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Theorem cdlemk12 39659
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eq. 4, line 10, p. 119. (Contributed by NM, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑓   ∨ ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   ∧ ,𝑖   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,π‘Š   𝑓,𝑋,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐡(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)

Proof of Theorem cdlemk12
StepHypRef Expression
1 simp11l 1285 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp22l 1293 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp11 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp13 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5 cdlemk.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 38949 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
11 simp12 1205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
12 simp21r 1292 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
133, 11, 123jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
14 simp21l 1291 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
15 simp22 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
16 simp23 1209 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
1714, 15, 163jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
18 simp311 1321 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
19 simp313 1323 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
20 simp32r 1300 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
21 cdlemk.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
22 cdlemk.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
23 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
24 cdlemk.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
25 cdlemk.s . . . 4 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
2621, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksat 39655 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2713, 17, 18, 19, 20, 26syl113anc 1383 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
28 simp33 1212 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))
2928necomd 2997 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
306, 7, 8, 23trlcocnvat 39533 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ∈ 𝐴)
313, 12, 4, 29, 30syl121anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ∈ 𝐴)
32 simp1 1137 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
33 simp312 1322 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
34 simp32l 1299 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
3521, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksat 39655 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
3632, 17, 18, 33, 34, 35syl113anc 1383 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
3721, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksv2 39656 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
3832, 17, 18, 33, 34, 37syl113anc 1383 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
391hllatd 38172 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4021, 6, 7, 8, 23trlnidat 38982 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
413, 4, 33, 40syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
4221, 22, 6hlatjcl 38175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
431, 2, 41, 42syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
445, 6, 7, 8ltrnat 38949 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
453, 14, 2, 44syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
466, 7, 8, 23trlcocnvat 39533 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
473, 4, 11, 34, 46syl121anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
4821, 22, 6hlatjcl 38175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
491, 45, 47, 48syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
5021, 5, 24latmle1 18413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
5139, 43, 49, 50syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
5238, 51eqbrtrd 5169 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
535, 22, 6, 7, 8, 23trljat1 38975 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
543, 4, 15, 53syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
5552, 54breqtrd 5173 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
56 simp2 1138 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
57 simp31 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
58 eqid 2733 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
5921, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25, 58cdlemk11 39658 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))
6032, 56, 57, 34, 20, 59syl113anc 1383 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))
615, 22, 6hlatlej2 38184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
621, 2, 41, 61syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
6362, 54breqtrd 5173 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
6421, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksel 39654 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
6513, 17, 18, 19, 20, 64syl113anc 1383 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
665, 6, 7, 8ltrnel 38948 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
673, 65, 15, 66syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
687, 8ltrncnv 38955 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
693, 4, 68syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
707, 8, 23trlcnv 38974 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) = (π‘…β€˜πΊ))
713, 4, 70syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) = (π‘…β€˜πΊ))
7271, 28eqnetrd 3009 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))
7321, 7, 8, 23trlcone 39537 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (◑𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜β—‘πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) β‰  (π‘…β€˜(◑𝐺 ∘ 𝑋)))
743, 69, 12, 72, 19, 73syl122anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) β‰  (π‘…β€˜(◑𝐺 ∘ 𝑋)))
7574necomd 2997 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐺 ∘ 𝑋)) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΊ))
767, 8ltrncom 39547 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑋) = (𝑋 ∘ ◑𝐺))
773, 69, 12, 76syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑋) = (𝑋 ∘ ◑𝐺))
7877fveq2d 6892 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐺 ∘ 𝑋)) = (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))
7975, 78, 713netr3d 3018 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
807, 8ltrnco 39528 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇)
813, 12, 69, 80syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇)
825, 7, 8, 23trlle 38993 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ≀ π‘Š)
833, 81, 82syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ≀ π‘Š)
845, 7, 8, 23trlle 38993 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
853, 4, 84syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
865, 22, 6, 7lhp2atnle 38842 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))
873, 67, 79, 31, 83, 41, 85, 86syl322anc 1399 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))
88 nbrne1 5166 . . 3 (((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))
8963, 87, 88syl2anc 585 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))
905, 22, 24, 62atm 38336 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ (((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))) ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺))))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))))
911, 2, 10, 27, 31, 36, 55, 60, 89, 90syl333anc 1403 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘‹))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910  trLctrl 38967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968
This theorem is referenced by:  cdlemk21N  39682  cdlemk20  39683
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