jm3.1lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm3.1lem2 43559

Description: Lemma for jm3.1 43561. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
jm3.1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.b	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d	⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
jm3.1lem2	⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

**Proof of Theorem jm3.1lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluzelre 12847	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
4		jm3.1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12539	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6	3, 5	reexpcld 14173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ)
7		jm3.1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluzelre 12847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12289	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		remulcl 11155	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
12	10, 9, 11	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12, 3	remulcld 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
14	3	resqcld 14135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16		1re 11178	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl 11492	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19		jm3.1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
20	7, 1, 4, 19	jm3.1lem1 43558	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < 𝐴)
21	9, 3	remulcld 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22		resubcl 11492	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
23	3, 16, 22	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	readdcld 11208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25		eluz2b1 12917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
26	25	simprbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐾)
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
28		eluz2nn 12886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
29	7, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
30	29	nngt0d 12259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
31		ltmulgt11 12048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
32	9, 3, 30, 31	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
33	27, 32	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34		uz2m1nn 12921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
35	1, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 13032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	ltaddrpd 13067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
38	9, 21, 24, 33, 37	lttrd 11341	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39		peano2re 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
40	3, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
41	40, 3	remulcld 11209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42		resubcl 11492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
43	21, 16, 42	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
44	43, 14	resubcld 11612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
45	3	recnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 14151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47		eluz2nn 12886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
49	48	nnge1d 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50		nnuz 12875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
51	4, 50	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
52	3, 49, 51	leexp2ad 14264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾↑𝑁))
53	46, 52	eqbrtrrd 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾↑𝑁))
54	3, 6, 9, 53, 20	lelttrd 11338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝐴)
55		eluzelz 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
57		eluzelz 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
59		zltp1le 12618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
60	56, 58, 59	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
61	54, 60	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
62	48	nngt0d 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
63		lemul1 12040	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
64	40, 9, 3, 62, 63	syl112anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
65	61, 64	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
66	41, 21, 44, 65	leadd1dd 11798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
67	21	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
68	41, 14	resubcld 11612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsub12d 11562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
72	45, 70, 45	adddird 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
73	45	sqvald 14153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
74	72, 73	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
75	45, 45	mulcld 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		mulcl 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
78	76, 45, 77	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
79	75, 78	pncan2d 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
80	45	mullidd 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
82	81	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
83	82	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
84	41	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
85	14	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
86	43	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	subadd23d 11561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
88	71, 83, 87	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89		2cnd 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
90	9	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90, 45	mulassd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92	67	2timesd 12461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
93	91, 92	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
94	93	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
95	94	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
96	21, 21	readdcld 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
98	97, 85, 70	sub32d 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
99	67, 67, 70	addsubassd 11559	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
100	99	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
101	67, 86, 85	addsubassd 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102	100, 101	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
103	95, 98, 102	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
104	66, 88, 103	3brtr4d 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
105	9, 24, 18, 38, 104	ltletrd 11340	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
106	6, 9, 18, 20, 105	lttrd 11341	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∈ wcel 2141 class class class wbr 5099 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ℂcc 11068 ℝcr 11069 0cc0 11070 1c1 11071 + caddc 11073 · cmul 11075 < clt 11213 ≤ cle 11214 − cmin 11411 ℕcn 12207 2c2 12269 ℤcz 12565 ℤ_≥cuz 12836 ↑cexp 14071 Y_rm crmy 43442

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5226 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-inf2 9593 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147 ax-pre-sup 11148 ax-addf 11149

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-tp 4586 df-op 4588 df-uni 4865 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-se 5599 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-isom 6526 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-of 7656 df-om 7843 df-1st 7966 df-2nd 7967 df-supp 8136 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-1o 8432 df-2o 8433 df-oadd 8436 df-omul 8437 df-er 8673 df-map 8805 df-pm 8806 df-ixp 8876 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-fin 8927 df-fsupp 9305 df-fi 9354 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9455 df-card 9894 df-acn 9897 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-div 11842 df-nn 12208 df-2 12277 df-3 12278 df-4 12279 df-5 12280 df-6 12281 df-7 12282 df-8 12283 df-9 12284 df-n0 12479 df-xnn0 12552 df-z 12566 df-dec 12686 df-uz 12837 df-q 12947 df-rp 12991 df-xneg 13111 df-xadd 13112 df-xmul 13113 df-ioo 13350 df-ioc 13351 df-ico 13352 df-icc 13353 df-fz 13510 df-fzo 13657 df-fl 13799 df-mod 13877 df-seq 14012 df-exp 14072 df-fac 14284 df-bc 14313 df-hash 14341 df-shft 15077 df-cj 15109 df-re 15110 df-im 15111 df-sqrt 15245 df-abs 15246 df-limsup 15481 df-clim 15498 df-rlim 15499 df-sum 15697 df-ef 16080 df-sin 16082 df-cos 16083 df-pi 16085 df-dvds 16270 df-gcd 16512 df-numer 16753 df-denom 16754 df-struct 17166 df-sets 17183 df-slot 17201 df-ndx 17213 df-base 17229 df-ress 17250 df-plusg 17282 df-mulr 17283 df-starv 17284 df-sca 17285 df-vsca 17286 df-ip 17287 df-tset 17288 df-ple 17289 df-ds 17291 df-unif 17292 df-hom 17293 df-cco 17294 df-rest 17434 df-topn 17435 df-0g 17453 df-gsum 17454 df-topgen 17455 df-pt 17456 df-prds 17459 df-xrs 17515 df-qtop 17520 df-imas 17521 df-xps 17523 df-mre 17597 df-mrc 17598 df-acs 17600 df-mgm 18657 df-sgrp 18736 df-mnd 18752 df-submnd 18801 df-mulg 19093 df-cntz 19340 df-cmn 19805 df-psmet 21396 df-xmet 21397 df-met 21398 df-bl 21399 df-mopn 21400 df-fbas 21401 df-fg 21402 df-cnfld 21405 df-top 22934 df-topon 22951 df-topsp 22973 df-bases 22986 df-cld 23059 df-ntr 23060 df-cls 23061 df-nei 23138 df-lp 23176 df-perf 23177 df-cn 23267 df-cnp 23268 df-haus 23355 df-tx 23602 df-hmeo 23795 df-fil 23886 df-fm 23978 df-flim 23979 df-flf 23980 df-xms 24360 df-ms 24361 df-tms 24362 df-cncf 24920 df-limc 25908 df-dv 25909 df-log 26598 df-squarenn 43382 df-pell1qr 43383 df-pell14qr 43384 df-pell1234qr 43385 df-pellfund 43386 df-rmx 43443 df-rmy 43444

This theorem is referenced by: jm3.1lem3 43560 jm3.1 43561

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