jm3.1lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm3.1lem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm3.1lem2 43014

Description: Lemma for jm3.1 43016. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
jm3.1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.b	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
jm3.1.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d	⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
jm3.1lem2	⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

**Proof of Theorem jm3.1lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluzelre 12811	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
4		jm3.1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12510	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6	3, 5	reexpcld 14135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ)
7		jm3.1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluzelre 12811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		remulcl 11160	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
12	10, 9, 11	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12, 3	remulcld 11211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
14	3	resqcld 14097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11613	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16		1re 11181	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl 11493	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19		jm3.1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Y_rm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
20	7, 1, 4, 19	jm3.1lem1 43013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < 𝐴)
21	9, 3	remulcld 11211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22		resubcl 11493	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
23	3, 16, 22	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	readdcld 11210	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25		eluz2b1 12885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
26	25	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐾)
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
28		eluz2nn 12854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
29	7, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
30	29	nngt0d 12242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
31		ltmulgt11 12049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
32	9, 3, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
33	27, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34		uz2m1nn 12889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
35	1, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 13000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	ltaddrpd 13035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
38	9, 21, 24, 33, 37	lttrd 11342	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39		peano2re 11354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
40	3, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
41	40, 3	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42		resubcl 11493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
43	21, 16, 42	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
44	43, 14	resubcld 11613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
45	3	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 14113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47		eluz2nn 12854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
49	48	nnge1d 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50		nnuz 12843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
51	4, 50	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
52	3, 49, 51	leexp2ad 14226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾↑𝑁))
53	46, 52	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾↑𝑁))
54	3, 6, 9, 53, 20	lelttrd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝐴)
55		eluzelz 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
57		eluzelz 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
59		zltp1le 12590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
60	56, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
61	54, 60	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
62	48	nngt0d 12242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
63		lemul1 12041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
64	40, 9, 3, 62, 63	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
65	61, 64	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
66	41, 21, 44, 65	leadd1dd 11799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
67	21	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
68	41, 14	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsub12d 11563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
72	45, 70, 45	adddird 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
73	45	sqvald 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
74	72, 73	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
75	45, 45	mulcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		mulcl 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
78	76, 45, 77	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
79	75, 78	pncan2d 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
80	45	mullidd 11199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
82	81	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
83	82	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
84	41	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
85	14	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
86	43	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	subadd23d 11562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
88	71, 83, 87	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89		2cnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
90	9	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90, 45	mulassd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92	67	2timesd 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
93	91, 92	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
94	93	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
95	94	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
96	21, 21	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
98	97, 85, 70	sub32d 11572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
99	67, 67, 70	addsubassd 11560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
100	99	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
101	67, 86, 85	addsubassd 11560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102	100, 101	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
103	95, 98, 102	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
104	66, 88, 103	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
105	9, 24, 18, 38, 104	ltletrd 11341	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
106	6, 9, 18, 20, 105	lttrd 11342	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5110 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 ℕcn 12193 2c2 12248 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ↑cexp 14033 Y_rm crmy 42896

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-omul 8442 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-card 9899 df-acn 9902 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15444 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-sum 15660 df-ef 16040 df-sin 16042 df-cos 16043 df-pi 16045 df-dvds 16230 df-gcd 16472 df-numer 16712 df-denom 16713 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-limc 25774 df-dv 25775 df-log 26472 df-squarenn 42836 df-pell1qr 42837 df-pell14qr 42838 df-pell1234qr 42839 df-pellfund 42840 df-rmx 42897 df-rmy 42898

This theorem is referenced by: jm3.1lem3 43015 jm3.1 43016

W3C validator