MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulle0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulle0b 12031
Description: A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulle0b ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0))))

Proof of Theorem mulle0b
StepHypRef Expression
1 remulcl 11141 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
21le0neg1d 11731 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(๐ด ยท ๐ต)))
3 le0neg2 11669 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค 0))
43anbi2d 630 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (๐ด โ‰ค 0 โˆง -๐ต โ‰ค 0)))
5 le0neg1 11668 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ต))
65anbi2d 630 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†” (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต)))
74, 6orbi12d 918 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0)) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง -๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต))))
87adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0)) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง -๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต))))
9 renegcl 11469 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
10 mulge0b 12030 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท -๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง -๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต))))
119, 10sylan2 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท -๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง -๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต))))
12 recn 11146 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 recn 11146 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14 mulneg2 11597 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
1514breq2d 5118 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท -๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(๐ด ยท ๐ต)))
1612, 13, 15syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท -๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(๐ด ยท ๐ต)))
178, 11, 163bitr2rd 308 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค -(๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0))))
182, 17bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195  -cneg 11391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by:  mulsuble0b  12032  addmodlteq  13857  colinearalglem4  27900  reclt0d  43708
  Copyright terms: Public domain W3C validator