Theorem ldiv 12019

Description: Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ldiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ldiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ldiv.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ldiv	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7398	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵))
2		ldiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ldiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ldiv.bn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	divcan4d 11967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
7	1, 6	imbitrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))
8		oveq1 7398	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
9		ldiv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9, 3, 4	divcan1d 11962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
11	10	eqeq2d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
12	8, 11	imbitrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 / 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐶))
13	7, 12	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   · cmul 11072   / cdiv 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839

This theorem is referenced by:  rdiv  12020  mdiv  12021  dvdszzq  16747  constrrtll  33989  aks4d1p1p7  42652  aks4d1p1p5  42653  cxp112d  42911