Theorem mulsuble0b 12124

Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulsuble0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))))

Proof of Theorem mulsuble0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
3		resubcl 11562	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
6		mulle0b 12123	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0))))
7	2, 5, 6	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0))))
8		suble0 11766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
9	8	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
10		subge0 11765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
11	10	ancoms 457	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
12	11	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
13	9, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
14		subge0 11765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
15	14	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
16		suble0 11766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
17	16	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
18	17	3adant1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
19	15, 18	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
20	19	biancomd 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
21	13, 20	orbi12d 916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))))
22	7, 21	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   · cmul 11151   ≤ cle 11287   − cmin 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910

This theorem is referenced by:  brbtwn2  28736