Theorem n0ssoldg 28616

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the old set of ω. To avoid the axiom of infinity, we include it as an antecedent. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssoldg	⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Proof of Theorem n0ssoldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28586	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ No )
2		n0bday 28615	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝑥) ∈ ω)
3	1, 2	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → (𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon2 7878	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)
5		oldbday 28164	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	5	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
9	8	impd 416	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω) → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
10	3, 9	syl5 35	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
11	10	ssrdv 3940	1 ⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  ωcom 7865   No csur 27874   bday cbday 27876   O cold 28086  ℕ_0scn0s 28575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27877  df-lts 27878  df-bday 27879  df-les 27979  df-slts 28021  df-cuts 28023  df-0s 28070  df-1s 28071  df-made 28090  df-old 28091  df-left 28093  df-right 28094  df-norec 28201  df-norec2 28212  df-adds 28223  df-negs 28284  df-subs 28285  df-n0s 28577

This theorem is used by:  n0ssold  28617  oldfib  28640