Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pwp1prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pwp1prm 46243
Description: For ((2โ†‘๐‘˜) + 1) to be prime, ๐‘˜ must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prm ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐พ

Proof of Theorem 2pwp1prm
Dummy variables ๐‘š ๐‘ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddprmdvds 16832 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
21adantlr 713 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
3 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
4 prmnn 16607 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
7 nndivides 16203 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ))
85, 6, 7syl2anr 597 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ))
9 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
11 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
12 1le2 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โ‰ค 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
1410, 11, 13expge1d 14126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))
15 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„•
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
1817, 11nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1918nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค)
20 zleltp1 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค (2โ†‘๐‘š) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2214, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1))
2318nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
25 subneg 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐‘š) + 1))
2625breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2723, 24, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘š) + 1)))
2822, 27mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
3118nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
3316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3411adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
355nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3734, 36nn0mulcld 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3833, 37nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•)
3938nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
40 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
42 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
445nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4643, 45zmulcld 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
47 1lt2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < 2)
49 prmgt1 16630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘)
503, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 < ๐‘)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ๐‘)
52 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
545nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
56 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘š)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘š)
58 ltmulgt11 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘š) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘)))
5953, 55, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘)))
6051, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘))
61 ltexp2a 14127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (1 < 2 โˆง ๐‘š < (๐‘š ยท ๐‘))) โ†’ (2โ†‘๐‘š) < (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
6241, 43, 46, 48, 60, 61syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) < (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
6332, 39, 40, 62ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) < ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1))
6463ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) < ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1))
6523, 24subnegd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐‘š) + 1))
6665eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
6867ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) + 1) = ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1))
69 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = (2โ†‘๐พ))
7069oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) + 1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
7264, 68, 713brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) < ((2โ†‘๐พ) + 1))
73 neg1z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 โˆˆ โ„ค
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
7519, 74zsubcld 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค)
77 fzofi 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
7919adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค)
80 elfzonn0 13673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
81 zexpcl 14038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8279, 80, 81syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
84 fzonnsub 13653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
86 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
88 zexpcl 14038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
8983, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
9082, 89zmulcld 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
9178, 90fsumzcl 15677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
92 dvdsmul1 16217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9376, 91, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9493ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9523adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
96 neg1cn 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 โˆˆ โ„‚
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
98 pwdif 15810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) = (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
9936, 95, 97, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) = (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
10099breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
101100ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘˜) ยท (-1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
10294, 101mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
103 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
104 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
105103, 104expcld 14107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
106 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
107105, 106subnegd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1) = ((2โ†‘๐พ) + 1))
108107eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1))
111 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ = (๐‘š ยท ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
112111eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐พ) = (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)))
114 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
115114, 36, 34expmuld 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
116115ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘(๐‘š ยท ๐‘)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
117113, 116eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐พ) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘))
118 1exp 14053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
120119eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 = (1โ†‘๐‘))
121120negeqd 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -1 = -(1โ†‘๐‘))
122 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
123 oddn2prm 16741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
124 oexpneg 16284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -(1โ†‘๐‘))
125122, 5, 123, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -(1โ†‘๐‘))
126125eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -(1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘๐‘))
127121, 126eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
129128ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ -1 = (-1โ†‘๐‘))
130117, 129oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) โˆ’ -1) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
131110, 130eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐พ) + 1) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘)))
132131breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ ((2โ†‘๐พ) + 1) โ†” ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘) โˆ’ (-1โ†‘๐‘))))
133102, 132mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) โˆ’ -1) โˆฅ ((2โ†‘๐พ) + 1))
13430, 72, 133dvdsnprmd 16623 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™)
135134pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ) โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
136135ex 413 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
137136com23 86 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ (((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
138137impancom 452 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))))
139138impl 456 . . . . . . 7 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
140139rexlimdva 3155 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
1418, 140sylbid 239 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
142141rexlimdva 3155 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
143142adantr 481 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
1442, 143mpd 15 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
145144pm2.18da 798 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐พ) + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  ..^cfzo 13623  โ†‘cexp 14023  ฮฃcsu 15628   โˆฅ cdvds 16193  โ„™cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766
This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  46244
  Copyright terms: Public domain W3C validator