Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 41747
Description: Lemma for jm3.1 41749. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.b (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm3.1.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
jm3.1.d (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 eluzelre 12832 . . . 4 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4 jm3.1.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12531 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
63, 5reexpcld 14127 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
7 jm3.1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluzelre 12832 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 2re 12285 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
11 remulcl 11194 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1210, 9, 11sylancr 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1312, 3remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
143resqcld 14089 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„)
1513, 14resubcld 11641 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
16 1re 11213 . . 3 1 โˆˆ โ„
17 resubcl 11523 . . 3 (((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1815, 16, 17sylancl 586 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
19 jm3.1.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ Yrm (๐‘ + 1)) โ‰ค ๐ด)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 41746 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ๐ด)
219, 3remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
22 resubcl 11523 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
233, 16, 22sylancl 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2421, 23readdcld 11242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 eluz2b1 12902 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐พ))
2625simprbi 497 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐พ)
271, 26syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
28 eluz2nn 12867 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3029nngt0d 12260 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
31 ltmulgt11 12073 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐พ โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐พ)))
3327, 32mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด ยท ๐พ))
34 uz2m1nn 12906 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
3635nnrpd 13013 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3721, 36ltaddrpd 13048 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 11374 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
39 peano2re 11386 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4140, 3remulcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
42 resubcl 11523 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4321, 16, 42sylancl 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4443, 14resubcld 11641 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
453recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4645exp1d 14105 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) = ๐พ)
47 eluz2nn 12867 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
4948nnge1d 12259 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
50 nnuz 12864 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
514, 50eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
523, 49, 51leexp2ad 14216 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘1) โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
5346, 52eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (๐พโ†‘๐‘))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 11371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < ๐ด)
55 eluzelz 12831 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
57 eluzelz 12831 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
59 zltp1le 12611 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ < ๐ด โ†” (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด))
6154, 60mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค ๐ด)
6248nngt0d 12260 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
63 lemul1 12065 . . . . . . 7 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ)))
6561, 64mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โ‰ค (๐ด ยท ๐พ))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 11827 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))) โ‰ค ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
6721recnd 11241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
6841, 14resubcld 11641 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„)
6968recnd 11241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 11208 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70addsub12d 11593 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
7245, 70, 45adddird 11238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)))
7345sqvald 14107 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ))
7472, 73oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)))
7545, 45mulcld 11233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
76 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
77 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7876, 45, 77sylancr 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7975, 78pncan2d 11572 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐พ) + (1 ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พ ยท ๐พ)) = (1 ยท ๐พ))
8045mullidd 11231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐พ) = ๐พ)
8174, 79, 803eqtrd 2776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ๐พ)
8281oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = (๐พ โˆ’ 1))
8382oveq2d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)))
8441recnd 11241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
8514recnd 11241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8643recnd 11241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
8784, 85, 86subadd23d 11592 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ + 1) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2780 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) = (((๐พ + 1) ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
89 2cnd 12289 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
909recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9189, 90, 45mulassd 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)))
92672timesd 12454 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐พ)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9391, 92eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) = ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)))
9493oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9594oveq1d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
9621, 21readdcld 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„)
9796recnd 11241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
9897, 85, 70sub32d 11602 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
9967, 67, 70addsubassd 11590 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)))
10099oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)))
10167, 86, 85addsubassd 11590 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐พ) + ((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
102100, 101eqtrd 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐พ) + (๐ด ยท ๐พ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐พ) + (((๐ด ยท ๐พ) โˆ’ 1) โˆ’ (๐พโ†‘2))))
10466, 88, 1033brtr4d 5180 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐พ) + (๐พ โˆ’ 1)) โ‰ค ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 11373 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 11374 1 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) < ((((2 ยท ๐ด) ยท ๐พ) โˆ’ (๐พโ†‘2)) โˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  โ†‘cexp 14026   Yrm crmy 41629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-squarenn 41569  df-pell1qr 41570  df-pell14qr 41571  df-pell1234qr 41572  df-pellfund 41573  df-rmx 41630  df-rmy 41631
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  41748  jm3.1  41749
  Copyright terms: Public domain W3C validator