MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addltmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmul 12390
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
addltmul (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem addltmul
StepHypRef Expression
1 2re 12228 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
2 1re 11156 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
3 ltsub1 11652 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
41, 2, 3mp3an13 1453 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
5 2m1e1 12280 . . . . . . 7 (2 โˆ’ 1) = 1
65breq1i 5113 . . . . . 6 ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1))
74, 6bitrdi 287 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
8 ltsub1 11652 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
91, 2, 8mp3an13 1453 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
105breq1i 5113 . . . . . 6 ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1))
119, 10bitrdi 287 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ต โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
127, 11bi2anan9 638 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†” (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))))
13 peano2rem 11469 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
14 peano2rem 11469 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
15 mulgt1 12015 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
1615ex 414 . . . . 5 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
1713, 14, 16syl2an 597 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
1812, 17sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
19 recn 11142 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 recn 11142 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 ax-1cn 11110 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
22 mulsub 11599 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2321, 22mpanl2 700 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2421, 23mpanr2 703 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2519, 20, 24syl2an 597 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2625breq2d 5118 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
27 remulcl 11137 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„)
282, 27mpan2 690 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„)
29 remulcl 11137 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„)
302, 29mpan2 690 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„)
31 readdcl 11135 . . . . . . 7 (((๐ด ยท 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„)
3228, 30, 31syl2an 597 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„)
33 remulcl 11137 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
342, 2remulcli 11172 . . . . . . 7 (1 ยท 1) โˆˆ โ„
35 readdcl 11135 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„)
3633, 34, 35sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„)
37 ltaddsub2 11631 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
382, 37mp3an2 1450 . . . . . 6 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
3932, 36, 38syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
40 1t1e1 12316 . . . . . . 7 (1 ยท 1) = 1
4140oveq2i 7369 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐ต) + 1)
4241breq2i 5114 . . . . 5 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
4339, 42bitr3di 286 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
44 ltadd1 11623 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
452, 44mp3an3 1451 . . . . . 6 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
4632, 33, 45syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
47 ax-1rid 11122 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
48 ax-1rid 11122 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
4947, 48oveqan12d 7377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) = (๐ด + ๐ต))
5049breq1d 5116 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5146, 50bitr3d 281 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5226, 43, 513bitrd 305 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5318, 52sylibd 238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5453imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386  2c2 12209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-2 12217
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator