MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 25112
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 11704 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 25055 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 11719 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 11739 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 11169 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 11400 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 10648 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 15475 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 11733 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 15490 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 10648 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 10645 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 15526 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2827 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 11710 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 11735 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 11375 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 11363 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 11693 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 11366 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 11390 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2833 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 25109 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1458 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 25056 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11393 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 11795 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 7150 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 11720 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 11389 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2828 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6652 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2826 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11393 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mulid2i 10639 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 7151 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2824 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6652 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2826 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2824 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mulid2i 10639 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2827 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 10641 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 25057 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 11550 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 11813 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 11703 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 11519 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 233 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 10636 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 25061 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 10680 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 12771 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1338 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 25095 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 489 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 11169 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 474 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 11271 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1458 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 233 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 11466 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 11709 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 11734 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 14738 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 10648 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 13548 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 10756 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 14731 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 13560 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 7151 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2824 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6652 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 14732 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 11542 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 691 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 11400 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 14730 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 11714 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 11737 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 11366 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 7149 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 474 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 11327 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1458 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 4m1e3 11758 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
104103oveq1i 7149 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105102, 104eqtr3i 2826 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10696, 97reccli 11363 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10713sqcli 13544 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
10876oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1091, 10sqrecii 13546 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11085oveq2i 7150 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111108, 109, 1103eqtri 2828 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112111oveq1i 7149 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113 sincossq 15525 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1147, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115112, 114eqtr3i 2826 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11625, 106, 107, 115subaddrii 10968 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11799, 105, 1163eqtr3ri 2833 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118117fveq2i 6652 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
11960, 12, 70ltleii 10756 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12012sqrtsqi 14730 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121119, 120ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122118, 121eqtr3i 2826 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12388, 95, 1223eqtr3ri 2833 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12476, 123pm3.2i 474 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  6c6 11688  (,)cioo 12730  cexp 13429  csqrt 14588  sincsin 15413  cosccos 15414  πcpi 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  25113  pigt3  25114  1cubrlem  25431
  Copyright terms: Public domain W3C validator