jm3.1lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm3.1lem2 44229

Description: Lemma for jm3.1 44231. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
jm3.1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.b	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d	⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
jm3.1lem2	⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

**Proof of Theorem jm3.1lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluzelre 13006	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
4		jm3.1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12697	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6	3, 5	reexpcld 14336	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ)
7		jm3.1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluzelre 13006	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12447	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		remulcl 11315	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
12	10, 9, 11	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12, 3	remulcld 11369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
14	3	resqcld 14298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16		1re 11338	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl 11652	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19		jm3.1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
20	7, 1, 4, 19	jm3.1lem1 44228	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < 𝐴)
21	9, 3	remulcld 11369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22		resubcl 11652	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
23	3, 16, 22	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	readdcld 11368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25		eluz2b1 13076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
26	25	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐾)
27	1, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
28		eluz2nn 13045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
29	7, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
30	29	nngt0d 12417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
31		ltmulgt11 12206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
32	9, 3, 30, 31	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
33	27, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34		uz2m1nn 13080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
35	1, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 13192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	ltaddrpd 13227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
38	9, 21, 24, 33, 37	lttrd 11501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39		peano2re 11513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
40	3, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
41	40, 3	remulcld 11369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42		resubcl 11652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
43	21, 16, 42	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
44	43, 14	resubcld 11774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
45	3	recnd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 14314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47		eluz2nn 13045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
48	1, 47	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
49	48	nnge1d 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50		nnuz 13034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
51	4, 50	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
52	3, 49, 51	leexp2ad 14428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾↑𝑁))
53	46, 52	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾↑𝑁))
54	3, 6, 9, 53, 20	lelttrd 11498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝐴)
55		eluzelz 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
56	1, 55	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
57		eluzelz 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 57	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
59		zltp1le 12776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
60	56, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
61	54, 60	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
62	48	nngt0d 12417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
63		lemul1 12199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
64	40, 9, 3, 62, 63	syl112anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
65	61, 64	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
66	41, 21, 44, 65	leadd1dd 11960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
67	21	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
68	41, 14	resubcld 11774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsub12d 11722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
72	45, 70, 45	adddird 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
73	45	sqvald 14316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
74	72, 73	oveq12d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
75	45, 45	mulcld 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		mulcl 11314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
78	76, 45, 77	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
79	75, 78	pncan2d 11701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
80	45	mullidd 11357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
82	81	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
83	82	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
84	41	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
85	14	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
86	43	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	subadd23d 11721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
88	71, 83, 87	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89		2cnd 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
90	9	recnd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90, 45	mulassd 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92	67	2timesd 12619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
93	91, 92	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
94	93	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
95	94	oveq1d 7461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
96	21, 21	readdcld 11368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
98	97, 85, 70	sub32d 11731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
99	67, 67, 70	addsubassd 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
100	99	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
101	67, 86, 85	addsubassd 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102	100, 101	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
103	95, 98, 102	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
104	66, 88, 103	3brtr4d 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
105	9, 24, 18, 38, 104	ltletrd 11500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
106	6, 9, 18, 20, 105	lttrd 11501	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∈ wcel 2147 class class class wbr 5106 ‘cfv 6561 (class class class)co 7446 ℂcc 11228 ℝcr 11229 0cc0 11230 1c1 11231 + caddc 11233 · cmul 11235 < clt 11373 ≤ cle 11374 − cmin 11571 ℕcn 12365 2c2 12427 ℤcz 12723 ℤ_≥cuz 12995 ↑cexp 14234 Y_rm crmy 44112

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5236 ax-sep 5253 ax-nul 5264 ax-pow 5332 ax-pr 5396 ax-un 7778 ax-inf2 9672 ax-cnex 11286 ax-resscn 11287 ax-1cn 11288 ax-icn 11289 ax-addcl 11290 ax-addrcl 11291 ax-mulcl 11292 ax-mulrcl 11293 ax-mulcom 11294 ax-addass 11295 ax-mulass 11296 ax-distr 11297 ax-i2m1 11298 ax-1ne0 11299 ax-1rid 11300 ax-rnegex 11301 ax-rrecex 11302 ax-cnre 11303 ax-pre-lttri 11304 ax-pre-lttrn 11305 ax-pre-ltadd 11306 ax-pre-mulgt0 11307 ax-pre-sup 11308 ax-addf 11309

