Theorem addltmul 11618

Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addltmul	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11449	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 10376	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ltsub1 10871	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
4	1, 2, 3	mp3an13 1525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
5		2m1e1 11508	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	breq1i 4893	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
7	4, 6	syl6bb 279	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
8		ltsub1 10871	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
9	1, 2, 8	mp3an13 1525	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
10	5	breq1i 4893	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
11	9, 10	syl6bb 279	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
12	7, 11	bi2anan9 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) ↔ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
13		peano2rem 10690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14		peano2rem 10690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
15		mulgt1 11236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
16	15	ex 403	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
17	13, 14, 16	syl2an 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
18	12, 17	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
19		recn 10362	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
20		recn 10362	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 10330	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		mulsub 10818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
23	21, 22	mpanl2 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
24	21, 23	mpanr2 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
25	19, 20, 24	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
26	25	breq2d 4898	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
27		1t1e1 11544	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
28	27	oveq2i 6933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
29	28	breq2i 4894	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))
30		remulcl 10357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
31	2, 30	mpan2 681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
32		remulcl 10357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
33	2, 32	mpan2 681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
34		readdcl 10355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
35	31, 33, 34	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
36		remulcl 10357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
37	2, 2	remulcli 10393	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) ∈ ℝ
38		readdcl 10355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
40		ltaddsub2 10850	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
41	2, 40	mp3an2 1522	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
42	35, 39, 41	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
43	29, 42	syl5rbbr 278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
44		ltadd1 10842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
45	2, 44	mp3an3 1523	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
46	35, 36, 45	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
47		ax-1rid 10342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
48		ax-1rid 10342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
49	47, 48	oveqan12d 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
50	49	breq1d 4896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
51	46, 50	bitr3d 273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
52	26, 43, 51	3bitrd 297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
53	18, 52	sylibd 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
54	53	imp 397	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411   − cmin 10606  2c2 11430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-2 11438

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