Theorem ldiv 12084

Description: Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ldiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ldiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ldiv.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ldiv	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7431	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵))
2		ldiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ldiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ldiv.bn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	divcan4d 12032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqeq1d 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
7	1, 6	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
8		oveq1 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
9		ldiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9, 3, 4	divcan1d 12027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
11	10	eqeq2d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
12	8, 11	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
13	7, 12	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  0cc0 11144   · cmul 11149   / cdiv 11907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908

This theorem is referenced by:  rdiv  12085  mdiv  12086  dvdszzq  16698  aks4d1p1p7  41549  aks4d1p1p5  41550  cxp112d  41915