Theorem ldiv 12045

Description: Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ldiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ldiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ldiv.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ldiv	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7408	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵))
2		ldiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ldiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ldiv.bn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	divcan4d 11993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqeq1d 2726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
7	1, 6	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
8		oveq1 7408	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
9		ldiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9, 3, 4	divcan1d 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
11	10	eqeq2d 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
12	8, 11	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
13	7, 12	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111   / cdiv 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869

This theorem is referenced by:  rdiv  12046  mdiv  12047  dvdszzq  16656  aks4d1p1p7  41432  aks4d1p1p5  41433