MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rehalfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rehalfcl 12380
Description: Real closure of half. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
rehalfcl (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcl
StepHypRef Expression
1 2re 12228 . 2 2 ∈ ℝ
2 2ne0 12258 . 2 2 ≠ 0
3 redivcl 11875 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp3an23 1454 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2944  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052   / cdiv 11813  2c2 12209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217
This theorem is referenced by:  halfpos  12384  lt2halves  12389  nominpos  12391  avgle1  12394  avgle2  12395  rehalfcld  12401  rehalfcli  12403  fldiv4lem1div2uz2  13742  efgt0  15986  sin02gt0  16075  tangtx  25865  sinq12gt0  25867  cosordlem  25889  cxpcn3lem  26103  basellem1  26433  gausslemma2dlem1a  26716  chebbnd1lem2  26821  chebbnd1lem3  26822  sin2h  36071  cos2h  36072  tan2h  36073  itg2addnclem  36132  infleinflem1  43611  fourierdlem57  44411  fourierdlem66  44420  smflimlem4  45022
  Copyright terms: Public domain W3C validator