Theorem n0ssoldg 28557

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the old set of ω. To avoid the axiom of infinity, we include it as an antecedent. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssoldg	⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Proof of Theorem n0ssoldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28527	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ No )
2		n0bday 28556	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝑥) ∈ ω)
3	1, 2	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → (𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon2 7873	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)
5		oldbday 28105	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	5	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
7	6	ex 417	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
9	8	impd 415	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω) → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
10	3, 9	syl5 35	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
11	10	ssrdv 3942	1 ⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  ωcom 7860   No csur 27815   bday cbday 27817   O cold 28027  ℕ_0scn0s 28516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-nadd 8650  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-les 27920  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-0s 28011  df-1s 28012  df-made 28031  df-old 28032  df-left 28034  df-right 28035  df-norec 28142  df-norec2 28153  df-adds 28164  df-negs 28225  df-subs 28226  df-n0s 28518

This theorem is used by:  n0ssold  28558  oldfib  28581