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5107 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5551 df-eprel 5556 df-po 5564 df-so 5565 df-fr 5609 df-se 5610 df-we 5611 df-xp 5662 df-rel 5663 df-cnv 5664 df-co 5665 df-dm 5666 df-rn 5667 df-res 5668 df-ima 5669 df-pred 6325 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6515 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7403 df-ov 7449 df-oprab 7450 df-mpo 7451 df-of 7720 df-om 7905 df-1st 8028 df-2nd 8029 df-supp 8208 df-frecs 8330 df-wrecs 8361 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8507 df-2o 8508 df-oadd 8511 df-omul 8512 df-er 8748 df-map 8880 df-pm 8881 df-ixp 8957 df-en 9005 df-dom 9006 df-sdom 9007 df-fin 9008 df-fsupp 9385 df-fi 9433 df-sup 9464 df-inf 9465 df-oi 9534 df-card 10050 df-acn 10053 df-pnf 11375 df-mnf 11376 df-xr 11377 df-ltxr 11378 df-le 11379 df-sub 11573 df-neg 11574 df-div 12004 df-nn 12366 df-2 12435 df-3 12436 df-4 12437 df-5 12438 df-6 12439 df-7 12440 df-8 12441 df-9 12442 df-n0 12637 df-xnn0 12710 df-z 12724 df-dec 12845 df-uz 12996 df-q 13106 df-rp 13151 df-xneg 13271 df-xadd 13272 df-xmul 13273 df-ioo 13510 df-ioc 13511 df-ico 13512 df-icc 13513 df-fz 13670 df-fzo 13819 df-fl 13962 df-mod 14040 df-seq 14175 df-exp 14235 df-fac 14448 df-bc 14477 df-hash 14505 df-shft 15252 df-cj 15298 df-re 15299 df-im 15300 df-sqrt 15434 df-abs 15435 df-limsup 15670 df-clim 15687 df-rlim 15688 df-sum 15886 df-ef 16265 df-sin 16267 df-cos 16268 df-pi 16270 df-dvds 16455 df-gcd 16697 df-numer 16943 df-denom 16944 df-struct 17357 df-sets 17374 df-slot 17392 df-ndx 17404 df-base 17420 df-ress 17441 df-plusg 17473 df-mulr 17474 df-starv 17475 df-sca 17476 df-vsca 17477 df-ip 17478 df-tset 17479 df-ple 17480 df-ds 17482 df-unif 17483 df-hom 17484 df-cco 17485 df-rest 17625 df-topn 17626 df-0g 17644 df-gsum 17645 df-topgen 17646 df-pt 17647 df-prds 17650 df-xrs 17706 df-qtop 17711 df-imas 17712 df-xps 17714 df-mre 17788 df-mrc 17789 df-acs 17791 df-mgm 18848 df-sgrp 18940 df-mnd 18956 df-submnd 19011 df-mulg 19310 df-cntz 19564 df-cmn 20029 df-psmet 21703 df-xmet 21704 df-met 21705 df-bl 21706 df-mopn 21707 df-fbas 21708 df-fg 21709 df-cnfld 21712 df-top 23245 df-topon 23262 df-topsp 23284 df-bases 23297 df-cld 23370 df-ntr 23371 df-cls 23372 df-nei 23449 df-lp 23487 df-perf 23488 df-cn 23578 df-cnp 23579 df-haus 23666 df-tx 23914 df-hmeo 24107 df-fil 24198 df-fm 24290 df-flim 24291 df-flf 24292 df-xms 24672 df-ms 24673 df-tms 24674 df-cncf 25232 df-limc 26219 df-dv 26220 df-log 26917 df-squarenn 44052 df-pell1qr 44053 df-pell14qr 44054 df-pell1234qr 44055 df-pellfund 44056 df-rmx 44113 df-rmy 44114

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