Theorem n0ssold 28321

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the old set of ω. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssold	⊢ ℕ0s ⊆ ( O ‘ω)

Proof of Theorem n0ssold

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0sbday 28320	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝑛) ∈ ω)
2		omelon 9689	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
3		n0sno 28296	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → 𝑛 ∈ No )
4		oldbday 27924	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑛 ∈ No ) → (𝑛 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑛) ∈ ω))
5	2, 3, 4	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (𝑛 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑛) ∈ ω))
6	1, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → 𝑛 ∈ ( O ‘ω))
7	6	ssriv 3983	1 ⊢ ℕ0s ⊆ ( O ‘ω)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  Oncon0 6376  ‘cfv 6554  ωcom 7876   No csur 27669   bday cbday 27671   O cold 27867  ℕ_0scnn0s 28286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-nadd 8696  df-no 27672  df-slt 27673  df-bday 27674  df-sle 27775  df-sslt 27811  df-scut 27813  df-0s 27854  df-1s 27855  df-made 27871  df-old 27872  df-left 27874  df-right 27875  df-norec 27952  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-negs 28031  df-subs 28032  df-n0s 28288

This theorem is referenced by: (None)