cdlemk12 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cdlemk12 37980

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eq. 4, line 10, p. 119. (Contributed by NM, 30-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡𝐹))))))

**Assertion**
Ref	Expression
cdlemk12	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)))))

Distinct variable groups: ∧ ,𝑓 ∨ ,𝑓 𝑓,𝐹,𝑖 𝑓,𝐺,𝑖 𝑓,𝑁 𝑃,𝑓 𝑅,𝑓 𝑇,𝑓 𝑓,𝑊 ∧ ,𝑖 ≤ ,𝑖 ∨ ,𝑖 𝐴,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐻 𝑖,𝐾 𝑖,𝑁 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖 𝑇,𝑖 𝑖,𝑊 𝑓,𝑋,𝑖 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑓) 𝐵(𝑓,𝑖) 𝑆(𝑓,𝑖) 𝐻(𝑓) 𝐾(𝑓) ≤ (𝑓)

**Proof of Theorem cdlemk12**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1280	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp22l 1288	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp11 1199	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp13 1201	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
5		cdlemk.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		cdlemk.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemk.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	ltrnat 37270	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	3, 4, 2, 9	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
11		simp12 1200	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12		simp21r 1287	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
13	3, 11, 12	3jca 1124	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
14		simp21l 1286	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
15		simp22 1203	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
16		simp23 1204	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
17	14, 15, 16	3jca 1124	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
18		simp311 1316	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
19		simp313 1318	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
20		simp32r 1295	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))
21		cdlemk.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
22		cdlemk.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		cdlemk.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
24		cdlemk.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
25		cdlemk.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡𝐹))))))
26	21, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25	cdlemksat 37976	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
27	13, 17, 18, 19, 20, 26	syl113anc 1378	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
28		simp33 1207	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))
29	28	necomd 3071	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐺))
30	6, 7, 8, 23	trlcocnvat 37854	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ∈ 𝐴)
31	3, 12, 4, 29, 30	syl121anc 1371	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ∈ 𝐴)
32		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
33		simp312 1317	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34		simp32l 1294	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))
35	21, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25	cdlemksat 37976	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
36	32, 17, 18, 33, 34, 35	syl113anc 1378	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
37	21, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25	cdlemksv2 37977	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)))))
38	32, 17, 18, 33, 34, 37	syl113anc 1378	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)))))
39	1	hllatd 36494	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
40	21, 6, 7, 8, 23	trlnidat 37303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
41	3, 4, 33, 40	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
42	21, 22, 6	hlatjcl 36497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
43	1, 2, 41, 42	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
44	5, 6, 7, 8	ltrnat 37270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
45	3, 14, 2, 44	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
46	6, 7, 8, 23	trlcocnvat 37854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹)) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐴)
47	3, 4, 11, 34, 46	syl121anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐴)
48	21, 22, 6	hlatjcl 36497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹))) ∈ 𝐵)
49	1, 45, 47, 48	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹))) ∈ 𝐵)
50	21, 5, 24	latmle1 17680	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
51	39, 43, 49, 50	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
52	38, 51	eqbrtrd 5080	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
53	5, 22, 6, 7, 8, 23	trljat1 37296	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
54	3, 4, 15, 53	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
55	52, 54	breqtrd 5084	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
56		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
57		simp31 1205	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
58		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐹)))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐹))))
59	21, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25, 58	cdlemk11 37979	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))
60	32, 56, 57, 34, 20, 59	syl113anc 1378	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))
61	5, 22, 6	hlatlej2 36506	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
62	1, 2, 41, 61	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
63	62, 54	breqtrd 5084	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
64	21, 5, 22, 6, 7, 8, 23, 24, 25	cdlemksel 37975	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑆‘𝑋) ∈ 𝑇)
65	13, 17, 18, 19, 20, 64	syl113anc 1378	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑆‘𝑋) ∈ 𝑇)
66	5, 6, 7, 8	ltrnel 37269	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ≤ 𝑊))
67	3, 65, 15, 66	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ≤ 𝑊))
68	7, 8	ltrncnv 37276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ^◡𝐺 ∈ 𝑇)
69	3, 4, 68	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ^◡𝐺 ∈ 𝑇)
70	7, 8, 23	trlcnv 37295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘^◡𝐺) = (𝑅‘𝐺))
71	3, 4, 70	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘^◡𝐺) = (𝑅‘𝐺))
72	71, 28	eqnetrd 3083	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘^◡𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))
73	21, 7, 8, 23	trlcone 37858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (^◡𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘^◡𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘^◡𝐺) ≠ (𝑅‘(^◡𝐺 ∘ 𝑋)))
74	3, 69, 12, 72, 19, 73	syl122anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘^◡𝐺) ≠ (𝑅‘(^◡𝐺 ∘ 𝑋)))
75	74	necomd 3071	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘(^◡𝐺 ∘ 𝑋)) ≠ (𝑅‘^◡𝐺))
76	7, 8	ltrncom 37868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ^◡𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (^◡𝐺 ∘ 𝑋) = (𝑋 ∘ ^◡𝐺))
77	3, 69, 12, 76	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (^◡𝐺 ∘ 𝑋) = (𝑋 ∘ ^◡𝐺))
78	77	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘(^◡𝐺 ∘ 𝑋)) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)))
79	75, 78, 71	3netr3d 3092	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ≠ (𝑅‘𝐺))
80	7, 8	ltrnco 37849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ^◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑋 ∘ ^◡𝐺) ∈ 𝑇)
81	3, 12, 69, 80	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑋 ∘ ^◡𝐺) ∈ 𝑇)
82	5, 7, 8, 23	trlle 37314	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ^◡𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ≤ 𝑊)
83	3, 81, 82	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ≤ 𝑊)
84	5, 7, 8, 23	trlle 37314	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
85	3, 4, 84	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
86	5, 22, 6, 7	lhp2atnle 37163	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)) → ¬ (𝑅‘𝐺) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))
87	3, 67, 79, 31, 83, 41, 85, 86	syl322anc 1394	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ¬ (𝑅‘𝐺) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))
88		nbrne1 5077	. . 3 ⊢ (((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ¬ (𝑅‘𝐺) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)))) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≠ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))
89	63, 87, 88	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≠ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))
90	5, 22, 24, 6	2atm 36657	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≠ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺))))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)))))
91	1, 2, 10, 27, 31, 36, 55, 60, 89, 90	syl333anc 1398	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ^◡𝐺)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ≠ wne 3016 class class class wbr 5058 ↦ cmpt 5138 I cid 5453 ^◡ccnv 5548 ↾ cres 5551 ∘ ccom 5553 ‘cfv 6349 ℩crio 7107 (class class class)co 7150 Basecbs 16477 lecple 16566 joincjn 17548 meetcmee 17549 Latclat 17649 Atomscatm 36393 HLchlt 36480 LHypclh 37114 LTrncltrn 37231 trLctrl 37288

