Theorem le2addd 11829

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11692	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11104   + caddc 11108   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  supadd  12178  o1add  15554  o1sub  15556  o1fsum  15755  sadcaddlem  16394  4sqlem11  16884  4sqlem12  16885  4sqlem15  16888  4sqlem16  16889  prdsxmetlem  24184  nrmmetd  24393  nmotri  24566  pcoass  24861  minveclem2  25264  ovollb2lem  25327  ovolunlem1a  25335  ovoliunlem1  25341  nulmbl2  25375  ioombl1lem4  25400  uniioombllem5  25426  itg2splitlem  25588  itg2addlem  25598  ibladdlem  25659  ulmbdd  26239  cxpaddle  26591  ang180lem2  26646  fsumharmonic  26848  lgamgulmlem3  26867  lgamgulmlem5  26869  ppiub  27041  lgsdirprm  27168  lgsqrlem2  27184  lgseisenlem2  27213  2sqlem8  27263  vmadivsumb  27320  dchrisumlem2  27327  dchrisum0lem1b  27352  mulog2sumlem1  27371  mulog2sumlem2  27372  selbergb  27386  selberg2b  27389  chpdifbndlem1  27390  logdivbnd  27393  selberg3lem2  27395  pntrlog2bnd  27421  pntpbnd2  27424  pntibndlem2  27428  pntlemr  27439  ostth2lem2  27471  ostth3  27475  smcnlem  30374  minvecolem2  30552  stadd3i  31925  le2halvesd  32392  wrdt2ind  32541  dnibndlem9  35818  ismblfin  36985  itg2addnc  36998  ibladdnclem  37000  ftc1anclem7  37023  intlewftc  41385  aks4d1p1p2  41394  dvle2  41396  2np3bcnp1  41419  sticksstones7  41427  sticksstones12a  41432  sticksstones12  41433  metakunt29  41472  2xp3dxp2ge1d  41481  pell1qrgaplem  42066  pellqrex  42072  pellfundgt1  42076  areaquad  42420  imo72b2lem0  43372  int-ineq1stprincd  43399  dvdivbd  45090  fourierdlem30  45304  sge0xaddlem2  45601  carageniuncllem2  45689