Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 41385
Description: Lemma for jm3.1 41387. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.b (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
jm3.1.d (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 eluzelre 12779 . . . 4 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4 jm3.1.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12478 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
63, 5reexpcld 14074 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
7 jm3.1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluzelre 12779 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 2re 12232 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
11 remulcl 11141 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1210, 9, 11sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1312, 3remulcld 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
143resqcld 14036 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„)
1513, 14resubcld 11588 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
16 1re 11160 . . 3 1 โˆˆ โ„
17 resubcl 11470 . . 3 (((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1815, 16, 17sylancl 587 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
19 jm3.1.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 41384 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ๐ด)
219, 3remulcld 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
22 resubcl 11470 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
233, 16, 22sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2421, 23readdcld 11189 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 eluz2b1 12849 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐พ))
2625simprbi 498 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐พ)
271, 26syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
28 eluz2nn 12814 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3029nngt0d 12207 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
31 ltmulgt11 12020 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
3327, 32mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐พ))
34 uz2m1nn 12853 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
3635nnrpd 12960 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3721, 36ltaddrpd 12995 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 11321 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
39 peano2re 11333 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4140, 3remulcld 11190 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
42 resubcl 11470 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4321, 16, 42sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4443, 14resubcld 11588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
453recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4645exp1d 14052 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) = ๐พ)
47 eluz2nn 12814 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
4948nnge1d 12206 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
50 nnuz 12811 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
514, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
523, 49, 51leexp2ad 14163 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
5346, 52eqbrtrrd 5130 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 11318 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < ๐ด)
55 eluzelz 12778 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
57 eluzelz 12778 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
59 zltp1le 12558 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6056, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6154, 60mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด)
6248nngt0d 12207 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
63 lemul1 12012 . . . . . . 7 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6561, 64mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11774 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))) โ‰ค ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
6721recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
6841, 14resubcld 11588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
6968recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 11155 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70addsub12d 11540 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
7245, 70, 45adddird 11185 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)))
7345sqvald 14054 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ))
7472, 73oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)))
7545, 45mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
76 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
77 mulcl 11140 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7876, 45, 77sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7975, 78pncan2d 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)) = (1 ยท ๐พ))
8045mulid2d 11178 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) = ๐พ)
8174, 79, 803eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ๐พ)
8281oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = (๐พ โˆ’ 1))
8382oveq2d 7374 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
8441recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
8514recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8643recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
8784, 85, 86subadd23d 11539 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2781 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
89 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
909recnd 11188 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9189, 90, 45mulassd 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)))
92672timesd 12401 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9391, 92eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9493oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9594oveq1d 7373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
9621, 21readdcld 11189 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„)
9796recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
9897, 85, 70sub32d 11549 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9967, 67, 70addsubassd 11537 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
10099oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
10167, 86, 85addsubassd 11537 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
102100, 101eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5138 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โ‰ค ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 11320 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 11321 1 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ†‘cexp 13973   Yrm crmy 41267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  41386  jm3.1  41387
  Copyright terms: Public domain W3C validator