Theorem lt2halvesd 11964

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2halvesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2halvesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2halvesd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐶 / 2))
lt2halvesd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐶 / 2))

Assertion

Ref	Expression
lt2halvesd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)

Proof of Theorem lt2halvesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2halvesd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐶 / 2))
2		lt2halvesd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐶 / 2))
3		rehalfcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lt2halvesd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lt2halvesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2halves 11951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  ℝcr 10614   + caddc 10618   < clt 10753   / cdiv 11375  2c2 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-2 11779

This theorem is referenced by:  abs3lem  14788  metustexhalf  23309  nlmvscnlem2  23438  metdcnlem  23588  cntotbnd  35577  addlimc  42731  fourierdlem103  43292  fourierdlem104  43293