MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nprm 16569
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nprm
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12778 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32zred 12612 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 eluz2gt1 12850 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐ต)
54adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐ต)
6 eluzelz 12778 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
76adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
87zred 12612 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9 eluz2nn 12814 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
109adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
1110nngt0d 12207 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < ๐ด)
12 ltmulgt11 12020 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
133, 8, 11, 12syl3anc 1372 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
145, 13mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))
153, 14ltned 11296 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โ‰  (๐ด ยท ๐ต))
16 dvdsmul1 16165 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
171, 6, 16syl2an 597 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
18 isprm4 16565 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต))))
1918simprbi 498 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)))
20 breq1 5109 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
21 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด = (๐ด ยท ๐ต)))
2220, 21imbi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2322rspcv 3576 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2419, 23syl5 34 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2524adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2617, 25mpid 44 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต)))
2726necon3ad 2953 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐ด โ‰  (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™))
2815, 27mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768   โˆฅ cdvds 16141  โ„™cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  nprmi  16570  dvdsnprmd  16571  2mulprm  16574  sqnprm  16583  mersenne  26591  341fppr2  46012  9fppr8  46015  nfermltl2rev  46021  ztprmneprm  46509
  Copyright terms: Public domain W3C validator