Theorem nprm 16657

Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nprm	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem nprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	zred 12633	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		eluz2gt1 12870	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
6		eluzelz 12798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 12633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		eluz2nn 12838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nngt0d 12226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝐴)
12		ltmulgt11 12015	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
13	3, 8, 11, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
14	5, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))
15	3, 14	ltned 11282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵))
16		dvdsmul1 16246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
17	1, 6, 16	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
18		isprm4 16653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵))))
19	18	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)))
20		breq1 5088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
21		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
22	20, 21	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
23	22	rspcv 3560	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
24	19, 23	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
26	17, 25	mpid 44	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
27	26	necon3ad 2945	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ))
28	15, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  nprmi  16658  dvdsnprmd  16659  2mulprm  16662  sqnprm  16672  mersenne  27190  341fppr2  48210  9fppr8  48213  nfermltl2rev  48219  ztprmneprm  48823