Theorem ltexprlem1 11027

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐶 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4469	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		prnmadd 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4		19.42v 1957	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
5	3, 4	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
6	5	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
7	6	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
8	7	impd 411	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
9	8	eximdv 1920	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
10	1, 9	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
11		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
12	11	eqabri 2877	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
13	12	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
14		n0 4345	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
15		excom 2162	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑥∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16	13, 14, 15	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
17	10, 16	syl6ibr 251	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐶 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709   ≠ wne 2940   ⊊ wpss 3948  ∅c0 4321  (class class class)co 7405   +_Q cplq 10846  Pcnp 10850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-ltnq 10909  df-np 10972

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11031