MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ldiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldiv 12047
Description: Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ldiv.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
ldiv.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
ldiv.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
ldiv.bn0 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
ldiv (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem ldiv
StepHypRef Expression
1 oveq1 7415 . . 3 ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = (๐ถ / ๐ต))
2 ldiv.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 ldiv.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 ldiv.bn0 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
52, 3, 4divcan4d 11995 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
65eqeq1d 2734 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
71, 6imbitrid 243 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†’ ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
8 oveq1 7415 . . 3 (๐ด = (๐ถ / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต))
9 ldiv.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
109, 3, 4divcan1d 11990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ถ)
1110eqeq2d 2743 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ))
128, 11imbitrid 243 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (๐ถ / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ))
137, 12impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   ยท cmul 11114   / cdiv 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  rdiv  12048  mdiv  12049  dvdszzq  32016  aks4d1p1p7  40934  aks4d1p1p5  40935
  Copyright terms: Public domain W3C validator