Theorem ltrmxnn0 41249

Description: The X-sequence is strictly monotonic on ℕ₀. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltrmxnn0	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))

Proof of Theorem ltrmxnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2		frmx 41213	. . . . . . 7 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3	2	fovcl 7481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
4	1, 3	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
6		eluzelre 12771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	5, 7	remulcld 11182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
9	1	peano2zd 12607	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
10	2	fovcl 7481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
13		eluz2b2 12843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
14	13	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 1 < 𝐴)
16		rmxypos 41247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
17	16	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
18		ltmulgt11 12012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴)))
19	5, 7, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴)))
20	15, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
21		rmspecnonsq 41206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
22	21	eldifad 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
25		frmy 41214	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
26	25	fovcl 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	1, 26	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	zred 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
29	23	nnnn0d 12470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
30	29	nn0ge0d 12473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
31	16	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
32	24, 28, 30, 31	mulge0d 11729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
33	24, 28	remulcld 11182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
34	8, 33	addge01d 11740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
35	32, 34	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
36		rmxp1 41232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
37	1, 36	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
38	35, 37	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ≤ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
39	5, 8, 12, 20, 38	ltletrd 11312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
40		nn0z 12521	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℤ)
41	2	fovcl 7481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℕ0)
42	40, 41	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 12471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑎) ∈ ℝ)
44		nn0uz 12802	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
45		oveq2 7362	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
46		oveq2 7362	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
47		oveq2 7362	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑀))
48		oveq2 7362	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
49	39, 43, 44, 45, 46, 47, 48	monotuz 41241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
50	49	3impb 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5104  ‘cfv 6494  (class class class)co 7354  ℝcr 11047  0cc0 11048  1c1 11049   + caddc 11051   · cmul 11053   < clt 11186   ≤ cle 11187   − cmin 11382  ℕcn 12150  2c2 12205  ℕ₀cn0 12410  ℤcz 12496  ℤ_≥cuz 12760  ↑cexp 13964  ◻_NNcsquarenn 41135   X_rm crmx 41199   Y_rm crmy 41200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-fi 9344  df-sup 9375  df-inf 9376  df-oi 9443  df-card 9872  df-acn 9875  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-xnn0 12483  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-fl 13694  df-mod 13772  df-seq 13904  df-exp 13965  df-fac 14171  df-bc 14200  df-hash 14228  df-shft 14949  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-limsup 15350  df-clim 15367  df-rlim 15368  df-sum 15568  df-ef 15947  df-sin 15949  df-cos 15950  df-pi 15952  df-dvds 16134  df-gcd 16372  df-numer 16607  df-denom 16608  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-hom 17154  df-cco 17155  df-rest 17301  df-topn 17302  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-topgen 17322  df-pt 17323  df-prds 17326  df-xrs 17381  df-qtop 17386  df-imas 17387  df-xps 17389  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-mulg 18869  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-fbas 20789  df-fg 20790  df-cnfld 20793  df-top 22239  df-topon 22256  df-topsp 22278  df-bases 22292  df-cld 22366  df-ntr 22367  df-cls 22368  df-nei 22445  df-lp 22483  df-perf 22484  df-cn 22574  df-cnp 22575  df-haus 22662  df-tx 22909  df-hmeo 23102  df-fil 23193  df-fm 23285  df-flim 23286  df-flf 23287  df-xms 23669  df-ms 23670  df-tms 23671  df-cncf 24237  df-limc 25226  df-dv 25227  df-log 25908  df-squarenn 41140  df-pell1qr 41141  df-pell14qr 41142  df-pell1234qr 41143  df-pellfund 41144  df-rmx 41201  df-rmy 41202

This theorem is referenced by:  lermxnn0  41250