MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien2 9447
Description: Equinumerousity relation for sets of finitely supported functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien2.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
mapfien2.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien2.ac (𝜑𝐴𝐶)
mapfien2.bd (𝜑𝐵𝐷)
mapfien2.z (𝜑0𝐵)
mapfien2.w (𝜑𝑊𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapfien2 (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥, 0   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem mapfien2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfien2.z . . 3 (𝜑0𝐵)
2 mapfien2.w . . 3 (𝜑𝑊𝐷)
3 mapfien2.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
4 enfixsn 9120 . . 3 (( 0𝐵𝑊𝐷𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
6 mapfien2.ac . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 bren 8994 . . . . 5 (𝐴𝐶 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
86, 7sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
9 mapfien2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
10 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )}
11 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑦0 ) = (𝑦0 )
12 f1ocnv 6861 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
13123ad2ant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
14 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
1563ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴𝐶)
16 relen 8989 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≈
1716brrelex1i 5745 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
1933ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵𝐷)
2016brrelex1i 5745 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
2216brrelex2i 5746 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
2416brrelex2i 5746 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
2519, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
2613ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 0𝐵)
279, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 23, 25, 26mapfien 9446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
28 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝐵m 𝐴) ∈ V
299, 28rabex2 5347 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ V
3029f1oen 9012 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
32313adant3r 1180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
33 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦0 ) = 𝑊 → (𝑥 finSupp (𝑦0 ) ↔ 𝑥 finSupp 𝑊))
3433rabbidv 3441 . . . . . . . . . 10 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊})
35 mapfien2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
3634, 35eqtr4di 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
38373ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3932, 38breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆𝑇)
40393exp 1118 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
4140exlimdv 1931 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
428, 41mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
4342exlimdv 1931 . 2 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
445, 43mpd 15 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  ccom 5693  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cen 8981   finSupp cfsupp 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-1o 8505  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fsupp 9400
This theorem is referenced by:  frlmpwfi  43087
  Copyright terms: Public domain W3C validator