Theorem n0ssoldg 28512

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the old set of ω. To avoid the axiom of infinity, we include it as an antecedent. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssoldg	⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Proof of Theorem n0ssoldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28482	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ No )
2		n0bday 28511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝑥) ∈ ω)
3	1, 2	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → (𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon2 7875	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)
5		oldbday 28060	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	5	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
7	6	ex 417	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
9	8	impd 415	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω) → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
10	3, 9	syl5 35	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
11	10	ssrdv 3949	1 ⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  ωcom 7862   No csur 27770   bday cbday 27772   O cold 27982  ℕ_0scn0s 28471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-nadd 8652  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919  df-0s 27966  df-1s 27967  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989  df-right 27990  df-norec 28097  df-norec2 28108  df-adds 28119  df-negs 28180  df-subs 28181  df-n0s 28473

This theorem is referenced by:  n0ssold  28513  oldfib  28536