MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt1 12074
Description: The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulgt1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulgt1
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < ๐ด)
21a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < ๐ด))
3 0lt1 11737 . . . . . . . . 9 0 < 1
4 0re 11217 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
5 1re 11215 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
6 lttr 11291 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
74, 5, 6mp3an12 1447 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
83, 7mpani 693 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
10 ltmul2 12066 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 < ๐ต โ†” (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
1110biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
125, 11mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
1312exp32 420 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))))
1413impcom 407 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))))
159, 14syld 47 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))))
1615impd 410 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
17 ax-1rid 11179 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1918breq1d 5151 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
2016, 19sylibd 238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
212, 20jcad 512 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))))
22 remulcl 11194 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
23 lttr 11291 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
245, 23mp3an1 1444 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
2522, 24syldan 590 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
2621, 25syld 47 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
2726imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448
This theorem is referenced by:  mulgt1d  12151  addltmul  12449  uz2mulcl  12911  addltmulALT  32204
  Copyright terms: Public domain W3C validator