MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien2 9404
Description: Equinumerousity relation for sets of finitely supported functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien2.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
mapfien2.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien2.ac (𝜑𝐴𝐶)
mapfien2.bd (𝜑𝐵𝐷)
mapfien2.z (𝜑0𝐵)
mapfien2.w (𝜑𝑊𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapfien2 (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥, 0   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem mapfien2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfien2.z . . 3 (𝜑0𝐵)
2 mapfien2.w . . 3 (𝜑𝑊𝐷)
3 mapfien2.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
4 enfixsn 9081 . . 3 (( 0𝐵𝑊𝐷𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
6 mapfien2.ac . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 bren 8949 . . . . 5 (𝐴𝐶 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
86, 7sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
9 mapfien2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )}
11 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑦0 ) = (𝑦0 )
12 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
14 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
1563ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴𝐶)
16 relen 8944 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≈
1716brrelex1i 5733 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
1933ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵𝐷)
2016brrelex1i 5733 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
2216brrelex2i 5734 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
2416brrelex2i 5734 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
2519, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
2613ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 0𝐵)
279, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 23, 25, 26mapfien 9403 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
28 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝐵m 𝐴) ∈ V
299, 28rabex2 5335 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ V
3029f1oen 8969 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
32313adant3r 1182 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
33 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦0 ) = 𝑊 → (𝑥 finSupp (𝑦0 ) ↔ 𝑥 finSupp 𝑊))
3433rabbidv 3441 . . . . . . . . . 10 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊})
35 mapfien2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
3634, 35eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3736adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
38373ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3932, 38breqtrd 5175 . . . . . 6 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆𝑇)
40393exp 1120 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
4140exlimdv 1937 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
428, 41mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
4342exlimdv 1937 . 2 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
445, 43mpd 15 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccnv 5676  ccom 5681  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  (class class class)co 7409  m cmap 8820  cen 8936   finSupp cfsupp 9361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-1o 8466  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9362
This theorem is referenced by:  frlmpwfi  41840
  Copyright terms: Public domain W3C validator