MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 12035
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 11473 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
213adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
3 resubcl 11473 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
43ancoms 460 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
543adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
6 mulle0b 12034 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0))))
72, 5, 6syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0))))
8 suble0 11677 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
983adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
10 subge0 11676 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
1110ancoms 460 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
12113adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
139, 12anbi12d 632 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))
14 subge0 11676 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
15143adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
16 suble0 11677 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
1716ancoms 460 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
18173adant1 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
1915, 18anbi12d 632 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0) โ†” (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ต)))
2019biancomd 465 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0) โ†” (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
2113, 20orbi12d 918 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0)) โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
227, 21bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  brbtwn2  27903
  Copyright terms: Public domain W3C validator