Theorem ipcl 21651

Description: Closure of the inner product operation in a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcl.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipcl	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem ipcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 21650	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6		ipcl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		rlmbas 21200	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(ringLMod‘𝐹))
8	6, 7	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘(ringLMod‘𝐹))
9	3, 8	lmhmf 21033	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉⟶𝐾)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉⟶𝐾)
11	4	fmpt 7130	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉⟶𝐾)
12	10, 11	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾)
13		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
14	13	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾))
15	14	rspccva 3621	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
16	12, 15	stoic3 1776	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
17	16	3com23 1127	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  ·_𝑖cip 17302   LMHom clmhm 21018  ringLModcrglmod 21171  PreHilcphl 21642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-ghm 19231  df-lmhm 21021  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-phl 21644

This theorem is referenced by:  iporthcom  21653  ipdi  21658  ip2di  21659  ipsubdir  21660  ipsubdi  21661  ip2subdi  21662  ipassr  21664  phlipf  21670  ip2eq  21671  phlssphl  21677  lsmcss  21710  cphipcl  25225  cphnmf  25229  cphsubdir  25242  cphsubdi  25243  cph2subdi  25244  tcphcphlem3  25267  ipcau2  25268  tcphcphlem1  25269  tcphcph  25271  nmparlem  25273  pjthlem1  25471