Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmxnn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ltrmxnn0 41678
Description: The X-sequence is strictly monotonic on β„•0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmxnn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
Proof of Theorem ltrmxnn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 12582 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2 frmx 41642 . . . . . . 7 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
32fovcl 7536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
41, 3sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
54nn0red 12532 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
6 eluzelre 12832 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
85, 7remulcld 11243 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
91peano2zd 12668 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
102fovcl 7536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ β„•0)
119, 10sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ β„•0)
1211nn0red 12532 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
13 eluz2b2 12904 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐴 ∈ β„• ∧ 1 < 𝐴))
1413simprbi 497 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝐴)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 1 < 𝐴)
16 rmxypos 41676 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)))
1716simpld 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
18 ltmulgt11 12073 . . . . . 6 (((𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)) β†’ (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴)))
195, 7, 17, 18syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴)))
2015, 19mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴))
21 rmspecnonsq 41635 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
2221eldifad 3960 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2423nnred 12226 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
25 frmy 41643 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2625fovcl 7536 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
271, 26sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2827zred 12665 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
2923nnnn0d 12531 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3029nn0ge0d 12534 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
3116simprd 496 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))
3224, 28, 30, 31mulge0d 11790 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
3324, 28remulcld 11243 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
348, 33addge01d 11801 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
3532, 34mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
36 rmxp1 41661 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
371, 36sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
3835, 37breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
395, 8, 12, 20, 38ltletrd 11373 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
40 nn0z 12582 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ β„€)
412fovcl 7536 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ β„•0)
4240, 41sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ β„•0)
4342nn0red 12532 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ ℝ)
44 nn0uz 12863 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
45 oveq2 7416 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
46 oveq2 7416 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑏))
47 oveq2 7416 . . 3 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑀))
48 oveq2 7416 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑁))
4939, 43, 44, 45, 46, 47, 48monotuz 41670 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
50493impb 1115 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β†‘cexp 14026  β—»NNcsquarenn 41564   Xrm crmx 41628   Yrm crmy 41629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-squarenn 41569  df-pell1qr 41570  df-pell14qr 41571  df-pell1234qr 41572  df-pellfund 41573  df-rmx 41630  df-rmy 41631
This theorem is referenced by:  lermxnn0  41679
  Copyright terms: Public domain W3C validator