Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 41528
Description: Lemma for jm3.1 41530. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelre 12815 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4 jm3.1.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 12514 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5reexpcld 14110 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
7 jm3.1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
8 eluzelre 12815 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 12268 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 remulcl 11177 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1210, 9, 11sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1312, 3remulcld 11226 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
143resqcld 14072 . . . 4 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11624 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16 1re 11196 . . 3 1 ∈ ℝ
17 resubcl 11506 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 586 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19 jm3.1.d . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 41527 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)
219, 3remulcld 11226 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22 resubcl 11506 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
233, 16, 22sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
2421, 23readdcld 11225 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25 eluz2b1 12885 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
2625simprbi 497 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝐾)
28 eluz2nn 12850 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3029nngt0d 12243 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31 ltmulgt11 12056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
3327, 32mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34 uz2m1nn 12889 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
3635nnrpd 12996 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ+)
3721, 36ltaddrpd 13031 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 11357 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39 peano2re 11369 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4140, 3remulcld 11226 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42 resubcl 11506 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4321, 16, 42sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4443, 14resubcld 11624 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
453recnd 11224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4645exp1d 14088 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47 eluz2nn 12850 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4948nnge1d 12242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50 nnuz 12847 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
514, 50eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
523, 49, 51leexp2ad 14199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾𝑁))
5346, 52eqbrtrrd 5165 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾𝑁))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 11354 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < 𝐴)
55 eluzelz 12814 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12814 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
59 zltp1le 12594 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6154, 60mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
6248nngt0d 12243 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63 lemul1 12048 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6561, 64mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11810 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
6721recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
6841, 14resubcld 11624 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
6968recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70 1cnd 11191 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70addsub12d 11576 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
7245, 70, 45adddird 11221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
7345sqvald 14090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
7472, 73oveq12d 7411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
7545, 45mulcld 11216 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76 ax-1cn 11150 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 mulcl 11176 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7876, 45, 77sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7975, 78pncan2d 11555 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
8045mullidd 11214 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
8174, 79, 803eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
8281oveq1d 7408 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
8382oveq2d 7409 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
8441recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
8514recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
8643recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
8784, 85, 86subadd23d 11575 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2779 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89 2cnd 12272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
909recnd 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90, 45mulassd 11219 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92672timesd 12437 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9391, 92eqtrd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9493oveq1d 7408 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
9594oveq1d 7408 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
9621, 21readdcld 11225 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
9796recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
9897, 85, 70sub32d 11585 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
9967, 67, 70addsubassd 11573 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
10099oveq1d 7408 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
10167, 86, 85addsubassd 11573 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102100, 101eqtrd 2771 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5173 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 11356 . 2 (𝜑𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 11357 1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  cn 12194  2c2 12249  cz 12540  cuz 12804  cexp 14009   Yrm crmy 41410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-acn 9919  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-numer 16653  df-denom 16654  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994  df-squarenn 41350  df-pell1qr 41351  df-pell14qr 41352  df-pell1234qr 41353  df-pellfund 41354  df-rmx 41411  df-rmy 41412
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  41529  jm3.1  41530
  Copyright terms: Public domain W3C validator