MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 24488
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 11378 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 24431 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 11388 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 11405 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 10852 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 11080 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 10342 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 15079 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 11399 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 15094 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 10342 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 10339 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 15130 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2838 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 11382 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 11401 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 11055 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 11043 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 11368 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 6887 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 11046 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 11070 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2844 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 24485 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1578 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 24432 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11073 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 11460 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 11389 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 11069 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2839 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6414 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2837 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11073 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mulid2i 10333 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 6889 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2835 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6414 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2837 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2835 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mulid2i 10333 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2838 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 10335 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 24433 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 11229 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 11486 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 11377 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 11398 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 11197 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1578 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 221 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 10330 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 24437 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 10373 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 10373 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 12437 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 585 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 675 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1434 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 24471 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 475 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 10852 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 458 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 10953 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1578 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 221 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 11146 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 11381 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 11400 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 14348 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 10342 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 13174 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 10448 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 14341 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 13186 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 6889 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2835 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6414 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 14342 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 11221 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 675 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 11080 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 14340 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 11385 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 11403 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 11046 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 6887 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 458 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 11009 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1578 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 3p1e4 11439 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
10496, 25, 18subadd2i 10657 . . . . . . . . 9 ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4)
105103, 104mpbir 222 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
106105oveq1i 6887 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
107102, 106eqtr3i 2837 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10896, 97reccli 11043 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10913sqcli 13170 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
11076oveq1i 6887 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1111, 10sqrecii 13172 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11285oveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
113110, 111, 1123eqtri 2839 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
114113oveq1i 6887 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
115 sincossq 15129 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1167, 115ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
117114, 116eqtr3i 2837 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11825, 108, 109, 117subaddrii 10658 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11999, 107, 1183eqtr3ri 2844 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
120119fveq2i 6414 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
12160, 12, 70ltleii 10448 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12212sqrtsqi 14340 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
123121, 122ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
124120, 123eqtr3i 2837 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12588, 95, 1243eqtr3ri 2844 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12676, 125pm3.2i 458 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985   class class class wbr 4851  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554   / cdiv 10972  2c2 11359  3c3 11360  4c4 11361  6c6 11363  (,)cioo 12396  cexp 13086  csqrt 14199  sincsin 15017  cosccos 15018  πcpi 15020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-sin 15023  df-cos 15024  df-pi 15026  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  24489  1cubrlem  24788  pigt3  33717
  Copyright terms: Public domain W3C validator