MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 26025
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 12287 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 25968 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 12302 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 12322 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 11750 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 11981 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 11228 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 16069 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 12316 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 16084 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 11228 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 11225 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 16120 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2764 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 12293 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 12318 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 11956 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 11944 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 12276 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 7419 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 11947 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 11971 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2770 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 26022 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1462 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 25969 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11974 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 12378 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 7420 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 12303 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 11970 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 11974 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 7421 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6895 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2763 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2761 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mullidi 11219 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2764 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 11221 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 25970 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 12131 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 12396 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 12286 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 12100 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 25974 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 11260 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 11260 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 13365 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1342 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 26008 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 487 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 11750 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 472 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 11852 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1462 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 229 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 12047 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 12292 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 12317 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 15329 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 11228 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 14149 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 11337 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 15322 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 14161 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 7421 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2761 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6895 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 15323 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 12123 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 691 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 11981 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 15321 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 12297 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 12320 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 11947 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 7419 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 11908 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1462 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 4m1e3 12341 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
104103oveq1i 7419 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105102, 104eqtr3i 2763 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10696, 97reccli 11944 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10713sqcli 14145 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
10876oveq1i 7419 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1091, 10sqrecii 14147 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11085oveq2i 7420 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111108, 109, 1103eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112111oveq1i 7419 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113 sincossq 16119 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1147, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115112, 114eqtr3i 2763 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11625, 106, 107, 115subaddrii 11549 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11799, 105, 1163eqtr3ri 2770 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118117fveq2i 6895 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
11960, 12, 70ltleii 11337 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12012sqrtsqi 15321 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121119, 120ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122118, 121eqtr3i 2763 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12388, 95, 1223eqtr3ri 2770 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12476, 123pm3.2i 472 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  6c6 12271  (,)cioo 13324  cexp 14027  csqrt 15180  sincsin 16007  cosccos 16008  πcpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  26026  pigt3  26027  1cubrlem  26346
  Copyright terms: Public domain W3C validator