Theorem sincos6thpi 26472

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12211	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		pire 26413	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
3		6re 12226	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
4		6pos 12246	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 6
5	3, 4	gt0ne0ii 11664	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
6	2, 3, 5	redivcli 11899	. . . . 5 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
7	6	recni 11137	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
8		sincl 16042	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10		2ne0 12240	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
11		recoscl 16057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
13	12	recni 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
14	1, 9, 13	mulassi 11134	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15		sin2t 16093	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
17	14, 16	eqtr4i 2759	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18		3cn 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		3ne0 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
20	1, 18, 19	divcli 11874	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
21	18, 19	reccli 11862	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
22		df-3 12200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
23	22	oveq1i 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
24	18, 19	dividi 11865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = 1
25		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	1, 25, 18, 19	divdiri 11889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	23, 24, 26	3eqtr3ri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28		sincosq1eq 26468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
29	20, 21, 27, 28	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30		picn 26414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
31	1, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32		3t2e6 12297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
33	32	oveq2i 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34		6cn 12227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
35	1, 30, 34, 5	divassi 11888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
36	31, 33, 35	3eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
37	36	fveq2i 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
38	29, 37	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
39	25, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 11892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
40	30	mullidi 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
41	40, 32	oveq12i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
42	39, 41	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
43	42	fveq2i 6834	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
44	38, 43	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
45	17, 44	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
46	13	mullidi 11128	. . . . 5 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
47	45, 46	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
48	1, 9	mulcli 11130	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49		pipos 26415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
50	2, 3, 49, 4	divgt0ii 12050	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 6)
51		2lt6 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 6
52		2re 12210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
53		2pos 12239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
54	52, 53	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55	3, 4	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
56	2, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57		ltdiv2 12019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
58	54, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
59	51, 58	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
60		0re 11125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		halfpire 26420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
62		rexr 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63		rexr 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64		elioo2 13293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
65	62, 63, 64	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
66	60, 61, 65	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
67	6, 50, 59, 66	mpbir3an 1342	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68		sincosq1sgn 26454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
70	69	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
71	12, 70	gt0ne0ii 11664	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 6)) ≠ 0
72	13, 71	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73		mulcan2 11766	. . . . 5 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
74	48, 25, 72, 73	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
75	47, 74	mpbi 230	. . 3 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
76	1, 9, 10, 75	mvllmuli 11965	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77		3re 12216	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3pos 12241	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
79	77, 78	sqrtpclii 15297	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
80	79	recni 11137	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
81	80, 1, 10	sqdivi 14099	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
82	60, 77, 78	ltleii 11247	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
83	77	sqsqrti 15290	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
85		sq2 14111	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
86	84, 85	oveq12i 7367	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
87	81, 86	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
88	87	fveq2i 6834	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
89	77	sqrtge0i 15291	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
90	82, 89	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
91	79, 52	divge0i 12042	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
92	90, 53, 91	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
93	79, 52, 10	redivcli 11899	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
94	93	sqrtsqi 15289	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
95	92, 94	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96		4cn 12221	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
97		4ne0 12244	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
98	96, 97	dividi 11865	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
99	98	oveq1i 7365	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
100	96, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101		divsubdir 11826	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
102	96, 25, 100, 101	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103		4m1e3 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
104	103	oveq1i 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
105	102, 104	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
106	96, 97	reccli 11862	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
107	13	sqcli 14095	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
108	76	oveq1i 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
109	1, 10	sqrecii 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
110	85	oveq2i 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
111	108, 109, 110	3eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
112	111	oveq1i 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
113		sincossq 16092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
114	7, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
115	112, 114	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
116	25, 106, 107, 115	subaddrii 11461	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
117	99, 105, 116	3eqtr3ri 2765	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
118	117	fveq2i 6834	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
119	60, 12, 70	ltleii 11247	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
120	12	sqrtsqi 15289	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
121	119, 120	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
122	118, 121	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
123	88, 95, 122	3eqtr3ri 2765	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
124	76, 123	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355   / cdiv 11785  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  6c6 12195  (,)cioo 13252  ↑cexp 13975  √csqrt 15147  sincsin 15977  cosccos 15978  πcpi 15980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  26473  pigt3  26474  1cubrlem  26798  asin1half  42527