MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nprm 16624
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nprm
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12830 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32zred 12664 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 eluz2gt1 12902 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐ต)
54adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐ต)
6 eluzelz 12830 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
76adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
87zred 12664 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9 eluz2nn 12866 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
109adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
1110nngt0d 12259 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < ๐ด)
12 ltmulgt11 12072 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
133, 8, 11, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
145, 13mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))
153, 14ltned 11348 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โ‰  (๐ด ยท ๐ต))
16 dvdsmul1 16220 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
171, 6, 16syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
18 isprm4 16620 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต))))
1918simprbi 496 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)))
20 breq1 5142 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
21 eqeq1 2728 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด = (๐ด ยท ๐ต)))
2220, 21imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2322rspcv 3600 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2419, 23syl5 34 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2524adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2617, 25mpid 44 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต)))
2726necon3ad 2945 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐ด โ‰  (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™))
2815, 27mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112   < clt 11246  โ„•cn 12210  2c2 12265  โ„คcz 12556  โ„คโ‰ฅcuz 12820   โˆฅ cdvds 16196  โ„™cprime 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-dvds 16197  df-prm 16608
This theorem is referenced by:  nprmi  16625  dvdsnprmd  16626  2mulprm  16629  sqnprm  16638  mersenne  27079  341fppr2  46912  9fppr8  46915  nfermltl2rev  46921  ztprmneprm  47237
  Copyright terms: Public domain W3C validator