MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 12124
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 11562 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
213adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
3 resubcl 11562 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
43ancoms 457 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
543adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
6 mulle0b 12123 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0))))
72, 5, 6syl2anc 582 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0))))
8 suble0 11766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
983adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
10 subge0 11765 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
1110ancoms 457 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
12113adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
139, 12anbi12d 630 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))
14 subge0 11765 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
15143adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
16 suble0 11766 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
1716ancoms 457 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
18173adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
1915, 18anbi12d 630 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0) โ†” (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ต)))
2019biancomd 462 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0) โ†” (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
2113, 20orbi12d 916 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0)) โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
227, 21bitrd 278 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910
This theorem is referenced by:  brbtwn2  28736
  Copyright terms: Public domain W3C validator