MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2halves Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2halves 12322
Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by NM, 13-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
lt2halves ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))

Proof of Theorem lt2halves
StepHypRef Expression
1 3simpa 1149 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2 rehalfcl 12313 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
32, 2jca 513 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
433ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ))
5 lt2add 11574 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ)) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
61, 4, 5syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
7 recn 11075 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8 2halves 12315 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
109breq2d 5116 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
11103ad2ant3 1136 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
126, 11sylibd 238 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984   + caddc 10988   < clt 11123   / cdiv 11746  2c2 12142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150
This theorem is referenced by:  lt2halvesd  12335  ngptgp  23915  vacn  29435  bfplem2  36178
  Copyright terms: Public domain W3C validator