MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 26032
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 12289 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 25975 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 12304 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 12324 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 11752 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 11983 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 11230 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 16071 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 12318 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 16086 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 11230 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 11227 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 16122 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2763 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 12295 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 12320 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 11958 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 11946 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 12278 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 11949 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 11973 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2769 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 26029 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1461 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 25976 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11976 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 12380 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 12305 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 11972 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2762 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11976 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mullidi 11221 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 7423 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2760 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6894 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2762 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2760 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mullidi 11221 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2763 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 11223 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 25977 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 12133 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 12398 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 12288 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 12102 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 11218 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 25981 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 11262 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 13367 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1341 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 26015 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 486 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 11752 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 471 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 11854 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1461 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 229 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 12049 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 12294 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 12319 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 15331 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 11230 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 14151 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 11339 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 15324 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 14163 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 7423 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2760 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6894 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 15325 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 12125 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 690 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 11983 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 15323 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 12299 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 12322 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 11949 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 7421 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 11910 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1461 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 4m1e3 12343 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
104103oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105102, 104eqtr3i 2762 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10696, 97reccli 11946 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10713sqcli 14147 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
10876oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1091, 10sqrecii 14149 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11085oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111108, 109, 1103eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112111oveq1i 7421 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113 sincossq 16121 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1147, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115112, 114eqtr3i 2762 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11625, 106, 107, 115subaddrii 11551 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11799, 105, 1163eqtr3ri 2769 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118117fveq2i 6894 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
11960, 12, 70ltleii 11339 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12012sqrtsqi 15323 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121119, 120ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122118, 121eqtr3i 2762 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12388, 95, 1223eqtr3ri 2769 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12476, 123pm3.2i 471 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  *cxr 11249   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  6c6 12273  (,)cioo 13326  cexp 14029  csqrt 15182  sincsin 16009  cosccos 16010  πcpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  26033  pigt3  26034  1cubrlem  26353
  Copyright terms: Public domain W3C validator