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Theorem cdlemk12u 38044
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 18, p. 119, showing Eq. 4 (line 10, p. 119) for the sigma1 (𝑈) case. (Contributed by NM, 4-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk1.l = (le‘𝐾)
cdlemk1.j = (join‘𝐾)
cdlemk1.m = (meet‘𝐾)
cdlemk1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk1.o 𝑂 = (𝑆𝐷)
cdlemk1.u 𝑈 = (𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk12u ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ,𝑒   ,𝑒   𝐷,𝑒,𝑗   𝑒,𝐺,𝑗   𝑒,𝑂   𝑃,𝑒   𝑅,𝑒   𝑇,𝑒   𝑒,𝑊   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑗,𝑂   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑒,𝐹   𝑒,𝑋,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   (𝑒,𝑓)   𝑁(𝑒)   𝑂(𝑓,𝑖)   𝑋(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk12u
StepHypRef Expression
1 simp11l 1280 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp22l 1288 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑃𝐴)
3 simp11 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp212 1308 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺𝑇)
5 cdlemk1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 cdlemk1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 37312 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1367 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp23 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
12 simp213 1309 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑋𝑇)
13 simp12 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐹𝑇)
14 simp13 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐷𝑇)
15 simp211 1307 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑁𝑇)
16 simp331 1322 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
17 simp333 1324 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷))
1817necomd 3061 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝑋))
1916, 18jca 514 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝑋)))
20 simp311 1316 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
21 simp32l 1294 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22 simp312 1317 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2320, 21, 223jca 1124 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
24 simp22 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
25 cdlemk1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
26 cdlemk1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
27 cdlemk1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
28 cdlemk1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
29 cdlemk1.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
30 cdlemk1.o . . . 4 𝑂 = (𝑆𝐷)
31 cdlemk1.u . . . 4 𝑈 = (𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
3225, 5, 26, 27, 6, 7, 8, 28, 29, 30, 31cdlemkuat 38038 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝑋𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑈𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
333, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 23, 24, 32syl333anc 1398 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
34 simp32r 1295 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))
3534necomd 3061 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐺))
366, 7, 8, 28trlcocnvat 37896 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴)
373, 12, 4, 35, 36syl121anc 1371 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴)
38 simp332 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
3938necomd 3061 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺))
4016, 39jca 514 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)))
41 simp313 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4220, 41, 223jca 1124 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
4325, 5, 26, 27, 6, 7, 8, 28, 29, 30, 31cdlemkuat 38038 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
443, 11, 4, 13, 14, 15, 40, 42, 24, 43syl333anc 1398 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
4525, 5, 26, 27, 6, 7, 8, 28, 29, 30, 31cdlemkuv2 38039 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))))
463, 11, 4, 13, 14, 15, 40, 42, 24, 45syl333anc 1398 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))))
471hllatd 36536 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4825, 6, 7, 8, 28trlnidat 37345 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
493, 4, 41, 48syl3anc 1367 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
5025, 26, 6hlatjcl 36539 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
511, 2, 49, 50syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
52 simp1 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
5315, 24, 113jca 1124 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
5425, 5, 26, 27, 6, 7, 8, 28, 29, 30cdlemkoatnle 38023 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑂𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑂𝑃) 𝑊))
5554simpld 497 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑂𝑃) ∈ 𝐴)
5652, 53, 20, 22, 16, 55syl113anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑂𝑃) ∈ 𝐴)
576, 7, 8, 28trlcocnvat 37896 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅‘(𝐺𝐷)) ∈ 𝐴)
583, 4, 14, 38, 57syl121anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝐺𝐷)) ∈ 𝐴)
5925, 26, 6hlatjcl 36539 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑂𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐷)) ∈ 𝐴) → ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))) ∈ 𝐵)
601, 56, 58, 59syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))) ∈ 𝐵)
6125, 5, 27latmle1 17665 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) (𝑃 (𝑅𝐺)))
6247, 51, 60, 61syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) (𝑃 (𝑅𝐺)))
6346, 62eqbrtrd 5064 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
645, 26, 6, 7, 8, 28trljat1 37338 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
653, 4, 24, 64syl3anc 1367 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
6663, 65breqtrd 5068 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
67 simp2 1133 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
68 simp31 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
69 simp33 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))
70 eqid 2820 . . . 4 (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐷)) (𝑅‘(𝑋𝐷)))) = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐷)) (𝑅‘(𝑋𝐷))))
7125, 5, 26, 27, 6, 7, 8, 28, 29, 30, 31, 70cdlemk11u 38043 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
7252, 67, 68, 21, 69, 71syl113anc 1378 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
735, 26, 6hlatlej2 36548 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)))
741, 2, 49, 73syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)))
7574, 65breqtrd 5068 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝐺𝑃)))
7625, 5, 26, 27, 6, 7, 8, 28, 29, 30, 31cdlemkuel 38037 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝑋𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑇)
773, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 23, 24, 76syl333anc 1398 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑇)
785, 6, 7, 8ltrnel 37311 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑋) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝑋)‘𝑃) 𝑊))
793, 77, 24, 78syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (((𝑈𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝑋)‘𝑃) 𝑊))
807, 8ltrncnv 37318 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
813, 4, 80syl2anc 586 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺𝑇)
827, 8, 28trlcnv 37337 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐺))
833, 4, 82syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐺))
8483, 34eqnetrd 3073 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋))
8525, 7, 8, 28trlcone 37900 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝑋)))
863, 81, 12, 84, 21, 85syl122anc 1375 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝑋)))
8786necomd 3061 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) ≠ (𝑅𝐺))
887, 8ltrncom 37910 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑋𝑇) → (𝐺𝑋) = (𝑋𝐺))
893, 81, 12, 88syl3anc 1367 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐺𝑋) = (𝑋𝐺))
9089fveq2d 6650 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
9187, 90, 833netr3d 3082 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ≠ (𝑅𝐺))
927, 8ltrnco 37891 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐺𝑇) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
933, 12, 81, 92syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
945, 7, 8, 28trlle 37356 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
953, 93, 94syl2anc 586 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
965, 7, 8, 28trlle 37356 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
973, 4, 96syl2anc 586 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
985, 26, 6, 7lhp2atnle 37205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑈𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝑋)‘𝑃) 𝑊) ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊) ∧ ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊)) → ¬ (𝑅𝐺) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
993, 79, 91, 37, 95, 49, 97, 98syl322anc 1394 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ¬ (𝑅𝐺) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
100 nbrne1 5061 . . 3 (((𝑅𝐺) (𝑃 (𝐺𝑃)) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ≠ (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
10175, 99, 100syl2anc 586 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ≠ (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
1025, 26, 27, 62atm 36699 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑈𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ≠ (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))))
1031, 2, 10, 33, 37, 44, 66, 72, 101, 102syl333anc 1398 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑋)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑈𝑋)‘𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  cmpt 5122   I cid 5435  ccnv 5530  cres 5533  ccom 5535  cfv 6331  crio 7090  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  lecple 16551  joincjn 17533  meetcmee 17534  Latclat 17634  Atomscatm 36435  HLchlt 36522  LHypclh 37156  LTrncltrn 37273  trLctrl 37330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-riotaBAD 36125
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-undef 7917  df-map 8386  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331
This theorem is referenced by:  cdlemk12u-2N  38062  cdlemk22  38065
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