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2173 ax-ext 2793 ax-rep 5182 ax-sep 5195 ax-nul 5202 ax-pow 5258 ax-pr 5321 ax-un 7455 ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3772 df-csb 3883 df-dif 3938 df-un 3940 df-in 3942 df-ss 3951 df-nul 4291 df-if 4467 df-pw 4540 df-sn 4561 df-pr 4563 df-op 4567 df-uni 4832 df-iun 4913 df-iin 4914 df-br 5059 df-opab 5121 df-mpt 5139 df-id 5454 df-xp 5555 df-rel 5556 df-cnv 5557 df-co 5558 df-dm 5559 df-rn 5560 df-res 5561 df-ima 5562 df-iota 6308 df-fun 6351 df-fn 6352 df-f 6353 df-f1 6354 df-fo 6355 df-f1o 6356 df-fv 6357 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-1st 7683 df-2nd 7684 df-undef 7933 df-map 8402 df-proset 17532 df-poset 17550 df-plt 17562 df-lub 17578 df-glb 17579 df-join 17580 df-meet 17581 df-p0 17643 df-p1 17644 df-lat 17650 df-clat 17712 df-oposet 36306 df-ol 36308 df-oml 36309 df-covers 36396 df-ats 36397 df-atl 36428 df-cvlat 36452 df-hlat 36481 df-llines 36628 df-lplanes 36629 df-lvols 36630 df-lines 36631 df-psubsp 36633 df-pmap 36634 df-padd 36926 df-lhyp 37118 df-laut 37119 df-ldil 37234 df-ltrn 37235 df-trl 37289

This theorem is referenced by: cdlemk21N 38003 cdlemk20 38004

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