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Theorem 2pwp1prm 43119
Description: For every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prm ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddprmdvds 16089 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
21adantlr 702 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
3 eldifi 3987 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4 prmnn 15868 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7 nndivides 15471 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
85, 6, 7syl2anr 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9 2re 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11 nnnn0 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12 1le2 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
1410, 11, 13expge1d 13338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15 1zzd 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16 2nn 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
1817, 11nnexpcld 13415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1918nnzd 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20 zleltp1 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2115, 19, 20syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2214, 21mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
2318nncnd 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25 subneg 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
2625breq2d 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2723, 24, 26syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2822, 27mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
2928adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
3029ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
3118nnred 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
3231adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
3316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
3411adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
355nnnn0d 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3635adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3734, 36nn0mulcld 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
3833, 37nnexpcld 13415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
3938nnred 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40 1red 10434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42 nnz 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
4342adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
445nnzd 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
4544adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4643, 45zmulcld 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47 1lt2 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49 prmgt1 15891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
503, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
5150adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52 nnre 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
5352adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
545nnred 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
5554adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56 nngt0 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
5756adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58 ltmulgt11 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
5953, 55, 57, 58syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
6051, 59mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61 ltexp2a 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
6241, 43, 46, 48, 60, 61syl32anc 1358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
6332, 39, 40, 62ltadd1dd 11046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
6463ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
6523, 24subnegd 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
6665eqcomd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
6766adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
6867ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
7069oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
7170adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
7264, 68, 713brtr3d 4954 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73 neg1z 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
7519, 74zsubcld 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
7675adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77 fzofi 13151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑝) ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
7919adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80 elfzonn0 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81 zexpcl 13253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
8279, 80, 81syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
8373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84 fzonnsub 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
8584adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
86 nnm1nn0 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88 zexpcl 13253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
8983, 87, 88syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
9082, 89zmulcld 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
9178, 90fsumzcl 14946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92 dvdsmul1 15485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9376, 91, 92syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9493ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9523adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96 neg1cn 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98 pwdif 15077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9936, 95, 97, 98syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
10099breq2d 4935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))))))
101100ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))))))
10294, 101mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103 2cnd 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104 nnnn0 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105103, 104expcld 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106 1cnd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107105, 106subnegd 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108107eqcomd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109108adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110109adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112111eqcoms 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113112adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114 2cnd 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115114, 36, 34expmuld 13322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116115ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117113, 116eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118 1exp 13267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120119eqcomd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121120negeqd 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122 1cnd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123 oddn2prm 15999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124 oexpneg 15548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125122, 5, 123, 124syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126125eqcomd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127121, 126eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128127adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129128ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130117, 129oveq12d 6988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131110, 130eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132131breq2d 4935 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133102, 132mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
13430, 72, 133dvdsnprmd 15884 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135134pm2.21d 119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136135ex 405 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137136com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138137impancom 444 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139138impl 448 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140139rexlimdva 3223 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
1418, 140sylbid 232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142141rexlimdva 3223 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143142adantr 473 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
1442, 143mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145144pm2.18da 787 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3083  cdif 3820  {csn 4435   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  Fincfn 8300  cc 10327  cr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332   · cmul 10334   < clt 10468  cle 10469  cmin 10664  -cneg 10665  cn 11433  2c2 11489  0cn0 11701  cz 11787  ..^cfzo 12843  cexp 13238  Σcsu 14897  cdvds 15461  cprime 15865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-sum 14898  df-dvds 15462  df-gcd 15698  df-prm 15866  df-pc 16024
This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  43120
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