Theorem subge0 11661

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subge0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		leaddsub 11624	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
6	2	recnd 11171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	addlidd 11345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
8	7	breq1d 5089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
9	5, 8	bitr3d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   ≤ cle 11178   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  subge0i  11701  subge0d  11738  mulsuble0b  12026  znn0sub  12572  uzsubsubfz  13498  difelfzle  13593  difelfznle  13594  fracge0  13761  modge0  13836  2submod  13892  expnbnd  14192  pfxccatin12lem2  14691  swrdccat  14695  repswswrd  14744  cshwidxmod  14763  abssubge0  15288  blcvx  24788  iirev  24921  iihalf2  24925  ovolfsf  25463  cosq14ge0  26500  sinord  26523  resinf1o  26525  ang180lem2  26799  acosbnd  26889  ftalem5  27065  mumullem2  27168  rpvmasumlem  27475  dchrisum0flblem1  27496  brbtwn2  28999  colinearalglem4  29003  ax5seglem3  29025  resconn  35481  fz0n  35966  sin2h  37984  cos2h  37985  tan2h  37986  ftc1anclem5  38071  dvasin  38078  jm2.23  43448  subsubelfzo0  47797  m1modmmod  47834  gpgedgvtx1  48560