Theorem ltexprlem1 10457

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐶 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4419	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		prnmadd 10418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	anim2i 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4		19.42v 1950	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
5	3, 4	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
6	5	exp32 423	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
7	6	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
8	7	impd 413	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
9	8	eximdv 1914	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
10	1, 9	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
11		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
12	11	abeq2i 2948	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
13	12	exbii 1844	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
14		n0 4309	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
15		excom 2165	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑥∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16	13, 14, 15	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
17	10, 16	syl6ibr 254	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐶 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ≠ wne 3016   ⊊ wpss 3936  ∅c0 4290  (class class class)co 7155   +_Q cplq 10276  Pcnp 10280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-ni 10293  df-pli 10294  df-mi 10295  df-lti 10296  df-plpq 10329  df-mpq 10330  df-ltpq 10331  df-enq 10332  df-nq 10333  df-erq 10334  df-plq 10335  df-mq 10336  df-1nq 10337  df-ltnq 10339  df-np 10402

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10461