Proof of Theorem jm3.1lem2
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | jm3.1.b |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 2 | | eluzelre 12889 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 4 | | jm3.1.c |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 5 | 4 | nnnn0d 12587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 6 | 3, 5 | reexpcld 14203 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ) |
| 7 | | jm3.1.a |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 8 | | eluzelre 12889 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 9 | 7, 8 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 10 | | 2re 12340 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 11 | | remulcl 11240 |
. . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 12 | 10, 9, 11 | sylancr 587 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈
ℝ) |
| 13 | 12, 3 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ) |
| 14 | 3 | resqcld 14165 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ) |
| 15 | 13, 14 | resubcld 11691 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ) |
| 16 | | 1re 11261 |
. . 3
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 17 | | resubcl 11573 |
. . 3
⊢ (((((2
· 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈
ℝ) |
| 18 | 15, 16, 17 | sylancl 586 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈
ℝ) |
| 19 | | jm3.1.d |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) |
| 20 | 7, 1, 4, 19 | jm3.1lem1 43029 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < 𝐴) |
| 21 | 9, 3 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ) |
| 22 | | resubcl 11573 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (𝐾 −
1) ∈ ℝ) |
| 23 | 3, 16, 22 | sylancl 586 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ) |
| 24 | 21, 23 | readdcld 11290 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈
ℝ) |
| 25 | | eluz2b1 12961 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾)) |
| 26 | 25 | simprbi 496 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 < 𝐾) |
| 27 | 1, 26 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾) |
| 28 | | eluz2nn 12924 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ) |
| 29 | 7, 28 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ) |
| 30 | 29 | nngt0d 12315 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴) |
| 31 | | ltmulgt11 12127 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))) |
| 32 | 9, 3, 30, 31 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))) |
| 33 | 27, 32 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)) |
| 34 | | uz2m1nn 12965 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ) |
| 35 | 1, 34 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ) |
| 36 | 35 | nnrpd 13075 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈
ℝ+) |
| 37 | 21, 36 | ltaddrpd 13110 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1))) |
| 38 | 9, 21, 24, 33, 37 | lttrd 11422 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1))) |
| 39 | | peano2re 11434 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈
ℝ) |
| 40 | 3, 39 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 41 | 40, 3 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ) |
| 42 | | resubcl 11573 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈
ℝ) |
| 43 | 21, 16, 42 | sylancl 586 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈
ℝ) |
| 44 | 43, 14 | resubcld 11691 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ) |
| 45 | 3 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 46 | 45 | exp1d 14181 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾) |
| 47 | | eluz2nn 12924 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 48 | 1, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 49 | 48 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾) |
| 50 | | nnuz 12921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
| 51 | 4, 50 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 52 | 3, 49, 51 | leexp2ad 14293 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾↑𝑁)) |
| 53 | 46, 52 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾↑𝑁)) |
| 54 | 3, 6, 9, 53, 20 | lelttrd 11419 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝐴) |
| 55 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 56 | 1, 55 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 57 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ) |
| 58 | 7, 57 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ) |
| 59 | | zltp1le 12667 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)) |
| 60 | 56, 58, 59 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)) |
| 61 | 54, 60 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴) |
| 62 | 48 | nngt0d 12315 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾) |
| 63 | | lemul1 12119 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))) |
| 64 | 40, 9, 3, 62, 63 | syl112anc 1376 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))) |
| 65 | 61, 64 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)) |
| 66 | 41, 21, 44, 65 | leadd1dd 11877 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)))) |
| 67 | 21 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ) |
| 68 | 41, 14 | resubcld 11691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ) |
| 69 | 68 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ) |
| 70 | | 1cnd 11256 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 71 | 67, 69, 70 | addsub12d 11643 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1))) |
| 72 | 45, 70, 45 | adddird 11286 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾))) |
| 73 | 45 | sqvald 14183 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)) |
| 74 | 72, 73 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾))) |
| 75 | 45, 45 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ) |
| 76 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 77 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ) |
| 78 | 76, 45, 77 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈
ℂ) |
| 79 | 75, 78 | pncan2d 11622 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾)) |
| 80 | 45 | mullidd 11279 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾) |
| 81 | 74, 79, 80 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾) |
| 82 | 81 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1)) |
| 83 | 82 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1))) |
| 84 | 41 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ) |
| 85 | 14 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ) |
| 86 | 43 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈
ℂ) |
| 87 | 84, 85, 86 | subadd23d 11642 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)))) |
| 88 | 71, 83, 87 | 3eqtr3d 2785 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)))) |
| 89 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 90 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 91 | 89, 90, 45 | mulassd 11284 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾))) |
| 92 | 67 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾))) |
| 93 | 91, 92 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾))) |
| 94 | 93 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2))) |
| 95 | 94 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1)) |
| 96 | 21, 21 | readdcld 11290 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ) |
| 97 | 96 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ) |
| 98 | 97, 85, 70 | sub32d 11652 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2))) |
| 99 | 67, 67, 70 | addsubassd 11640 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1))) |
| 100 | 99 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2))) |
| 101 | 67, 86, 85 | addsubassd 11640 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)))) |
| 102 | 100, 101 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)))) |
| 103 | 95, 98, 102 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)))) |
| 104 | 66, 88, 103 | 3brtr4d 5175 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) |
| 105 | 9, 24, 18, 38, 104 | ltletrd 11421 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) |
| 106 | 6, 9, 18, 20, 105 | lttrd 11422 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) |