Theorem 2pwp1prm 47463

Description: For ((2↑𝑘) + 1) to be prime, 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prm	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 16950	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
2	1	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
3		eldifi 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4		prmnn 16721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7		nndivides 16312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
8	5, 6, 7	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12		1le2 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
14	10, 11, 13	expge1d 14215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15		1zzd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16		2nn 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
18	17, 11	nnexpcld 14294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20		zleltp1 12694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
22	14, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
23	18	nncnd 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25		subneg 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
26	25	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
27	23, 24, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
28	22, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
30	29	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
31	18	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
33	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
34	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35	5	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
37	34, 36	nn0mulcld 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
38	33, 37	nnexpcld 14294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
39	38	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	5	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
46	43, 45	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47		1lt2 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49		prmgt1 16744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	5	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58		ltmulgt11 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
59	53, 55, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
60	51, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61		ltexp2a 14216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
62	41, 43, 46, 48, 60, 61	syl32anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
63	32, 39, 40, 62	ltadd1dd 11901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
64	63	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
65	23, 24	subnegd 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
66	65	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
68	67	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
70	69	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
72	64, 68, 71	3brtr3d 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73		neg1z 12679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
75	19, 74	zsubcld 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77		fzofi 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑝) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
79	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80		elfzonn0 13761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		zexpcl 14127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
82	79, 80, 81	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
83	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84		fzonnsub 13741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
86		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 14127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
89	83, 87, 88	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
90	82, 89	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
91	78, 90	fsumzcl 15783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92		dvdsmul1 16326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
93	76, 91, 92	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
94	93	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
95	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96		neg1cn 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98		pwdif 15916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
99	36, 95, 97, 98	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
100	99	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
101	100	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
102	94, 101	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105	103, 104	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107	105, 106	subnegd 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108	107	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112	111	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115	114, 36, 34	expmuld 14199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116	115	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117	113, 116	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118		1exp 14142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
119	44, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120	119	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121	120	negeqd 11530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123		oddn2prm 16859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124		oexpneg 16393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125	122, 5, 123, 124	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126	125	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127	121, 126	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129	128	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130	117, 129	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131	110, 130	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132	131	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133	102, 132	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
134	30, 72, 133	dvdsnprmd 16737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135	134	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136	135	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137	136	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138	137	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139	138	impl 455	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140	139	rexlimdva 3161	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
141	8, 140	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142	141	rexlimdva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143	142	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
144	2, 143	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145	144	pm2.18da 799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711  ↑cexp 14112  Σcsu 15734   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884

This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  47464