Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhple Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhple 39416
Description: Property of a lattice element under a co-atom. (Contributed by NM, 28-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhple.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhple.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhple.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhple.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhple.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhple.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhple (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ π‘Š) = 𝑋)
Proof of Theorem lhple
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38737 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 lhple.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 lhple.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38662 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
8 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
9 lhple.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
104, 9latjcom 18408 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑃))
112, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑃))
1211oveq1d 7417 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ π‘Š) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š))
13 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 simp3r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
15 lhple.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 lhple.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 lhple.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
184, 15, 9, 16, 17lhpmod6i1 39413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š))
1913, 8, 7, 14, 18syl121anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š))
20 eqid 2724 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
2115, 16, 20, 5, 17lhpmat 39404 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
22213adant3 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
2322oveq2d 7418 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)))
24 hlol 38734 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
251, 24syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
264, 9, 20olj01 38598 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
2725, 8, 26syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
2823, 27eqtrd 2764 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
2912, 19, 283eqtr2d 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ π‘Š) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18272  meetcmee 18273  0.cp0 18384  Latclat 18392  OLcol 38547  Atomscatm 38636  HLchlt 38723  LHypclh 39358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362
This theorem is referenced by:  lhpat4N  39418  cdlemn2  40569  dihord5apre  40636
  Copyright terms: Public domain W3C validator