jm3.1lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm3.1lem2 43050

Description: Lemma for jm3.1 43052. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
jm3.1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.b	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d	⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
jm3.1lem2	⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

**Proof of Theorem jm3.1lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluzelre 12740	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
4		jm3.1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12439	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6	3, 5	reexpcld 14067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ)
7		jm3.1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluzelre 12740	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12196	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		remulcl 11088	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
12	10, 9, 11	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12, 3	remulcld 11139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
14	3	resqcld 14029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16		1re 11109	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl 11422	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19		jm3.1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
20	7, 1, 4, 19	jm3.1lem1 43049	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < 𝐴)
21	9, 3	remulcld 11139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22		resubcl 11422	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
23	3, 16, 22	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	readdcld 11138	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25		eluz2b1 12814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
26	25	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐾)
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
28		eluz2nn 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
29	7, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
30	29	nngt0d 12171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
31		ltmulgt11 11978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
32	9, 3, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
33	27, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34		uz2m1nn 12818	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
35	1, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 12929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	ltaddrpd 12964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
38	9, 21, 24, 33, 37	lttrd 11271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39		peano2re 11283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
40	3, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
41	40, 3	remulcld 11139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42		resubcl 11422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
43	21, 16, 42	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
44	43, 14	resubcld 11542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
45	3	recnd 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 14045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47		eluz2nn 12783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
49	48	nnge1d 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50		nnuz 12772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
51	4, 50	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
52	3, 49, 51	leexp2ad 14158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾↑𝑁))
53	46, 52	eqbrtrrd 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾↑𝑁))
54	3, 6, 9, 53, 20	lelttrd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝐴)
55		eluzelz 12739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
57		eluzelz 12739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
59		zltp1le 12519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
60	56, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
61	54, 60	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
62	48	nngt0d 12171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
63		lemul1 11970	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
64	40, 9, 3, 62, 63	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
65	61, 64	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
66	41, 21, 44, 65	leadd1dd 11728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
67	21	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
68	41, 14	resubcld 11542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsub12d 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
72	45, 70, 45	adddird 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
73	45	sqvald 14047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
74	72, 73	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
75	45, 45	mulcld 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		mulcl 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
78	76, 45, 77	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
79	75, 78	pncan2d 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
80	45	mullidd 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
82	81	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
83	82	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
84	41	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
85	14	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
86	43	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	subadd23d 11491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
88	71, 83, 87	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89		2cnd 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
90	9	recnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90, 45	mulassd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92	67	2timesd 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
93	91, 92	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
94	93	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
95	94	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
96	21, 21	readdcld 11138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
98	97, 85, 70	sub32d 11501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
99	67, 67, 70	addsubassd 11489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
100	99	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
101	67, 86, 85	addsubassd 11489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102	100, 101	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
103	95, 98, 102	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
104	66, 88, 103	3brtr4d 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
105	9, 24, 18, 38, 104	ltletrd 11270	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
106	6, 9, 18, 20, 105	lttrd 11271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∈ wcel 2111 class class class wbr 5091 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 ℂcc 11001 ℝcr 11002 0cc0 11003 1c1 11004 + caddc 11006 · cmul 11008 < clt 11143 ≤ cle 11144 − cmin 11341 ℕcn 12122 2c2 12177 ℤcz 12465 ℤ_≥cuz 12729 ↑cexp 13965 Y_rm crmy 42933

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5217 ax-sep 5234 ax-nul 5244 ax-pow 5303 ax-pr 5370 ax-un 7668 ax-inf2 9531 ax-cnex 11059 ax-resscn 11060 ax-1cn 11061 ax-icn 11062 ax-addcl 11063 ax-addrcl 11064 ax-mulcl 11065 ax-mulrcl 11066 ax-mulcom 11067 ax-addass 11068 ax-mulass 11069 ax-distr 11070 ax-i2m1 11071 ax-1ne0 11072 ax-1rid 11073 ax-rnegex 11074 ax-rrecex 11075 ax-cnre 11076 ax-pre-lttri 11077 ax-pre-lttrn 11078 ax-pre-ltadd 11079 ax-pre-mulgt0 11080 ax-pre-sup 11081 ax-addf 11082

