Theorem rehalfcl 12445

Description: Real closure of half. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12289	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2ne0 12321	. 2 ⊢ 2 ≠ 0
3		redivcl 11907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp3an23 1473	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   / cdiv 11841  2c2 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277

This theorem is referenced by:  halfpos  12448  lt2halves  12453  nominpos  12455  avgle1  12458  avgle2  12459  rehalfcld  12465  rehalfcli  12467  fldiv4lem1div2uz2  13843  efgt0  16118  sin02gt0  16207  tangtx  26547  sinq12gt0  26549  cosordlem  26572  cxpcn3lem  26789  basellem1  27122  gausslemma2dlem1a  27406  chebbnd1lem2  27511  chebbnd1lem3  27512  sin2h  38073  cos2h  38074  tan2h  38075  itg2addnclem  38134  infleinflem1  45909  fourierdlem57  46701  fourierdlem66  46710  smflimlem4  47312