Theorem le2addd 11835

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		le2add 11698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   ≤ cle 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256

This theorem is referenced by:  supadd  12184  o1add  15560  o1sub  15562  o1fsum  15761  sadcaddlem  16400  4sqlem11  16890  4sqlem12  16891  4sqlem15  16894  4sqlem16  16895  prdsxmetlem  23881  nrmmetd  24090  nmotri  24263  pcoass  24547  minveclem2  24950  ovollb2lem  25012  ovolunlem1a  25020  ovoliunlem1  25026  nulmbl2  25060  ioombl1lem4  25085  uniioombllem5  25111  itg2splitlem  25273  itg2addlem  25283  ibladdlem  25344  ulmbdd  25917  cxpaddle  26267  ang180lem2  26322  fsumharmonic  26523  lgamgulmlem3  26542  lgamgulmlem5  26544  ppiub  26714  lgsdirprm  26841  lgsqrlem2  26857  lgseisenlem2  26886  2sqlem8  26936  vmadivsumb  26993  dchrisumlem2  27000  dchrisum0lem1b  27025  mulog2sumlem1  27044  mulog2sumlem2  27045  selbergb  27059  selberg2b  27062  chpdifbndlem1  27063  logdivbnd  27066  selberg3lem2  27068  pntrlog2bnd  27094  pntpbnd2  27097  pntibndlem2  27101  pntlemr  27112  ostth2lem2  27144  ostth3  27148  smcnlem  29988  minvecolem2  30166  stadd3i  31539  le2halvesd  32006  wrdt2ind  32155  dnibndlem9  35448  ismblfin  36615  itg2addnc  36628  ibladdnclem  36630  ftc1anclem7  36653  intlewftc  41012  aks4d1p1p2  41021  dvle2  41023  2np3bcnp1  41046  sticksstones7  41054  sticksstones12a  41059  sticksstones12  41060  metakunt29  41099  2xp3dxp2ge1d  41108  pell1qrgaplem  41693  pellqrex  41699  pellfundgt1  41703  areaquad  42047  imo72b2lem0  42999  int-ineq1stprincd  43026  dvdivbd  44718  fourierdlem30  44932  sge0xaddlem2  45229  carageniuncllem2  45317