Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pwp1prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pwp1prm 46257
Description: For ((2โ†‘๐‘˜) + 1) to be prime, ๐‘˜ must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prm ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐พ

Proof of Theorem 2pwp1prm
Dummy variables ๐‘š ๐‘ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddprmdvds 16836 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
21adantlr 714 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
3 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
4 prmnn 16611 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
7 nndivides 16207 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ))
85, 6, 7syl2anr 598 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ))
9 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
11 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
12 1le2 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โ‰ค 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
1410, 11, 13expge1d 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))
15 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„•
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
1817, 11nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1918nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค)
20 zleltp1 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2115, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2214, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1))
2318nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
25 subneg 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐‘š) + 1))
2625breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2723, 24, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2822, 27mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
3118nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
3316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3411adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
355nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3734, 36nn0mulcld 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3833, 37nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•)
3938nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
40 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
42 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
445nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4643, 45zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
47 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < 2)
49 prmgt1 16634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘)
503, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 < ๐‘)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ๐‘)
52 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
545nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
56 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘š)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘š)
58 ltmulgt11 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘š) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘)))
5953, 55, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘)))
6051, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘))
61 ltexp2a 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (1 < 2 โˆง ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘))) โ†’ (2โ†‘๐‘š) < (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
6241, 43, 46, 48, 60, 61syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) < (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
6332, 39, 40, 62ltadd1dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) < ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1))
6463ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) < ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1))
6523, 24subnegd 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐‘š) + 1))
6665eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
69 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = (2โ†‘๐พ))
7069oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
7170adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
7264, 68, 713brtr3d 5180 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) < ((2โ†‘๐พ) + 1))
73 neg1z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 โˆˆ โ„ค
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
7519, 74zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค)
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค)
77 fzofi 13939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
7919adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค)
80 elfzonn0 13677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
81 zexpcl 14042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8279, 80, 81syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
84 fzonnsub 13657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8584adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
86 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
88 zexpcl 14042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
8983, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
9082, 89zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
9178, 90fsumzcl 15681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
92 dvdsmul1 16221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9376, 91, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9493ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9523adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
96 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 โˆˆ โ„‚
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
98 pwdif 15814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) = (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9936, 95, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) = (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
10099breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
101100ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
10294, 101mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
103 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
104 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
105103, 104expcld 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
106 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
107105, 106subnegd 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
108107eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
111 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ = (๐‘š ยท ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
112111eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
113112adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
114 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
115114, 36, 34expmuld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
116115ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
117113, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐พ) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
118 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
120119eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 = (1โ†‘๐‘))
121120negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -1 = -(1โ†‘๐‘))
122 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
123 oddn2prm 16745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
124 oexpneg 16288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -(1โ†‘๐‘))
125122, 5, 123, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -(1โ†‘๐‘))
126125eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -(1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘๐‘))
127121, 126eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
130117, 129oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
131110, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
132131breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ ((2โ†‘๐พ) + 1) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘))))
133102, 132mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ ((2โ†‘๐พ) + 1))
13430, 72, 133dvdsnprmd 16627 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™)
135134pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
136135ex 414 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
137136com23 86 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
138137impancom 453 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
139138impl 457 . . . . . . 7 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
140139rexlimdva 3156 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
1418, 140sylbid 239 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
142141rexlimdva 3156 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
143142adantr 482 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
1442, 143mpd 15 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
145144pm2.18da 799 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   โˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ..^cfzo 13627  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770
This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  46258
  Copyright terms: Public domain W3C validator