Theorem ldiv 12070

Description: Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ldiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ldiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ldiv.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ldiv	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵))
2		ldiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ldiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ldiv.bn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	divcan4d 12018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqeq1d 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
7	1, 6	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
8		oveq1 7421	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
9		ldiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9, 3, 4	divcan1d 12013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
11	10	eqeq2d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
12	8, 11	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
13	7, 12	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  0cc0 11130   · cmul 11135   / cdiv 11893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894

This theorem is referenced by:  rdiv  12071  mdiv  12072  dvdszzq  16684  aks4d1p1p7  41482  aks4d1p1p5  41483  cxp112d  41834