Theorem ipcl 20464

Description: Closure of the inner product operation in a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcl.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipcl	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem ipcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 20463	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6		ipcl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		rlmbas 19662	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(ringLMod‘𝐹))
8	6, 7	eqtri 2819	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘(ringLMod‘𝐹))
9	3, 8	lmhmf 19501	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉⟶𝐾)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉⟶𝐾)
11	4	fmpt 6742	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉⟶𝐾)
12	10, 11	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾)
13		oveq1 7028	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
14	13	eleq1d 2867	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾))
15	14	rspccva 3558	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
16	12, 15	stoic3 1758	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
17	16	3com23 1119	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   ↦ cmpt 5045  ⟶wf 6226  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  Scalarcsca 16402  ·_𝑖cip 16404   LMHom clmhm 19486  ringLModcrglmod 19636  PreHilcphl 20455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-ghm 18102  df-lmhm 19489  df-sra 19639  df-rgmod 19640  df-phl 20457

This theorem is referenced by:  iporthcom  20466  ipdi  20471  ip2di  20472  ipsubdir  20473  ipsubdi  20474  ip2subdi  20475  ipassr  20477  phlipf  20483  ip2eq  20484  phlssphl  20490  lsmcss  20523  cphipcl  23483  cphnmf  23487  cphsubdir  23500  cphsubdi  23501  cph2subdi  23502  tcphcphlem3  23524  ipcau2  23525  tcphcphlem1  23526  tcphcph  23528  nmparlem  23530  pjthlem1  23728