Theorem ltrmxnn0 43490

Description: The X-sequence is strictly monotonic on ℕ₀. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltrmxnn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))

Proof of Theorem ltrmxnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2		frmx 43454	. . . . . . 7 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3	2	fovcl 7520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
4	1, 3	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12540	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
6		eluzelre 12847	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	5, 7	remulcld 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
9	1	peano2zd 12677	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
10	2	fovcl 7520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12540	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
13		eluz2b2 12919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
14	13	simprbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
15	14	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 1 < 𝐴)
16		rmxypos 43488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
17	16	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
18		ltmulgt11 12048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴)))
19	5, 7, 17, 18	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴)))
20	15, 19	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
21		rmspecnonsq 43448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
22	21	eldifad 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23	22	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
25		frmy 43455	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
26	25	fovcl 7520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	1, 26	sylan2 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	zred 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
29	23	nnnn0d 12539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
30	29	nn0ge0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
31	16	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
32	24, 28, 30, 31	mulge0d 11761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
33	24, 28	remulcld 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
34	8, 33	addge01d 11772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
35	32, 34	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
36		rmxp1 43473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
37	1, 36	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
38	35, 37	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
39	5, 8, 12, 20, 38	ltletrd 11340	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
40		nn0z 12589	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℤ)
41	2	fovcl 7520	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℕ0)
42	40, 41	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 12540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℝ)
44		nn0uz 12874	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
45		oveq2 7400	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
46		oveq2 7400	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
47		oveq2 7400	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑀))
48		oveq2 7400	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
49	39, 43, 44, 45, 46, 47, 48	monotuz 43482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
50	49	3impb 1126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ↑cexp 14071  ◻_NNcsquarenn 43377   X_rm crmx 43441   Y_rm crmy 43442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-numer 16753  df-denom 16754  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-squarenn 43382  df-pell1qr 43383  df-pell14qr 43384  df-pell1234qr 43385  df-pellfund 43386  df-rmx 43443  df-rmy 43444

This theorem is referenced by:  lermxnn0  43491