Theorem sincos6thpi 26493

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12247	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		pire 26434	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
3		6re 12262	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
4		6pos 12282	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 6
5	3, 4	gt0ne0ii 11677	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
6	2, 3, 5	redivcli 11913	. . . . 5 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
7	6	recni 11150	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
8		sincl 16084	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10		2ne0 12276	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
11		recoscl 16099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
13	12	recni 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
14	1, 9, 13	mulassi 11147	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15		sin2t 16135	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
17	14, 16	eqtr4i 2763	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18		3cn 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		3ne0 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
20	1, 18, 19	divcli 11888	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
21	18, 19	reccli 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
22		df-3 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
23	22	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
24	18, 19	dividi 11879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = 1
25		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	1, 25, 18, 19	divdiri 11903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	23, 24, 26	3eqtr3ri 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28		sincosq1eq 26489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
29	20, 21, 27, 28	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30		picn 26435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
31	1, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 11906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32		3t2e6 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
33	32	oveq2i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34		6cn 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
35	1, 30, 34, 5	divassi 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
36	31, 33, 35	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
37	36	fveq2i 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
38	29, 37	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
39	25, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 11906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
40	30	mullidi 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
41	40, 32	oveq12i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
42	39, 41	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
43	42	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
44	38, 43	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
45	17, 44	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
46	13	mullidi 11141	. . . . 5 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
47	45, 46	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
48	1, 9	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49		pipos 26436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
50	2, 3, 49, 4	divgt0ii 12064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 6)
51		2lt6 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 6
52		2re 12246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
53		2pos 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
54	52, 53	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55	3, 4	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
56	2, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57		ltdiv2 12033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
58	54, 55, 56, 57	mp3an 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
59	51, 58	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
60		0re 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		halfpire 26441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
62		rexr 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63		rexr 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64		elioo2 13330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
65	62, 63, 64	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
66	60, 61, 65	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
67	6, 50, 59, 66	mpbir3an 1343	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68		sincosq1sgn 26475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
70	69	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
71	12, 70	gt0ne0ii 11677	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 6)) ≠ 0
72	13, 71	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73		mulcan2 11779	. . . . 5 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
74	48, 25, 72, 73	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
75	47, 74	mpbi 230	. . 3 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
76	1, 9, 10, 75	mvllmuli 11979	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77		3re 12252	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3pos 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
79	77, 78	sqrtpclii 15336	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
80	79	recni 11150	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
81	80, 1, 10	sqdivi 14138	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
82	60, 77, 78	ltleii 11260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
83	77	sqsqrti 15329	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
85		sq2 14150	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
86	84, 85	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
87	81, 86	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
88	87	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
89	77	sqrtge0i 15330	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
90	82, 89	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
91	79, 52	divge0i 12056	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
92	90, 53, 91	mp2an 693	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
93	79, 52, 10	redivcli 11913	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
94	93	sqrtsqi 15328	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
95	92, 94	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96		4cn 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
97		4ne0 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
98	96, 97	dividi 11879	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
99	98	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
100	96, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101		divsubdir 11839	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
102	96, 25, 100, 101	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103		4m1e3 12296	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
104	103	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105	102, 104	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
106	96, 97	reccli 11876	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
107	13	sqcli 14134	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
108	76	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
109	1, 10	sqrecii 14136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
110	85	oveq2i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111	108, 109, 110	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112	111	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113		sincossq 16134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
114	7, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115	112, 114	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
116	25, 106, 107, 115	subaddrii 11474	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
117	99, 105, 116	3eqtr3ri 2769	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118	117	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
119	60, 12, 70	ltleii 11260	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
120	12	sqrtsqi 15328	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121	119, 120	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122	118, 121	eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
123	88, 95, 122	3eqtr3ri 2769	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
124	76, 123	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  6c6 12231  (,)cioo 13289  ↑cexp 14014  √csqrt 15186  sincsin 16019  cosccos 16020  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  26494  pigt3  26495  1cubrlem  26818  asin1half  42803