MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ldiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldiv 11997
Description: Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ldiv.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
ldiv.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
ldiv.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
ldiv.bn0 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
ldiv (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem ldiv
StepHypRef Expression
1 oveq1 7368 . . 3 ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = (๐ถ / ๐ต))
2 ldiv.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 ldiv.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 ldiv.bn0 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
52, 3, 4divcan4d 11945 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
65eqeq1d 2735 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
71, 6imbitrid 243 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†’ ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
8 oveq1 7368 . . 3 (๐ด = (๐ถ / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต))
9 ldiv.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
109, 3, 4divcan1d 11940 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ถ)
1110eqeq2d 2744 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ))
128, 11imbitrid 243 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (๐ถ / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ))
137, 12impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   ยท cmul 11064   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  rdiv  11998  mdiv  11999  dvdszzq  31767  aks4d1p1p7  40581  aks4d1p1p5  40582
  Copyright terms: Public domain W3C validator