Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 42059
Description: Lemma for jm3.1 42061. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.b (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
jm3.1.d (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 eluzelre 12837 . . . 4 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4 jm3.1.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12536 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
63, 5reexpcld 14132 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
7 jm3.1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluzelre 12837 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 2re 12290 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
11 remulcl 11197 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1210, 9, 11sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1312, 3remulcld 11248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
143resqcld 14094 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„)
1513, 14resubcld 11646 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
16 1re 11218 . . 3 1 โˆˆ โ„
17 resubcl 11528 . . 3 (((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1815, 16, 17sylancl 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
19 jm3.1.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 42058 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ๐ด)
219, 3remulcld 11248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
22 resubcl 11528 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
233, 16, 22sylancl 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2421, 23readdcld 11247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 eluz2b1 12907 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐พ))
2625simprbi 495 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐พ)
271, 26syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
28 eluz2nn 12872 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3029nngt0d 12265 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
31 ltmulgt11 12078 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
3327, 32mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐พ))
34 uz2m1nn 12911 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
3635nnrpd 13018 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3721, 36ltaddrpd 13053 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 11379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
39 peano2re 11391 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4140, 3remulcld 11248 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
42 resubcl 11528 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4321, 16, 42sylancl 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4443, 14resubcld 11646 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
453recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4645exp1d 14110 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) = ๐พ)
47 eluz2nn 12872 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
4948nnge1d 12264 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
50 nnuz 12869 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
514, 50eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
523, 49, 51leexp2ad 14221 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
5346, 52eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 11376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < ๐ด)
55 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
57 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
59 zltp1le 12616 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6056, 58, 59syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6154, 60mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด)
6248nngt0d 12265 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
63 lemul1 12070 . . . . . . 7 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6561, 64mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))) โ‰ค ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
6721recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
6841, 14resubcld 11646 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
6968recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 11213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70addsub12d 11598 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
7245, 70, 45adddird 11243 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)))
7345sqvald 14112 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ))
7472, 73oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)))
7545, 45mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
76 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
77 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7876, 45, 77sylancr 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7975, 78pncan2d 11577 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)) = (1 ยท ๐พ))
8045mullidd 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) = ๐พ)
8174, 79, 803eqtrd 2774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ๐พ)
8281oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = (๐พ โˆ’ 1))
8382oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
8441recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
8514recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8643recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
8784, 85, 86subadd23d 11597 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
89 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
909recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9189, 90, 45mulassd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)))
92672timesd 12459 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9391, 92eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9493oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9594oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
9621, 21readdcld 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„)
9796recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
9897, 85, 70sub32d 11607 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9967, 67, 70addsubassd 11595 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
10099oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
10167, 86, 85addsubassd 11595 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
102100, 101eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2774 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5179 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โ‰ค ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 11378 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 11379 1 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ†‘cexp 14031   Yrm crmy 41941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-squarenn 41881  df-pell1qr 41882  df-pell14qr 41883  df-pell1234qr 41884  df-pellfund 41885  df-rmx 41942  df-rmy 41943
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  42060  jm3.1  42061
  Copyright terms: Public domain W3C validator