Theorem lt2halves 12443

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by NM, 13-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2halves	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Proof of Theorem lt2halves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2		rehalfcl 12434	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
3	2, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
4	3	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
5		lt2add 11695	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ)) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
6	1, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
7		recn 11195	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8		2halves 12436	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
10	9	breq2d 5150	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
11	10	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
12	6, 11	sylibd 238	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  ℝcr 11104   + caddc 11108   < clt 11244   / cdiv 11867  2c2 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271

This theorem is referenced by:  lt2halvesd  12456  ngptgp  24466  vacn  30382  bfplem2  37147