MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addltmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmul 12452
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
addltmul (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem addltmul
StepHypRef Expression
1 2re 12290 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
2 1re 11218 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
3 ltsub1 11714 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
41, 2, 3mp3an13 1450 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
5 2m1e1 12342 . . . . . . 7 (2 โˆ’ 1) = 1
65breq1i 5154 . . . . . 6 ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1))
74, 6bitrdi 286 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
8 ltsub1 11714 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
91, 2, 8mp3an13 1450 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
105breq1i 5154 . . . . . 6 ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1))
119, 10bitrdi 286 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (2 < ๐ต โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
127, 11bi2anan9 635 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†” (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))))
13 peano2rem 11531 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
14 peano2rem 11531 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
15 mulgt1 12077 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
1615ex 411 . . . . 5 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
1713, 14, 16syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
1812, 17sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
19 recn 11202 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 recn 11202 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
22 mulsub 11661 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2321, 22mpanl2 697 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2421, 23mpanr2 700 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2519, 20, 24syl2an 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
2625breq2d 5159 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
27 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„)
282, 27mpan2 687 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„)
29 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„)
302, 29mpan2 687 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„)
31 readdcl 11195 . . . . . . 7 (((๐ด ยท 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„)
3228, 30, 31syl2an 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„)
33 remulcl 11197 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
342, 2remulcli 11234 . . . . . . 7 (1 ยท 1) โˆˆ โ„
35 readdcl 11195 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„)
3633, 34, 35sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„)
37 ltaddsub2 11693 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
382, 37mp3an2 1447 . . . . . 6 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
3932, 36, 38syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
40 1t1e1 12378 . . . . . . 7 (1 ยท 1) = 1
4140oveq2i 7422 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐ต) + 1)
4241breq2i 5155 . . . . 5 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
4339, 42bitr3di 285 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
44 ltadd1 11685 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
452, 44mp3an3 1448 . . . . . 6 ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
4632, 33, 45syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
47 ax-1rid 11182 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
48 ax-1rid 11182 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
4947, 48oveqan12d 7430 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) = (๐ด + ๐ต))
5049breq1d 5157 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5146, 50bitr3d 280 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5226, 43, 513bitrd 304 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5318, 52sylibd 238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
5453imp 405 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-2 12279
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator