Theorem 2pwp1prm 48159

Description: For ((2↑𝑘) + 1) to be prime, 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prm	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 16930	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
2	1	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
3		eldifi 4082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4		prmnn 16699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7		nndivides 16287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
8	5, 6, 7	syl2anr 606	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9		2re 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11		nnnn0 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12		1le2 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
14	10, 11, 13	expge1d 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15		1zzd 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16		2nn 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
18	17, 11	nnexpcld 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20		zleltp1 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
22	14, 21	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
23	18	nncnd 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25		subneg 11474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
26	25	breq2d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
27	23, 24, 26	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
28	22, 27	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
29	28	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
30	29	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
31	18	nnred 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
33	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
34	11	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35	5	nnnn0d 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
37	34, 36	nn0mulcld 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
38	33, 37	nnexpcld 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
39	38	nnred 12219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40		1red 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42		nnz 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
43	42	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	5	nnzd 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
46	43, 45	zmulcld 12677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47		1lt2 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49		prmgt1 16723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
51	50	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52		nnre 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	5	nnred 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
55	54	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56		nngt0 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
57	56	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58		ltmulgt11 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
59	53, 55, 57, 58	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
60	51, 59	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61		ltexp2a 14173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
62	41, 43, 46, 48, 60, 61	syl32anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
63	32, 39, 40, 62	ltadd1dd 11792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
64	63	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
65	23, 24	subnegd 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
66	65	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
67	66	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
68	67	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
70	69	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
71	70	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
72	64, 68, 71	3brtr3d 5128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73		neg1z 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
75	19, 74	zsubcld 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
76	75	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77		fzofi 13981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑝) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
79	19	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80		elfzonn0 13707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		zexpcl 14083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
82	79, 80, 81	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
83	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84		fzonnsub 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
85	84	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
86		nnm1nn0 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 14083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
89	83, 87, 88	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
90	82, 89	zmulcld 12677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
91	78, 90	fsumzcl 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92		dvdsmul1 16302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
93	76, 91, 92	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
94	93	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
95	23	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96		neg1cn 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98		pwdif 15889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
99	36, 95, 97, 98	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
100	99	breq2d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
101	100	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
102	94, 101	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104		nnnn0 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105	103, 104	expcld 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107	105, 106	subnegd 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108	107	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109	108	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110	109	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112	111	eqcoms 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113	112	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115	114, 36, 34	expmuld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116	115	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117	113, 116	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118		1exp 14098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
119	44, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120	119	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121	120	negeqd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123		oddn2prm 16839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124		oexpneg 16370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125	122, 5, 123, 124	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126	125	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127	121, 126	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128	127	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129	128	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130	117, 129	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131	110, 130	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132	131	breq2d 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133	102, 132	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
134	30, 72, 133	dvdsnprmd 16715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135	134	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136	135	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137	136	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138	137	impancom 455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139	138	impl 459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140	139	rexlimdva 3162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
141	8, 140	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142	141	rexlimdva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143	142	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
144	2, 143	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145	144	pm2.18da 809	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3899  {csn 4579   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  -cneg 11409  ℕcn 12204  2c2 12266  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ..^cfzo 13653  ↑cexp 14068  Σcsu 15704   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697  df-pc 16864

This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  48160