Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 39499
Description: Lemma for jm3.1 39501. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelre 12248 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4 jm3.1.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11949 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5reexpcld 13522 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
7 jm3.1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
8 eluzelre 12248 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 11705 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 remulcl 10616 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1210, 9, 11sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1312, 3remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
143resqcld 13606 . . . 4 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11062 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16 1re 10635 . . 3 1 ∈ ℝ
17 resubcl 10944 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 586 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19 jm3.1.d . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 39498 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)
219, 3remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22 resubcl 10944 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
233, 16, 22sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
2421, 23readdcld 10664 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25 eluz2b1 12313 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
2625simprbi 497 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝐾)
28 eluz2nn 12278 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3029nngt0d 11680 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31 ltmulgt11 11494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
3327, 32mpbid 233 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34 uz2m1nn 12317 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
3635nnrpd 12424 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ+)
3721, 36ltaddrpd 12459 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 10795 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39 peano2re 10807 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4140, 3remulcld 10665 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42 resubcl 10944 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4321, 16, 42sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4443, 14resubcld 11062 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
453recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4645exp1d 13500 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47 eluz2nn 12278 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4948nnge1d 11679 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50 nnuz 12275 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
514, 50syl6eleq 2928 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
523, 49, 51leexp2ad 13612 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾𝑁))
5346, 52eqbrtrrd 5087 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾𝑁))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 10792 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < 𝐴)
55 eluzelz 12247 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
59 zltp1le 12026 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6154, 60mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
6248nngt0d 11680 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63 lemul1 11486 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6561, 64mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11248 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
6721recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
6841, 14resubcld 11062 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
6968recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70 1cnd 10630 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70addsub12d 11014 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
7245, 70, 45adddird 10660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
7345sqvald 13502 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
7472, 73oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
7545, 45mulcld 10655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 mulcl 10615 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7876, 45, 77sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7975, 78pncan2d 10993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
8045mulid2d 10653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
8174, 79, 803eqtrd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
8281oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
8382oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
8441recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
8514recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
8643recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
8784, 85, 86subadd23d 11013 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2869 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89 2cnd 11709 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
909recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90, 45mulassd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92672timesd 11874 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9391, 92eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9493oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
9594oveq1d 7165 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
9621, 21readdcld 10664 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
9796recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
9897, 85, 70sub32d 11023 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
9967, 67, 70addsubassd 11011 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
10099oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
10167, 86, 85addsubassd 11011 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102100, 101eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2865 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5095 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 10794 . 2 (𝜑𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 10795 1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  2c2 11686  cz 11975  cuz 12237  cexp 13424   Yrm crmy 39382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-gcd 15839  df-numer 16070  df-denom 16071  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072  df-squarenn 39322  df-pell1qr 39323  df-pell14qr 39324  df-pell1234qr 39325  df-pellfund 39326  df-rmx 39383  df-rmy 39384
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  39500  jm3.1  39501
  Copyright terms: Public domain W3C validator