Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37855 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β π β π΄) |
4 | | lhple.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | lhple.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β π β π΅) |
9 | | lhple.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | 4, 9 | latjcom 18343 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
11 | 2, 7, 8, 10 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
12 | 11 | oveq1d 7377 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
13 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simp3r 1203 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β π β€ π) |
15 | | lhple.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | lhple.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | lhple.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | 4, 15, 9, 16, 17 | lhpmod6i1 38531 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β¨ (π β§ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
19 | 13, 8, 7, 14, 18 | syl121anc 1376 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
20 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
21 | 15, 16, 20, 5, 17 | lhpmat 38522 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
22 | 21 | 3adant3 1133 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
23 | 22 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) = (π β¨ (0.βπΎ))) |
24 | | hlol 37852 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
25 | 1, 24 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β πΎ β OL) |
26 | 4, 9, 20 | olj01 37716 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
27 | 25, 8, 26 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
28 | 23, 27 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
29 | 12, 19, 28 | 3eqtr2d 2783 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |