MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nprm 16652
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nprm
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12856 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32zred 12690 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 eluz2gt1 12928 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐ต)
54adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐ต)
6 eluzelz 12856 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
76adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
87zred 12690 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9 eluz2nn 12892 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
109adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
1110nngt0d 12285 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < ๐ด)
12 ltmulgt11 12098 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
133, 8, 11, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
145, 13mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))
153, 14ltned 11374 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โ‰  (๐ด ยท ๐ต))
16 dvdsmul1 16248 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
171, 6, 16syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
18 isprm4 16648 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต))))
1918simprbi 496 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)))
20 breq1 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
21 eqeq1 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด = (๐ด ยท ๐ต)))
2220, 21imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2322rspcv 3604 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ฅ โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2419, 23syl5 34 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2524adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต))))
2617, 25mpid 44 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท ๐ต)))
2726necon3ad 2949 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐ด โ‰  (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™))
2815, 27mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   ยท cmul 11137   < clt 11272  โ„•cn 12236  2c2 12291  โ„คcz 12582  โ„คโ‰ฅcuz 12846   โˆฅ cdvds 16224  โ„™cprime 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-prm 16636
This theorem is referenced by:  nprmi  16653  dvdsnprmd  16654  2mulprm  16657  sqnprm  16666  mersenne  27153  341fppr2  47068  9fppr8  47071  nfermltl2rev  47077  ztprmneprm  47405
  Copyright terms: Public domain W3C validator