Theorem mulsgt0d 28090

Description: The product of two positive surreals is positive. Theorem 9 of [Conway] p. 20. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulsgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulsgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
mulsgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
mulsgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulsgt0d	⊢ (𝜑 → 0s <s (𝐴 ·s 𝐵))

Proof of Theorem mulsgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsgt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulsgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
3		mulsgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4		mulsgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
5		mulsgt0 28089	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 0s <s 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 0s <s 𝐵)) → 0s <s (𝐴 ·s 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0s <s (𝐴 ·s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352   No csur 27584   <s cslt 27585   0_s c0s 27772   ·_s cmuls 28051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sle 27690  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27774  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27887  df-norec2 27898  df-adds 27909  df-negs 27969  df-subs 27970  df-muls 28052

This theorem is referenced by:  mulsge0d  28091  sltmul2  28116  nnmulscl  28281  expsgt0  28366