Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 38262
Description: Lemma for jm3.1 38264. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelre 11897 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4 jm3.1.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11598 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5reexpcld 13232 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
7 jm3.1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
8 eluzelre 11897 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 11346 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 remulcl 10274 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1210, 9, 11sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1312, 3remulcld 10324 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
143resqcld 13242 . . . 4 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 10712 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16 1re 10293 . . 3 1 ∈ ℝ
17 resubcl 10599 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 580 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19 jm3.1.d . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 38261 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)
219, 3remulcld 10324 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22 resubcl 10599 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
233, 16, 22sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
2421, 23readdcld 10323 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25 eluz2b1 11960 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
2625simprbi 490 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝐾)
28 eluz2nn 11926 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3029nngt0d 11321 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31 ltmulgt11 11137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
3327, 32mpbid 223 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34 uz2m1nn 11964 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
3635nnrpd 12068 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ+)
3721, 36ltaddrpd 12103 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 10452 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39 peano2re 10463 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4140, 3remulcld 10324 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42 resubcl 10599 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4321, 16, 42sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4443, 14resubcld 10712 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
453recnd 10322 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4645exp1d 13210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47 eluz2nn 11926 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4948nnge1d 11320 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50 nnuz 11923 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
514, 50syl6eleq 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
523, 49, 51leexp2ad 13248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾𝑁))
5346, 52eqbrtrrd 4833 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾𝑁))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 10449 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < 𝐴)
55 eluzelz 11896 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
57 eluzelz 11896 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
59 zltp1le 11674 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6056, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6154, 60mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
6248nngt0d 11321 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63 lemul1 11129 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1493 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6561, 64mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 10895 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
6721recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
6841, 14resubcld 10712 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
6968recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70 1cnd 10288 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70addsub12d 10669 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
7245, 70, 45adddird 10319 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
7345sqvald 13212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
7472, 73oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
7545, 45mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 mulcl 10273 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7876, 45, 77sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7975, 78pncan2d 10648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
8045mulid2d 10312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
8174, 79, 803eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
8281oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
8382oveq2d 6858 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
8441recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
8514recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
8643recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
8784, 85, 86subadd23d 10668 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2807 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89 2cnd 11350 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
909recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90, 45mulassd 10317 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92672timesd 11521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9391, 92eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9493oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
9594oveq1d 6857 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
9621, 21readdcld 10323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
9796recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
9897, 85, 70sub32d 10678 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
9967, 67, 70addsubassd 10666 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
10099oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
10167, 86, 85addsubassd 10666 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102100, 101eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2803 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10466, 88, 1033brtr4d 4841 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 10451 . 2 (𝜑𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 10452 1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  cexp 13067   Yrm crmy 38143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-numer 15722  df-denom 15723  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-squarenn 38083  df-pell1qr 38084  df-pell14qr 38085  df-pell1234qr 38086  df-pellfund 38087  df-rmx 38144  df-rmy 38145
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  38263  jm3.1  38264
  Copyright terms: Public domain W3C validator