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4476 df-pw 4552 df-sn 4577 df-pr 4579 df-tp 4581 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4898 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5092 df-opab 5154 df-mpt 5173 df-tr 5199 df-id 5511 df-eprel 5516 df-po 5524 df-so 5525 df-fr 5569 df-se 5570 df-we 5571 df-xp 5622 df-rel 5623 df-cnv 5624 df-co 5625 df-dm 5626 df-rn 5627 df-res 5628 df-ima 5629 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-isom 6490 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-of 7610 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8091 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-2o 8386 df-oadd 8389 df-omul 8390 df-er 8622 df-map 8752 df-pm 8753 df-ixp 8822 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-fsupp 9246 df-fi 9295 df-sup 9326 df-inf 9327 df-oi 9396 df-card 9829 df-acn 9832 df-pnf 11145 df-mnf 11146 df-xr 11147 df-ltxr 11148 df-le 11149 df-sub 11343 df-neg 11344 df-div 11772 df-nn 12123 df-2 12185 df-3 12186 df-4 12187 df-5 12188 df-6 12189 df-7 12190 df-8 12191 df-9 12192 df-n0 12379 df-xnn0 12452 df-z 12466 df-dec 12586 df-uz 12730 df-q 12844 df-rp 12888 df-xneg 13008 df-xadd 13009 df-xmul 13010 df-ioo 13246 df-ioc 13247 df-ico 13248 df-icc 13249 df-fz 13405 df-fzo 13552 df-fl 13693 df-mod 13771 df-seq 13906 df-exp 13966 df-fac 14178 df-bc 14207 df-hash 14235 df-shft 14971 df-cj 15003 df-re 15004 df-im 15005 df-sqrt 15139 df-abs 15140 df-limsup 15375 df-clim 15392 df-rlim 15393 df-sum 15591 df-ef 15971 df-sin 15973 df-cos 15974 df-pi 15976 df-dvds 16161 df-gcd 16403 df-numer 16643 df-denom 16644 df-struct 17055 df-sets 17072 df-slot 17090 df-ndx 17102 df-base 17118 df-ress 17139 df-plusg 17171 df-mulr 17172 df-starv 17173 df-sca 17174 df-vsca 17175 df-ip 17176 df-tset 17177 df-ple 17178 df-ds 17180 df-unif 17181 df-hom 17182 df-cco 17183 df-rest 17323 df-topn 17324 df-0g 17342 df-gsum 17343 df-topgen 17344 df-pt 17345 df-prds 17348 df-xrs 17403 df-qtop 17408 df-imas 17409 df-xps 17411 df-mre 17485 df-mrc 17486 df-acs 17488 df-mgm 18545 df-sgrp 18624 df-mnd 18640 df-submnd 18689 df-mulg 18978 df-cntz 19227 df-cmn 19692 df-psmet 21281 df-xmet 21282 df-met 21283 df-bl 21284 df-mopn 21285 df-fbas 21286 df-fg 21287 df-cnfld 21290 df-top 22807 df-topon 22824 df-topsp 22846 df-bases 22859 df-cld 22932 df-ntr 22933 df-cls 22934 df-nei 23011 df-lp 23049 df-perf 23050 df-cn 23140 df-cnp 23141 df-haus 23228 df-tx 23475 df-hmeo 23668 df-fil 23759 df-fm 23851 df-flim 23852 df-flf 23853 df-xms 24233 df-ms 24234 df-tms 24235 df-cncf 24796 df-limc 25792 df-dv 25793 df-log 26490 df-squarenn 42873 df-pell1qr 42874 df-pell14qr 42875 df-pell1234qr 42876 df-pellfund 42877 df-rmx 42934 df-rmy 42935

This theorem is referenced by: jm3.1lem3 43051 jm3.1 43052

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