Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmxnn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ltrmxnn0 42266
Description: The X-sequence is strictly monotonic on β„•0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmxnn0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
Proof of Theorem ltrmxnn0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 12587 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2 frmx 42230 . . . . . . 7 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
32fovcl 7533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
41, 3sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
54nn0red 12537 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
6 eluzelre 12837 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
85, 7remulcld 11248 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
91peano2zd 12673 . . . . . 6 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
102fovcl 7533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ β„•0)
119, 10sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ β„•0)
1211nn0red 12537 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
13 eluz2b2 12909 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐴 ∈ β„• ∧ 1 < 𝐴))
1413simprbi 496 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝐴)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 1 < 𝐴)
16 rmxypos 42264 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)))
1716simpld 494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
18 ltmulgt11 12078 . . . . . 6 (((𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)) β†’ (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴)))
195, 7, 17, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴)))
2015, 19mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴))
21 rmspecnonsq 42223 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
2221eldifad 3955 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2423nnred 12231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
25 frmy 42231 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2625fovcl 7533 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
271, 26sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2827zred 12670 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
2923nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3029nn0ge0d 12539 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
3116simprd 495 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))
3224, 28, 30, 31mulge0d 11795 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
3324, 28remulcld 11248 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
348, 33addge01d 11806 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))))
3532, 34mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
36 rmxp1 42249 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
371, 36sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
3835, 37breqtrrd 5169 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ≀ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
395, 8, 12, 20, 38ltletrd 11378 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
40 nn0z 12587 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ β„€)
412fovcl 7533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ β„•0)
4240, 41sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ β„•0)
4342nn0red 12537 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) ∈ ℝ)
44 nn0uz 12868 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
45 oveq2 7413 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
46 oveq2 7413 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑏))
47 oveq2 7413 . . 3 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑀))
48 oveq2 7413 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑁))
4939, 43, 44, 45, 46, 47, 48monotuz 42258 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
50493impb 1112 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Xrm 𝑀) < (𝐴 Xrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β†‘cexp 14032  β—»NNcsquarenn 42152   Xrm crmx 42216   Yrm crmy 42217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-squarenn 42157  df-pell1qr 42158  df-pell14qr 42159  df-pell1234qr 42160  df-pellfund 42161  df-rmx 42218  df-rmy 42219
This theorem is referenced by:  lermxnn0  42267
  Copyright terms: Public domain W3C validator