25516  ioombl1lem4  25541  uniioombllem5  25567  itg2splitlem  25728  itg2addlem  25738  ibladdlem  25800  ulmbdd  26379  cxpaddle  26732  ang180lem2  26790  fsumharmonic  26992  lgamgulmlem3  27011  lgamgulmlem5  27013  ppiub  27184  lgsdirprm  27311  lgsqrlem2  27327  lgseisenlem2  27356  2sqlem8  27406  vmadivsumb  27463  dchrisumlem2  27470  dchrisum0lem1b  27495  mulog2sumlem1  27514  mulog2sumlem2  27515  selbergb  27529  selberg2b  27532  chpdifbndlem1  27533  logdivbnd  27536  selberg3lem2  27538  pntrlog2bnd  27564  pntpbnd2  27567  pntibndlem2  27571  pntlemr  27582  ostth2lem2  27614  ostth3  27618  smcnlem  30786  minvecolem2  30964  stadd3i  32337  le2halvesd  32847  wrdt2ind  33031  cos9thpiminplylem1  33945  dnibndlem9  36765  ismblfin  37999  itg2addnc  38012  ibladdnclem  38014  ftc1anclem7  38037  intlewftc  42517  aks4d1p1p2  42526  dvle2  42528  posbezout  42556  2np3bcnp1  42600  sticksstones7  42608  sticksstones12a  42613  sticksstones12  42614  pell1qrgaplem  43322  pellqrex  43328  pellfundgt1  43332  areaquad  43665  imo72b2lem0  44613  int-ineq1stprincd  44640  dvdivbd  46372  fourierdlem30  46586  sge0xaddlem1  46882  sge0xaddlem2  46883  carageniuncllem2  46971  hoidmvlelem2  47045  hspmbllem2  47076  smfmullem1  47240