Theorem 2pwp1prm 45771

Description: For ((2↑𝑘) + 1) to be prime, 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prm	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 16775	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
2	1	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
3		eldifi 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4		prmnn 16550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7		nndivides 16146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
8	5, 6, 7	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12		1le2 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
14	10, 11, 13	expge1d 14070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16		2nn 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
18	17, 11	nnexpcld 14148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20		zleltp1 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
22	14, 21	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
23	18	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25		subneg 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
26	25	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
27	23, 24, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
28	22, 27	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
30	29	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
31	18	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
33	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
34	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35	5	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
37	34, 36	nn0mulcld 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
38	33, 37	nnexpcld 14148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
39	38	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42		nnz 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	5	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
46	43, 45	zmulcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47		1lt2 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49		prmgt1 16573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52		nnre 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	5	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56		nngt0 12184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58		ltmulgt11 12015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
59	53, 55, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
60	51, 59	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61		ltexp2a 14071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
62	41, 43, 46, 48, 60, 61	syl32anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
63	32, 39, 40, 62	ltadd1dd 11766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
64	63	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
65	23, 24	subnegd 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
66	65	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
68	67	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
70	69	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
72	64, 68, 71	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73		neg1z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
75	19, 74	zsubcld 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77		fzofi 13879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑝) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
79	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80		elfzonn0 13617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		zexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
82	79, 80, 81	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
83	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84		fzonnsub 13597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
86		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
89	83, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
90	82, 89	zmulcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
91	78, 90	fsumzcl 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92		dvdsmul1 16160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
93	76, 91, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
94	93	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
95	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96		neg1cn 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98		pwdif 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
99	36, 95, 97, 98	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
100	99	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
101	100	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
102	94, 101	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105	103, 104	expcld 14051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107	105, 106	subnegd 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108	107	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112	111	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115	114, 36, 34	expmuld 14054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116	115	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117	113, 116	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118		1exp 13997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
119	44, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120	119	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121	120	negeqd 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123		oddn2prm 16684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124		oexpneg 16227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125	122, 5, 123, 124	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126	125	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127	121, 126	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129	128	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130	117, 129	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131	110, 130	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132	131	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133	102, 132	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
134	30, 72, 133	dvdsnprmd 16566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135	134	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136	135	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137	136	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138	137	impancom 452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139	138	impl 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140	139	rexlimdva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
141	8, 140	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142	141	rexlimdva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143	142	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
144	2, 143	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145	144	pm2.18da 798	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ..^cfzo 13567  ↑cexp 13967  Σcsu 15570   ∥ cdvds 16136  ℙcprime 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709

This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  45772