Theorem nprm 16768

Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nprm	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem nprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12888	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	zred 12716	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		eluz2gt1 12960	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
6		eluzelz 12888	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 12716	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		eluz2nn 12928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nngt0d 12300	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝐴)
12		ltmulgt11 12089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
13	3, 8, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
14	5, 13	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))
15	3, 14	ltned 11361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵))
16		dvdsmul1 16357	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
17	1, 6, 16	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
18		isprm4 16764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵))))
19	18	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)))
20		breq1 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
21		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
22	20, 21	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
23	22	rspcv 3579	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
24	19, 23	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
26	17, 25	mpid 45	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
27	26	necon3ad 2973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ))
28	15, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   < clt 11258  ℕcn 12248  2c2 12310  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878   ∥ cdvds 16332  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-prm 16752

This theorem is used by:  nprmi  16769  dvdsnprmd  16770  2mulprm  16773  sqnprm  16783  mersenne  27442  341fppr2  48557  9fppr8  48560  nfermltl2rev  48566  ztprmneprm  49184