MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 26558
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 12341 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 26500 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 12356 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 12376 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 11799 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 12034 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 11275 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 16162 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 12370 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 16177 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 11275 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 11272 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 16213 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2768 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 12347 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 12372 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 12009 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 11997 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 12330 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 12000 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 12024 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2774 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 26554 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1463 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 26501 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 12027 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 12432 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 12357 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 12023 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2769 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 12027 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mullidi 11266 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6909 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2767 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mullidi 11266 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2768 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 11268 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 26502 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 12185 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 12450 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 12340 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 12154 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 26506 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 11307 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 11307 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1342 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 26540 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 485 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 11799 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 470 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 11901 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1463 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 230 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 12100 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 12346 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 12371 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 15421 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 11275 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 14224 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 11384 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 15414 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 14236 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 7443 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2765 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6909 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 15415 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 12177 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 692 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 12034 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 15413 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 12351 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 12374 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 12000 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 7441 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 11961 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1463 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 4m1e3 12395 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
104103oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105102, 104eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10696, 97reccli 11997 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10713sqcli 14220 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
10876oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1091, 10sqrecii 14222 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11085oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111108, 109, 1103eqtri 2769 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112111oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113 sincossq 16212 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1147, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115112, 114eqtr3i 2767 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11625, 106, 107, 115subaddrii 11598 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11799, 105, 1163eqtr3ri 2774 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118117fveq2i 6909 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
11960, 12, 70ltleii 11384 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12012sqrtsqi 15413 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121119, 120ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122118, 121eqtr3i 2767 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12388, 95, 1223eqtr3ri 2774 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12476, 123pm3.2i 470 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  (,)cioo 13387  cexp 14102  csqrt 15272  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  26559  pigt3  26560  1cubrlem  26884  asin1half  42387
  Copyright terms: Public domain W3C validator