Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pwp1prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pwp1prm 46555
Description: For ((2โ†‘๐‘˜) + 1) to be prime, ๐‘˜ must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prm ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐พ

Proof of Theorem 2pwp1prm
Dummy variables ๐‘š ๐‘ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddprmdvds 16840 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
21adantlr 711 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
3 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
4 prmnn 16615 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
7 nndivides 16211 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ))
85, 6, 7syl2anr 595 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ))
9 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
11 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
12 1le2 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โ‰ค 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
1410, 11, 13expge1d 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))
15 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„•
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
1817, 11nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1918nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค)
20 zleltp1 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2115, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2214, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1))
2318nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
25 subneg 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐‘š) + 1))
2625breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2723, 24, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2822, 27mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
3029ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
3118nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
3316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3411adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
355nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3734, 36nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3833, 37nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•)
3938nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
40 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
42 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
445nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4643, 45zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
47 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < 2)
49 prmgt1 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘)
503, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 < ๐‘)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ๐‘)
52 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
545nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
56 nngt0 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘š)
5756adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘š)
58 ltmulgt11 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘š) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘)))
5953, 55, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘)))
6051, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘))
61 ltexp2a 14135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (1 < 2 โˆง ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘))) โ†’ (2โ†‘๐‘š) < (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
6241, 43, 46, 48, 60, 61syl32anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) < (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
6332, 39, 40, 62ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) < ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1))
6463ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) < ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1))
6523, 24subnegd 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐‘š) + 1))
6665eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
6867ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
69 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = (2โ†‘๐พ))
7069oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
7264, 68, 713brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) < ((2โ†‘๐พ) + 1))
73 neg1z 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 โˆˆ โ„ค
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
7519, 74zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค)
7675adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค)
77 fzofi 13943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
7919adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค)
80 elfzonn0 13681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
81 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8279, 80, 81syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
84 fzonnsub 13661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
86 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
88 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
8983, 87, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
9082, 89zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
9178, 90fsumzcl 15685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
92 dvdsmul1 16225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9376, 91, 92syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9493ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9523adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
96 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 โˆˆ โ„‚
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
98 pwdif 15818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) = (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9936, 95, 97, 98syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) = (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
10099breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
101100ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
10294, 101mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
103 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
104 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
105103, 104expcld 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
106 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
107105, 106subnegd 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
108107eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
111 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ = (๐‘š ยท ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
112111eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
113112adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
114 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
115114, 36, 34expmuld 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
116115ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
117113, 116eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐พ) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
118 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
120119eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 = (1โ†‘๐‘))
121120negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -1 = -(1โ†‘๐‘))
122 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
123 oddn2prm 16749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
124 oexpneg 16292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -(1โ†‘๐‘))
125122, 5, 123, 124syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -(1โ†‘๐‘))
126125eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -(1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘๐‘))
127121, 126eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
129128ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
130117, 129oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
131110, 130eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
132131breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ ((2โ†‘๐พ) + 1) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘))))
133102, 132mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ ((2โ†‘๐พ) + 1))
13430, 72, 133dvdsnprmd 16631 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™)
135134pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
136135ex 411 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
137136com23 86 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
138137impancom 450 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
139138impl 454 . . . . . . 7 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
140139rexlimdva 3153 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
1418, 140sylbid 239 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
142141rexlimdva 3153 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
143142adantr 479 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
1442, 143mpd 15 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
145144pm2.18da 796 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068   โˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ..^cfzo 13631  โ†‘cexp 14031  ฮฃcsu 15636   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774
This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  46556
  Copyright terms: Public domain W3C validator