Theorem addltmul 12364

Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addltmul	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12206	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 11119	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ltsub1 11620	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
4	1, 2, 3	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
5		2m1e1 12253	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	breq1i 5100	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
7	4, 6	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
8		ltsub1 11620	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
9	1, 2, 8	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
10	5	breq1i 5100	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
11	9, 10	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
12	7, 11	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) ↔ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
13		peano2rem 11435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14		peano2rem 11435	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
15		mulgt1 11990	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
16	15	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
17	13, 14, 16	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
18	12, 17	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
19		recn 11103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
20		recn 11103	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11071	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		mulsub 11567	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
23	21, 22	mpanl2 701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
24	21, 23	mpanr2 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
25	19, 20, 24	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
26	25	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
27		remulcl 11098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
28	2, 27	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
29		remulcl 11098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
30	2, 29	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
31		readdcl 11096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
32	28, 30, 31	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
33		remulcl 11098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
34	2, 2	remulcli 11135	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) ∈ ℝ
35		readdcl 11096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
36	33, 34, 35	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
37		ltaddsub2 11599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
38	2, 37	mp3an2 1451	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
39	32, 36, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
40		1t1e1 12289	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
41	40	oveq2i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
42	41	breq2i 5101	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))
43	39, 42	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
44		ltadd1 11591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
45	2, 44	mp3an3 1452	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
46	32, 33, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
47		ax-1rid 11083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
48		ax-1rid 11083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
49	47, 48	oveqan12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
50	49	breq1d 5103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
51	46, 50	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
52	26, 43, 51	3bitrd 305	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
53	18, 52	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
54	53	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   − cmin 11351  2c2 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-2 12195

This theorem is referenced by: (None)