Theorem rehalfcl 12471

Description: Real closure of half. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12319	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2ne0 12349	. 2 ⊢ 2 ≠ 0
3		redivcl 11966	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp3an23 1449	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140   / cdiv 11903  2c2 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-2 12308

This theorem is referenced by:  halfpos  12475  lt2halves  12480  nominpos  12482  avgle1  12485  avgle2  12486  rehalfcld  12492  rehalfcli  12494  fldiv4lem1div2uz2  13837  efgt0  16083  sin02gt0  16172  tangtx  26485  sinq12gt0  26487  cosordlem  26509  cxpcn3lem  26727  basellem1  27058  gausslemma2dlem1a  27343  chebbnd1lem2  27448  chebbnd1lem3  27449  sin2h  37214  cos2h  37215  tan2h  37216  itg2addnclem  37275  infleinflem1  44890  fourierdlem57  45689  fourierdlem66  45698  smflimlem4  46300