Theorem mulnzcnf 11936

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mulnzcnf	⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem mulnzcnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11264	. . . . 5 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffnov 7576	. . . . 5 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ↔ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ))
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	simpli 483	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
5		difss 4159	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
6		xpss12 5715	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ))
7	5, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)
8		fnssres 6703	. . 3 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
9	4, 7, 8	mp2an 691	. 2 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
10		ovres 7616	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
11		eldifsn 4811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
12		eldifsn 4811	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
13		mulcl 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
15		mulne0 11932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
16	14, 15	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
17	11, 12, 16	syl2anb 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
18		eldifsn 4811	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	10, 19	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	20	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})
22		ffnov 7576	. 2 ⊢ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 21, 22	mpbir2an 710	1 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by: (None)