Theorem mulsuble0b 12189

Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulsuble0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))))

Proof of Theorem mulsuble0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
3		resubcl 11622	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
6		mulle0b 12188	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0))))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0))))
8		suble0 11830	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
9	8	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
10		subge0 11829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
11	10	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
12	11	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
13	9, 12	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
14		subge0 11829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
15	14	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
16		suble0 11830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
17	16	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
18	17	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
19	15, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
20	19	biancomd 469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
21	13, 20	orbi12d 932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 − 𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐵) ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))))
22	7, 21	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974

This theorem is used by:  brbtwn2  29483