MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 25028
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 11700 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 24971 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 11715 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 11735 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 11164 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 11395 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 10643 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 15467 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 11729 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 15482 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 10643 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 10640 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 15518 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2844 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 11706 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 11731 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 11370 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 11358 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 11689 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 7155 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 11361 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 11385 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2850 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 25025 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1452 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 24972 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11388 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 11791 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 7156 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 11716 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 11384 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2845 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6666 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2843 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11388 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mulid2i 10634 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6666 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2843 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2841 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mulid2i 10634 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2844 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 10636 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 24973 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 11545 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 11809 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 11699 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 11514 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1452 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 231 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 24977 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 10675 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 10675 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 12767 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1333 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 25011 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 486 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 11164 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 471 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 11266 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1452 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 231 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 11461 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 11705 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 11730 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 14730 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 10643 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 13536 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 10751 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 14723 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 13548 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 7157 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2841 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6666 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 14724 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 11537 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 688 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 11395 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 14722 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 11710 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 11733 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 11361 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 7155 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 11322 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1452 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 4m1e3 11754 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
104103oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105102, 104eqtr3i 2843 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10696, 97reccli 11358 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10713sqcli 13532 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
10876oveq1i 7155 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1091, 10sqrecii 13534 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11085oveq2i 7156 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111108, 109, 1103eqtri 2845 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112111oveq1i 7155 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113 sincossq 15517 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1147, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115112, 114eqtr3i 2843 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11625, 106, 107, 115subaddrii 10963 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11799, 105, 1163eqtr3ri 2850 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118117fveq2i 6666 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
11960, 12, 70ltleii 10751 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12012sqrtsqi 14722 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121119, 120ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122118, 121eqtr3i 2843 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12388, 95, 1223eqtr3ri 2850 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12476, 123pm3.2i 471 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  (,)cioo 12726  cexp 13417  csqrt 14580  sincsin 15405  cosccos 15406  πcpi 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  25029  pigt3  25030  1cubrlem  25346
  Copyright terms: Public domain W3C validator