MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addltmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmul 12470
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
addltmul (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem addltmul
StepHypRef Expression
1 2re 12308 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
2 1re 11236 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
3 ltsub1 11732 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
41, 2, 3mp3an13 1449 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
5 2m1e1 12360 . . . . . . 7 (2 โˆ’ 1) = 1
65breq1i 5149 . . . . . 6 ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1))
74, 6bitrdi 287 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
8 ltsub1 11732 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
91, 2, 8mp3an13 1449 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
105breq1i 5149 . . . . . 6 ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1))
119, 10bitrdi 287 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ต โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
127, 11bi2anan9 637 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†” (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))))
13 peano2rem 11549 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
14 peano2rem 11549 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
15 mulgt1 12095 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
1615ex 412 . . . . 5 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
1713, 14, 16syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
1812, 17sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
19 recn 11220 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 recn 11220 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 ax-1cn 11188 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
22 mulsub 11679 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2321, 22mpanl2 700 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2421, 23mpanr2 703 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2519, 20, 24syl2an 595 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2625breq2d 5154 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
27 remulcl 11215 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„)
282, 27mpan2 690 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„)
29 remulcl 11215 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„)
302, 29mpan2 690 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„)
31 readdcl 11213 . . . . . . 7 (((๐ด ยท 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„)
3228, 30, 31syl2an 595 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„)
33 remulcl 11215 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
342, 2remulcli 11252 . . . . . . 7 (1 ยท 1) โˆˆ โ„
35 readdcl 11213 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„)
3633, 34, 35sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„)
37 ltaddsub2 11711 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
382, 37mp3an2 1446 . . . . . 6 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
3932, 36, 38syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
40 1t1e1 12396 . . . . . . 7 (1 ยท 1) = 1
4140oveq2i 7425 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐ต) + 1)
4241breq2i 5150 . . . . 5 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
4339, 42bitr3di 286 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
44 ltadd1 11703 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
452, 44mp3an3 1447 . . . . . 6 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
4632, 33, 45syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
47 ax-1rid 11200 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
48 ax-1rid 11200 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
4947, 48oveqan12d 7433 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) = (๐ด + ๐ต))
5049breq1d 5152 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5146, 50bitr3d 281 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5226, 43, 513bitrd 305 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5318, 52sylibd 238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5453imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466  2c2 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-2 12297
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator