Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmxnn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ltrmxnn0 42419
Description: The X-sequence is strictly monotonic on β„•0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmxnn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
Proof of Theorem ltrmxnn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 12623 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2 frmx 42383 . . . . . . 7 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
32fovcl 7556 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
41, 3sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
54nn0red 12573 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
6 eluzelre 12873 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
85, 7remulcld 11284 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
91peano2zd 12709 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
102fovcl 7556 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ β„•0)
119, 10sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ β„•0)
1211nn0red 12573 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
13 eluz2b2 12945 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐴 ∈ β„• ∧ 1 < 𝐴))
1413simprbi 495 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝐴)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 1 < 𝐴)
16 rmxypos 42417 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)))
1716simpld 493 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
18 ltmulgt11 12114 . . . . . 6 (((𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)) β†’ (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴)))
195, 7, 17, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴)))
2015, 19mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴))
21 rmspecnonsq 42376 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
2221eldifad 3961 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2322adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2423nnred 12267 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
25 frmy 42384 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2625fovcl 7556 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
271, 26sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2827zred 12706 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
2923nnnn0d 12572 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3029nn0ge0d 12575 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
3116simprd 494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))
3224, 28, 30, 31mulge0d 11831 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
3324, 28remulcld 11284 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
348, 33addge01d 11842 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
3532, 34mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
36 rmxp1 42402 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
371, 36sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
3835, 37breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
395, 8, 12, 20, 38ltletrd 11414 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
40 nn0z 12623 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ β„€)
412fovcl 7556 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ β„•0)
4240, 41sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ β„•0)
4342nn0red 12573 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ ℝ)
44 nn0uz 12904 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
45 oveq2 7434 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
46 oveq2 7434 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑏))
47 oveq2 7434 . . 3 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑀))
48 oveq2 7434 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑁))
4939, 43, 44, 45, 46, 47, 48monotuz 42411 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
50493impb 1112 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   Β· cmul 11153   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  2c2 12307  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β†‘cexp 14068  β—»NNcsquarenn 42305   Xrm crmx 42369   Yrm crmy 42370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-numer 16716  df-denom 16717  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-squarenn 42310  df-pell1qr 42311  df-pell14qr 42312  df-pell1234qr 42313  df-pellfund 42314  df-rmx 42371  df-rmy 42372
This theorem is referenced by:  lermxnn0  42420
  Copyright terms: Public domain W3C validator