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Theorem cdlemk12 40807
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eq. 4, line 10, p. 119. (Contributed by NM, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
cdlemk.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))))
Distinct variable groups:   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   ,𝑖   ,𝑖   ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊   𝑓,𝑋,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)

Proof of Theorem cdlemk12
StepHypRef Expression
1 simp11l 1284 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp22l 1292 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝑃𝐴)
3 simp11 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp13 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐺𝑇)
5 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 40097 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1371 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp12 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐹𝑇)
12 simp21r 1291 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝑋𝑇)
133, 11, 123jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇))
14 simp21l 1290 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝑁𝑇)
15 simp22 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
16 simp23 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
1714, 15, 163jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
18 simp311 1320 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
19 simp313 1322 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
20 simp32r 1299 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))
21 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
22 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
23 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
24 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
25 cdlemk.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
2621, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksat 40803 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
2713, 17, 18, 19, 20, 26syl113anc 1382 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
28 simp33 1211 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))
2928necomd 3002 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐺))
306, 7, 8, 23trlcocnvat 40681 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴)
313, 12, 4, 29, 30syl121anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴)
32 simp1 1136 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇))
33 simp312 1321 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp32l 1298 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
3521, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksat 40803 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
3632, 17, 18, 33, 34, 35syl113anc 1382 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
3721, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksv2 40804 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3832, 17, 18, 33, 34, 37syl113anc 1382 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
391hllatd 39320 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
4021, 6, 7, 8, 23trlnidat 40130 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
413, 4, 33, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
4221, 22, 6hlatjcl 39323 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
431, 2, 41, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
445, 6, 7, 8ltrnat 40097 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐴) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
453, 14, 2, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
466, 7, 8, 23trlcocnvat 40681 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
473, 4, 11, 34, 46syl121anc 1375 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
4821, 22, 6hlatjcl 39323 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
491, 45, 47, 48syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
5021, 5, 24latmle1 18534 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑃 (𝑅𝐺)))
5139, 43, 49, 50syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑃 (𝑅𝐺)))
5238, 51eqbrtrd 5188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
535, 22, 6, 7, 8, 23trljat1 40123 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
543, 4, 15, 53syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
5552, 54breqtrd 5192 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
56 simp2 1137 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
57 simp31 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
58 eqid 2740 . . . 4 (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
5921, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25, 58cdlemk11 40806 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
6032, 56, 57, 34, 20, 59syl113anc 1382 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
615, 22, 6hlatlej2 39332 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)))
621, 2, 41, 61syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)))
6362, 54breqtrd 5192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝐺𝑃)))
6421, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25cdlemksel 40802 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑆𝑋) ∈ 𝑇)
6513, 17, 18, 19, 20, 64syl113anc 1382 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑆𝑋) ∈ 𝑇)
665, 6, 7, 8ltrnel 40096 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑋) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑊))
673, 65, 15, 66syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑊))
687, 8ltrncnv 40103 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
693, 4, 68syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → 𝐺𝑇)
707, 8, 23trlcnv 40122 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐺))
713, 4, 70syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐺))
7271, 28eqnetrd 3014 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))
7321, 7, 8, 23trlcone 40685 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝑋)))
743, 69, 12, 72, 19, 73syl122anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝑋)))
7574necomd 3002 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) ≠ (𝑅𝐺))
767, 8ltrncom 40695 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑋𝑇) → (𝐺𝑋) = (𝑋𝐺))
773, 69, 12, 76syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝐺𝑋) = (𝑋𝐺))
7877fveq2d 6924 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
7975, 78, 713netr3d 3023 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ≠ (𝑅𝐺))
807, 8ltrnco 40676 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐺𝑇) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
813, 12, 69, 80syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
825, 7, 8, 23trlle 40141 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
833, 81, 82syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
845, 7, 8, 23trlle 40141 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
853, 4, 84syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
865, 22, 6, 7lhp2atnle 39990 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑊) ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊) ∧ ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊)) → ¬ (𝑅𝐺) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
873, 67, 79, 31, 83, 41, 85, 86syl322anc 1398 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ¬ (𝑅𝐺) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
88 nbrne1 5185 . . 3 (((𝑅𝐺) (𝑃 (𝐺𝑃)) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ≠ (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
8963, 87, 88syl2anc 583 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ≠ (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
905, 22, 24, 62atm 39484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑆𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑆𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)) ∧ ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ≠ (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))))
911, 2, 10, 27, 31, 36, 55, 60, 89, 90syl333anc 1402 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑆𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946   class class class wbr 5166  cmpt 5249   I cid 5592  ccnv 5699  cres 5702  ccom 5704  cfv 6573  crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-riotaBAD 38909
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-undef 8314  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116
This theorem is referenced by:  cdlemk21N  40830  cdlemk20  40831
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