MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 12138
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 11571 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
213adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3 resubcl 11571 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
43ancoms 458 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
543adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
6 mulle0b 12137 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
72, 5, 6syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
8 suble0 11775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
983adant3 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
10 subge0 11774 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1110ancoms 458 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
12113adant1 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
139, 12anbi12d 632 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶)))
14 subge0 11774 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
15143adant3 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
16 suble0 11775 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1716ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
18173adant1 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1915, 18anbi12d 632 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐵)))
2019biancomd 463 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴)))
2113, 20orbi12d 918 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0)) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
227, 21bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919
This theorem is referenced by:  brbtwn2  28935
  Copyright terms: Public domain W3C validator