Theorem mulle0b 12139

Description: A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulle0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))

Proof of Theorem mulle0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	le0neg1d 11834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
3		le0neg2 11772	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
4	3	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0)))
5		le0neg1 11771	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
6	5	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
7	4, 6	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0)) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
9		renegcl 11572	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
10		mulge0b 12138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
11	9, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ -𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵))))
12		recn 11245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 11245	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
14		mulneg2 11700	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
15	14	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
16	12, 13, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ -(𝐴 · 𝐵)))
17	8, 11, 16	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ -(𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))
18	2, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   ≤ cle 11296  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  mulsuble0b  12140  addmodlteq  13987  colinearalglem4  28924  reclt0d  45398