MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt1 12104
Description: The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulgt1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulgt1
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < ๐ด)
21a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < ๐ด))
3 0lt1 11767 . . . . . . . . 9 0 < 1
4 0re 11247 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
5 1re 11245 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
6 lttr 11321 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
74, 5, 6mp3an12 1448 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
83, 7mpani 695 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
10 ltmul2 12096 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 < ๐ต โ†” (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
1110biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
125, 11mp3an1 1445 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
1312exp32 420 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))))
1413impcom 407 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))))
159, 14syld 47 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))))
1615impd 410 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต)))
17 ax-1rid 11209 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1918breq1d 5158 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
2016, 19sylibd 238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
212, 20jcad 512 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))))
22 remulcl 11224 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
23 lttr 11321 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
245, 23mp3an1 1445 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
2522, 24syldan 590 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
2621, 25syld 47 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต)))
2726imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144   < clt 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478
This theorem is referenced by:  mulgt1d  12181  addltmul  12479  uz2mulcl  12941  addltmulALT  32269
  Copyright terms: Public domain W3C validator