Proof of Theorem addltmul
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2re 12340 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 2 | | 1re 11261 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 3 | | ltsub1 11759 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1))) |
| 4 | 1, 2, 3 | mp3an13 1454 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 <
𝐴 ↔ (2 − 1) <
(𝐴 −
1))) |
| 5 | | 2m1e1 12392 |
. . . . . . 7
⊢ (2
− 1) = 1 |
| 6 | 5 | breq1i 5150 |
. . . . . 6
⊢ ((2
− 1) < (𝐴 −
1) ↔ 1 < (𝐴 −
1)) |
| 7 | 4, 6 | bitrdi 287 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 <
𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1))) |
| 8 | | ltsub1 11759 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐵
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1))) |
| 9 | 1, 2, 8 | mp3an13 1454 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 <
𝐵 ↔ (2 − 1) <
(𝐵 −
1))) |
| 10 | 5 | breq1i 5150 |
. . . . . 6
⊢ ((2
− 1) < (𝐵 −
1) ↔ 1 < (𝐵 −
1)) |
| 11 | 9, 10 | bitrdi 287 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 <
𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1))) |
| 12 | 7, 11 | bi2anan9 638 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵) ↔ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))) |
| 13 | | peano2rem 11576 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈
ℝ) |
| 14 | | peano2rem 11576 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈
ℝ) |
| 15 | | mulgt1 12129 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
(𝐵 − 1) ∈
ℝ) ∧ (1 < (𝐴
− 1) ∧ 1 < (𝐵
− 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))) |
| 16 | 15 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
(𝐵 − 1) ∈
ℝ) → ((1 < (𝐴
− 1) ∧ 1 < (𝐵
− 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))) |
| 17 | 13, 14, 16 | syl2an 596 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 <
(𝐴 − 1) ∧ 1 <
(𝐵 − 1)) → 1
< ((𝐴 − 1)
· (𝐵 −
1)))) |
| 18 | 12, 17 | sylbid 240 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))) |
| 19 | | recn 11245 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 20 | | recn 11245 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 21 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 22 | | mulsub 11706 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) ∧ (𝐵 ∈
ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))) |
| 23 | 21, 22 | mpanl2 701 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ)) → ((𝐴
− 1) · (𝐵
− 1)) = (((𝐴 ·
𝐵) + (1 · 1))
− ((𝐴 · 1) +
(𝐵 ·
1)))) |
| 24 | 21, 23 | mpanr2 704 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))) |
| 25 | 19, 20, 24 | syl2an 596 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))) |
| 26 | 25 | breq2d 5155 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
((𝐴 − 1) ·
(𝐵 − 1)) ↔ 1
< (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 27 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (𝐴 ·
1) ∈ ℝ) |
| 28 | 2, 27 | mpan2 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) ∈
ℝ) |
| 29 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (𝐵 ·
1) ∈ ℝ) |
| 30 | 2, 29 | mpan2 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) ∈
ℝ) |
| 31 | | readdcl 11238 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 · 1) ∈ ℝ
∧ (𝐵 · 1) ∈
ℝ) → ((𝐴
· 1) + (𝐵 ·
1)) ∈ ℝ) |
| 32 | 28, 30, 31 | syl2an 596 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈
ℝ) |
| 33 | | remulcl 11240 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) |
| 34 | 2, 2 | remulcli 11277 |
. . . . . . 7
⊢ (1
· 1) ∈ ℝ |
| 35 | | readdcl 11238 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 · 1) ∈
ℝ) → ((𝐴
· 𝐵) + (1 ·
1)) ∈ ℝ) |
| 36 | 33, 34, 35 | sylancl 586 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈
ℝ) |
| 37 | | ltaddsub2 11738 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ
∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) →
((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 38 | 2, 37 | mp3an2 1451 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ
∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈
ℝ) → ((((𝐴
· 1) + (𝐵 ·
1)) + 1) < ((𝐴 ·
𝐵) + (1 · 1)) ↔
1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 39 | 32, 36, 38 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 40 | | 1t1e1 12428 |
. . . . . . 7
⊢ (1
· 1) = 1 |
| 41 | 40 | oveq2i 7442 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1) |
| 42 | 41 | breq2i 5151 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)) |
| 43 | 39, 42 | bitr3di 286 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
(((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))) |
| 44 | | ltadd1 11730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ
∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (((𝐴
· 1) + (𝐵 ·
1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))) |
| 45 | 2, 44 | mp3an3 1452 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ
∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) →
(((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))) |
| 46 | 32, 33, 45 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))) |
| 47 | | ax-1rid 11225 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
| 48 | | ax-1rid 11225 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵) |
| 49 | 47, 48 | oveqan12d 7450 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵)) |
| 50 | 49 | breq1d 5153 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 51 | 46, 50 | bitr3d 281 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 52 | 26, 43, 51 | 3bitrd 305 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
((𝐴 − 1) ·
(𝐵 − 1)) ↔
(𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 53 | 18, 52 | sylibd 239 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 54 | 53 | imp 406 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)) |