jm3.1lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm3.1lem2 39959

Description: Lemma for jm3.1 39961. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
jm3.1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.b	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d	⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
jm3.1lem2	⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

**Proof of Theorem jm3.1lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluzelre 12242	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
4		jm3.1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 11943	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6	3, 5	reexpcld 13523	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ)
7		jm3.1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluzelre 12242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 11699	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		remulcl 10611	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
12	10, 9, 11	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12, 3	remulcld 10660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
14	3	resqcld 13607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16		1re 10630	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl 10939	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19		jm3.1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
20	7, 1, 4, 19	jm3.1lem1 39958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < 𝐴)
21	9, 3	remulcld 10660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22		resubcl 10939	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
23	3, 16, 22	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	readdcld 10659	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25		eluz2b1 12307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
26	25	simprbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐾)
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
28		eluz2nn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
29	7, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
30	29	nngt0d 11674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
31		ltmulgt11 11489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
32	9, 3, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
33	27, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34		uz2m1nn 12311	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
35	1, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 12417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	ltaddrpd 12452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
38	9, 21, 24, 33, 37	lttrd 10790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39		peano2re 10802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
40	3, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
41	40, 3	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42		resubcl 10939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
43	21, 16, 42	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
44	43, 14	resubcld 11057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
45	3	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 13501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47		eluz2nn 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
49	48	nnge1d 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50		nnuz 12269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
51	4, 50	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
52	3, 49, 51	leexp2ad 13613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾↑𝑁))
53	46, 52	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾↑𝑁))
54	3, 6, 9, 53, 20	lelttrd 10787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝐴)
55		eluzelz 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
57		eluzelz 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
59		zltp1le 12020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
60	56, 58, 59	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
61	54, 60	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
62	48	nngt0d 11674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
63		lemul1 11481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
64	40, 9, 3, 62, 63	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
65	61, 64	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
66	41, 21, 44, 65	leadd1dd 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
67	21	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
68	41, 14	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 10625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsub12d 11009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
72	45, 70, 45	adddird 10655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
73	45	sqvald 13503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
74	72, 73	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
75	45, 45	mulcld 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		mulcl 10610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
78	76, 45, 77	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
79	75, 78	pncan2d 10988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
80	45	mulid2d 10648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
82	81	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
83	82	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
84	41	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
85	14	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
86	43	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	subadd23d 11008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
88	71, 83, 87	3eqtr3d 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89		2cnd 11703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
90	9	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90, 45	mulassd 10653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92	67	2timesd 11868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
93	91, 92	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
94	93	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
95	94	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
96	21, 21	readdcld 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
98	97, 85, 70	sub32d 11018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
99	67, 67, 70	addsubassd 11006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
100	99	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
101	67, 86, 85	addsubassd 11006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102	100, 101	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
103	95, 98, 102	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
104	66, 88, 103	3brtr4d 5062	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
105	9, 24, 18, 38, 104	ltletrd 10789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
106	6, 9, 18, 20, 105	lttrd 10790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∈ wcel 2111 class class class wbr 5030 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 ℕcn 11625 2c2 11680 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 ↑cexp 13425 Y_rm crmy 39842

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-iin 4884 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-of 7389 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-supp 7814 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-omul 8090 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-ixp 8445 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fsupp 8818 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-card 9352 df-acn 9355 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-xnn0 11956 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-ioo 12730 df-ioc 12731 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-fac 13630 df-bc 13659 df-hash 13687 df-shft 14418 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-ef 15413 df-sin 15415 df-cos 15416 df-pi 15418 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-numer 16065 df-denom 16066 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-ress 16483 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-sca 16573 df-vsca 16574 df-ip 16575 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-hom 16581 df-cco 16582 df-rest 16688 df-topn 16689 df-0g 16707 df-gsum 16708 df-topgen 16709 df-pt 16710 df-prds 16713 df-xrs 16767 df-qtop 16772 df-imas 16773 df-xps 16775 df-mre 16849 df-mrc 16850 df-acs 16852 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-submnd 17949 df-mulg 18217 df-cntz 18439 df-cmn 18900 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-fbas 20088 df-fg 20089 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cld 21624 df-ntr 21625 df-cls 21626 df-nei 21703 df-lp 21741 df-perf 21742 df-cn 21832 df-cnp 21833 df-haus 21920 df-tx 22167 df-hmeo 22360 df-fil 22451 df-fm 22543 df-flim 22544 df-flf 22545 df-xms 22927 df-ms 22928 df-tms 22929 df-cncf 23483 df-limc 24469 df-dv 24470 df-log 25148 df-squarenn 39782 df-pell1qr 39783 df-pell14qr 39784 df-pell1234qr 39785 df-pellfund 39786 df-rmx 39843 df-rmy 39844

This theorem is referenced by: jm3.1lem3 39960 jm3.1 39961

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