Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 43007
Description: Lemma for jm3.1 43009. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelre 12887 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4 jm3.1.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 12585 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5reexpcld 14200 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
7 jm3.1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
8 eluzelre 12887 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 remulcl 11238 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1210, 9, 11sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1312, 3remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
143resqcld 14162 . . . 4 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11689 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16 1re 11259 . . 3 1 ∈ ℝ
17 resubcl 11571 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 586 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19 jm3.1.d . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 43006 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)
219, 3remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22 resubcl 11571 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
233, 16, 22sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
2421, 23readdcld 11288 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25 eluz2b1 12959 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
2625simprbi 496 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝐾)
28 eluz2nn 12922 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3029nngt0d 12313 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31 ltmulgt11 12125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
3327, 32mpbid 232 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34 uz2m1nn 12963 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
3635nnrpd 13073 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ+)
3721, 36ltaddrpd 13108 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 11420 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39 peano2re 11432 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4140, 3remulcld 11289 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42 resubcl 11571 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4321, 16, 42sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4443, 14resubcld 11689 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
453recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4645exp1d 14178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47 eluz2nn 12922 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4948nnge1d 12312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50 nnuz 12919 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
514, 50eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
523, 49, 51leexp2ad 14290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾𝑁))
5346, 52eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾𝑁))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 11417 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < 𝐴)
55 eluzelz 12886 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12886 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
59 zltp1le 12665 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6154, 60mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
6248nngt0d 12313 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63 lemul1 12117 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6561, 64mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11875 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
6721recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
6841, 14resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
6968recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70 1cnd 11254 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70addsub12d 11641 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
7245, 70, 45adddird 11284 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
7345sqvald 14180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
7472, 73oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
7545, 45mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 mulcl 11237 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7876, 45, 77sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7975, 78pncan2d 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
8045mullidd 11277 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
8174, 79, 803eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
8281oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
8382oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
8441recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
8514recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
8643recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
8784, 85, 86subadd23d 11640 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2783 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89 2cnd 12342 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
909recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90, 45mulassd 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92672timesd 12507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9391, 92eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9493oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
9594oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
9621, 21readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
9796recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
9897, 85, 70sub32d 11650 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
9967, 67, 70addsubassd 11638 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
10099oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
10167, 86, 85addsubassd 11638 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102100, 101eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5180 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 11419 . 2 (𝜑𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 11420 1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  cexp 14099   Yrm crmy 42889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-numer 16769  df-denom 16770  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-squarenn 42829  df-pell1qr 42830  df-pell14qr 42831  df-pell1234qr 42832  df-pellfund 42833  df-rmx 42890  df-rmy 42891
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  43008  jm3.1  43009
  Copyright terms: Public domain W3C validator