Theorem mulgt1 12111

Description: The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mulgt1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴))
3		0lt1 11773	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
4		0re 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lttr 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	8	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
10		ltmul2 12103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
11	10	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
12	5, 11	mp3an1 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
13	12	exp32 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))))
14	13	impcom 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
15	9, 14	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
16	15	impd 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
17		ax-1rid 11215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
18	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
19	18	breq1d 5159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
20	16, 19	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
21	2, 20	jcad 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))))
22		remulcl 11230	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23		lttr 11327	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
24	5, 23	mp3an1 1444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
25	22, 24	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
26	21, 25	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
27	26	imp 405	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℝcr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   · cmul 11150   < clt 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484

This theorem is referenced by:  mulgt1d  12188  addltmul  12486  uz2mulcl  12948  addltmulALT  32348