Theorem mulle0b 12014

Description: A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))

Proof of Theorem mulle0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	le0neg1d 11709	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
3		le0neg2 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
4	3	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0)))
5		le0neg1 11646	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
6	5	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
7	4, 6	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
9		renegcl 11445	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
10		mulge0b 12013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
11	9, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
12		recn 11118	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 11118	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
14		mulneg2 11575	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
15	14	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
16	12, 13, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
17	8, 11, 16	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ -(𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))
18	2, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   ≤ cle 11169  -cneg 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  mulsuble0b  12015  addmodlteq  13871  colinearalglem4  28872  reclt0d  45367