Theorem n0ssoldg 28366

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the old set of ω. To avoid the axiom of infinity, we include it as an antecedent. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssoldg	⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Proof of Theorem n0ssoldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28336	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ No )
2		n0bday 28365	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝑥) ∈ ω)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → (𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon2 7833	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)
5		oldbday 27914	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	5	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
7	6	ex 412	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ No → (( bday ‘𝑥) ∈ ω → 𝑥 ∈ ( O ‘ω))))
9	8	impd 410	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝑥 ∈ No ∧ ( bday ‘𝑥) ∈ ω) → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
10	3, 9	syl5 34	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
11	10	ssrdv 3941	1 ⊢ (ω ∈ V → ℕ0s ⊆ ( O ‘ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  Oncon0 6327  ‘cfv 6502  ωcom 7820   No csur 27624   bday cbday 27626   O cold 27836  ℕ_0scn0s 28325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-nadd 8606  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27730  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-0s 27820  df-1s 27821  df-made 27840  df-old 27841  df-left 27843  df-right 27844  df-norec 27951  df-norec2 27962  df-adds 27973  df-negs 28034  df-subs 28035  df-n0s 28327

This theorem is referenced by:  n0ssold  28367  oldfib  28390