Theorem n0ssoldg 28351

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the old set of ω. To avoid the axiom of infinity, we include it as an antecedent. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssoldg	⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Proof of Theorem n0ssoldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28321	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ No )
2		n0bday 28350	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝑥) ∈ ω)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → (𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon2 7821	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)
5		oldbday 27899	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	5	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
7	6	ex 412	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
9	8	impd 410	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω) → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
10	3, 9	syl5 34	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
11	10	ssrdv 3939	1 ⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  ωcom 7808   No csur 27609   bday cbday 27611   O cold 27821  ℕ_0scn0s 28310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-no 27612  df-lts 27613  df-bday 27614  df-les 27715  df-slts 27756  df-cuts 27758  df-0s 27805  df-1s 27806  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828  df-right 27829  df-norec 27936  df-norec2 27947  df-adds 27958  df-negs 28019  df-subs 28020  df-n0s 28312

This theorem is referenced by:  n0ssold  28352  oldfib  28375