Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 42060
Description: Lemma for jm3.1 42062. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.b (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
jm3.1.d (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 eluzelre 12838 . . . 4 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4 jm3.1.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12537 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
63, 5reexpcld 14133 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
7 jm3.1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluzelre 12838 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 2re 12291 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
11 remulcl 11199 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1210, 9, 11sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1312, 3remulcld 11249 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
143resqcld 14095 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„)
1513, 14resubcld 11647 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
16 1re 11219 . . 3 1 โˆˆ โ„
17 resubcl 11529 . . 3 (((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1815, 16, 17sylancl 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
19 jm3.1.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 42059 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ๐ด)
219, 3remulcld 11249 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
22 resubcl 11529 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
233, 16, 22sylancl 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2421, 23readdcld 11248 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 eluz2b1 12908 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐พ))
2625simprbi 496 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐พ)
271, 26syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
28 eluz2nn 12873 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3029nngt0d 12266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
31 ltmulgt11 12079 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1370 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
3327, 32mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐พ))
34 uz2m1nn 12912 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
3635nnrpd 13019 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3721, 36ltaddrpd 13054 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 11380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
39 peano2re 11392 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4140, 3remulcld 11249 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
42 resubcl 11529 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4321, 16, 42sylancl 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4443, 14resubcld 11647 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
453recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4645exp1d 14111 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) = ๐พ)
47 eluz2nn 12873 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
4948nnge1d 12265 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
50 nnuz 12870 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
514, 50eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
523, 49, 51leexp2ad 14222 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
5346, 52eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 11377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < ๐ด)
55 eluzelz 12837 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
57 eluzelz 12837 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
59 zltp1le 12617 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6056, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6154, 60mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด)
6248nngt0d 12266 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
63 lemul1 12071 . . . . . . 7 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6561, 64mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11833 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))) โ‰ค ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
6721recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
6841, 14resubcld 11647 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
6968recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 11214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70addsub12d 11599 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
7245, 70, 45adddird 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)))
7345sqvald 14113 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ))
7472, 73oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)))
7545, 45mulcld 11239 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
76 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
77 mulcl 11198 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7876, 45, 77sylancr 586 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7975, 78pncan2d 11578 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)) = (1 ยท ๐พ))
8045mullidd 11237 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) = ๐พ)
8174, 79, 803eqtrd 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ๐พ)
8281oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = (๐พ โˆ’ 1))
8382oveq2d 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
8441recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
8514recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8643recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
8784, 85, 86subadd23d 11598 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
89 2cnd 12295 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
909recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9189, 90, 45mulassd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)))
92672timesd 12460 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9391, 92eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9493oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9594oveq1d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
9621, 21readdcld 11248 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„)
9796recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
9897, 85, 70sub32d 11608 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9967, 67, 70addsubassd 11596 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
10099oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
10167, 86, 85addsubassd 11596 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
102100, 101eqtrd 2771 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5180 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โ‰ค ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 11379 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 11380 1 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ†‘cexp 14032   Yrm crmy 41942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-squarenn 41882  df-pell1qr 41883  df-pell14qr 41884  df-pell1234qr 41885  df-pellfund 41886  df-rmx 41943  df-rmy 41944
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  42061  jm3.1  42062
  Copyright terms: Public domain W3C validator