Theorem ltrmxnn0 43957

Description: The X-sequence is strictly monotonic on ℕ₀. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltrmxnn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))

Proof of Theorem ltrmxnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12718	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2		frmx 43921	. . . . . . 7 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3	2	fovcl 7549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
4	1, 3	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
6		eluzelre 12977	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	5, 7	remulcld 11340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
9	1	peano2zd 12807	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
10	2	fovcl 7549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
13		eluz2b2 13049	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
14	13	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 1 < 𝐴)
16		rmxypos 43955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
18		ltmulgt11 12177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴)))
19	5, 7, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴)))
20	15, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
21		rmspecnonsq 43915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
22	21	eldifad 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
25		frmy 43922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
26	25	fovcl 7549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	1, 26	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	zred 12804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
29	23	nnnn0d 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
30	29	nn0ge0d 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
31	16	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
32	24, 28, 30, 31	mulge0d 11894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
33	24, 28	remulcld 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
34	8, 33	addge01d 11905	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
35	32, 34	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
36		rmxp1 43940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
37	1, 36	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
38	35, 37	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
39	5, 8, 12, 20, 38	ltletrd 11471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
40		nn0z 12718	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℤ)
41	2	fovcl 7549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℕ0)
42	40, 41	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 12669	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℝ)
44		nn0uz 13004	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
45		oveq2 7429	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
46		oveq2 7429	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
47		oveq2 7429	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑀))
48		oveq2 7429	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
49	39, 43, 44, 45, 46, 47, 48	monotuz 43949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
50	49	3impb 1132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   < clt 11344   ≤ cle 11345   − cmin 11542  ℕcn 12336  2c2 12398  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ↑cexp 14205  ◻_NNcsquarenn 43844   X_rm crmx 43908   Y_rm crmy 43909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-numer 16912  df-denom 16913  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188  df-log 26885  df-squarenn 43849  df-pell1qr 43850  df-pell14qr 43851  df-pell1234qr 43852  df-pellfund 43853  df-rmx 43910  df-rmy 43911

This theorem is used by:  lermxnn0  43958