Theorem ltexprlem1 11074

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐶 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4477	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		prnmadd 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4		19.42v 1951	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
5	3, 4	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
6	5	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
7	6	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
8	7	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
9	8	eximdv 1915	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
10	1, 9	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
11		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
12	11	eqabri 2883	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
13	12	exbii 1845	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
14		n0 4359	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
15		excom 2160	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑥∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16	13, 14, 15	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑥(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
17	10, 16	imbitrrdi 252	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐶 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938   ⊊ wpss 3964  ∅c0 4339  (class class class)co 7431   +_Q cplq 10893  Pcnp 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-ltnq 10956  df-np 11019

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11078