Theorem mulle0b 12087

Description: A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))

Proof of Theorem mulle0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11186	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	le0neg1d 11786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
3		le0neg2 11724	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
4	3	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0)))
5		le0neg1 11723	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
6	5	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
7	4, 6	orbi12d 931	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
8	7	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
9		renegcl 11522	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
10		mulge0b 12086	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
11	9, 10	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
12		recn 11191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 11191	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
14		mulneg2 11652	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
15	14	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
16	12, 13, 15	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
17	8, 11, 16	3bitr2rd 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ -(𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))
18	2, 17	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   ≤ cle 11245  -cneg 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  mulsuble0b  12088  addmodlteq  13984  colinearalglem4  29237  reclt0d  46082