MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 12087
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 11525 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
213adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
3 resubcl 11525 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
43ancoms 458 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
543adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
6 mulle0b 12086 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0))))
72, 5, 6syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0))))
8 suble0 11729 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
983adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
10 subge0 11728 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
1110ancoms 458 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
12113adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ถ))
139, 12anbi12d 630 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))
14 subge0 11728 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
15143adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
16 suble0 11729 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
1716ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
18173adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ถ โ‰ค ๐ต))
1915, 18anbi12d 630 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0) โ†” (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ต)))
2019biancomd 463 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0) โ†” (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
2113, 20orbi12d 915 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆจ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0)) โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
227, 21bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  brbtwn2  28666
  Copyright terms: Public domain W3C validator