Theorem mulnzcnf 11790

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mulnzcnf	⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem mulnzcnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11112	. . . . 5 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffnov 7487	. . . . 5 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ↔ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ))
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	simpli 483	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
5		difss 4077	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
6		xpss12 5640	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ))
7	5, 5, 6	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)
8		fnssres 6616	. . 3 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
9	4, 7, 8	mp2an 693	. 2 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
10		ovres 7527	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
11		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
12		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
13		mulcl 11116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	ad2ant2r 748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
15		mulne0 11786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
16	14, 15	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
17	11, 12, 16	syl2anb 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
18		eldifsn 4730	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	10, 19	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	20	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})
22		ffnov 7487	. 2 ⊢ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 21, 22	mpbir2an 712	1 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   × cxp 5623   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032   · cmul 11037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374

This theorem is referenced by: (None)