Theorem sincos6thpi 26657

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12315	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		pire 26595	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
3		6re 12330	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
4		6pos 12353	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 6
5	3, 4	gt0ne0ii 11749	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
6	2, 3, 5	redivcli 11981	. . . . 5 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
7	6	recni 11222	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
8		sincl 16181	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10		2ne0 12346	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
11		recoscl 16196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
13	12	recni 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
14	1, 9, 13	mulassi 11219	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15		sin2t 16232	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
17	14, 16	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18		3cn 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		3ne0 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
20	1, 18, 19	divcli 11956	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
21	18, 19	reccli 11944	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
22		df-3 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
23	22	oveq1i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
24	18, 19	dividi 11947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = 1
25		ax-1cn 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	1, 25, 18, 19	divdiri 11971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	23, 24, 26	3eqtr3ri 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28		sincosq1eq 26653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
29	20, 21, 27, 28	mp3an 1488	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30		picn 26597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
31	1, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32		3t2e6 12405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
33	32	oveq2i 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34		6cn 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
35	1, 30, 34, 5	divassi 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
36	31, 33, 35	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
37	36	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
38	29, 37	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
39	25, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
40	30	mullidi 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
41	40, 32	oveq12i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
42	39, 41	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
43	42	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
44	38, 43	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
45	17, 44	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
46	13	mullidi 11213	. . . . 5 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
47	45, 46	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
48	1, 9	mulcli 11215	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49		pipos 26599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
50	2, 3, 49, 4	divgt0ii 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 6)
51		2lt6 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 6
52		2re 12314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
53		2pos 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
54	52, 53	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55	3, 4	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
56	2, 49	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57		ltdiv2 12100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
58	54, 55, 56, 57	mp3an 1488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
59	51, 58	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
60		0re 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		halfpire 26605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
62		rexr 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63		rexr 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64		elioo2 13412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
65	62, 63, 64	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
66	60, 61, 65	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
67	6, 50, 59, 66	mpbir3an 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68		sincosq1sgn 26639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
70	69	simpri 490	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
71	12, 70	gt0ne0ii 11749	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 6)) ≠ 0
72	13, 71	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73		mulcan2 11851	. . . . 5 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
74	48, 25, 72, 73	mp3an 1488	. . . 4 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
75	47, 74	mpbi 233	. . 3 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
76	1, 9, 10, 75	mvllmuli 12047	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77		3re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3pos 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
79	77, 78	sqrtpclii 15433	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
80	79	recni 11222	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
81	80, 1, 10	sqdivi 14220	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
82	60, 77, 78	ltleii 11332	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
83	77	sqsqrti 15426	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
85		sq2 14232	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
86	84, 85	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
87	81, 86	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
88	87	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
89	77	sqrtge0i 15427	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
90	82, 89	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
91	79, 52	divge0i 12123	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
92	90, 53, 91	mp2an 704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
93	79, 52, 10	redivcli 11981	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
94	93	sqrtsqi 15425	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
95	92, 94	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96		4cn 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
97		4ne0 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
98	96, 97	dividi 11947	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
99	98	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
100	96, 97	pm3.2i 475	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101		divsubdir 11907	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
102	96, 25, 100, 101	mp3an 1488	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103		4m1e3 12368	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
104	103	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105	102, 104	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
106	96, 97	reccli 11944	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
107	13	sqcli 14216	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
108	76	oveq1i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
109	1, 10	sqrecii 14218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
110	85	oveq2i 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111	108, 109, 110	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112	111	oveq1i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113		sincossq 16231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
114	7, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115	112, 114	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
116	25, 106, 107, 115	subaddrii 11546	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
117	99, 105, 116	3eqtr3ri 2793	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118	117	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
119	60, 12, 70	ltleii 11332	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
120	12	sqrtsqi 15425	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121	119, 120	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122	118, 121	eqtr3i 2786	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
123	88, 95, 122	3eqtr3ri 2793	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
124	76, 123	pm3.2i 475	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  6c6 12298  (,)cioo 13371  ↑cexp 14096  √csqrt 15283  sincsin 16116  cosccos 16117  πcpi 16119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  26658  pigt3  26659  1cubrlem  26982  asin1half  43064