Theorem le2addd 11804

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		le2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	leadd1dd 11799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10		le2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	leadd2dd 11800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	letrd 11338	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  supadd  12158  o1add  15587  o1sub  15589  o1fsum  15786  sadcaddlem  16434  4sqlem11  16933  4sqlem12  16934  4sqlem15  16937  4sqlem16  16938  prdsxmetlem  24263  nrmmetd  24469  nmotri  24634  pcoass  24931  minveclem2  25333  ovollb2lem  25396  ovolunlem1a  25404  ovoliunlem1  25410  nulmbl2  25444  ioombl1lem4  25469  uniioombllem5  25495  itg2splitlem  25656  itg2addlem  25666  ibladdlem  25728  ulmbdd  26314  cxpaddle  26669  ang180lem2  26727  fsumharmonic  26929  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem5  26950  ppiub  27122  lgsdirprm  27249  lgsqrlem2  27265  lgseisenlem2  27294  2sqlem8  27344  vmadivsumb  27401  dchrisumlem2  27408  dchrisum0lem1b  27433  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  selbergb  27467  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  logdivbnd  27474  selberg3lem2  27476  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemr  27520  ostth2lem2  27552  ostth3  27556  smcnlem  30633  minvecolem2  30811  stadd3i  32184  le2halvesd  32686  wrdt2ind  32882  cos9thpiminplylem1  33779  dnibndlem9  36481  ismblfin  37662  itg2addnc  37675  ibladdnclem  37677  ftc1anclem7  37700  intlewftc  42056  aks4d1p1p2  42065  dvle2  42067  posbezout  42095  2np3bcnp1  42139  sticksstones7  42147  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  pell1qrgaplem  42868  pellqrex  42874  pellfundgt1  42878  areaquad  43212  imo72b2lem0  44161  int-ineq1stprincd  44188  dvdivbd  45928  fourierdlem30  46142  sge0xaddlem1  46438  sge0xaddlem2  46439  carageniuncllem2  46527  hoidmvlelem2  46601  hspmbllem2  46632  smfmullem1  46796