MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsf1o 28087
Description: Surreal negation is a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
negsf1o -us : No 1-1-onto No

Proof of Theorem negsf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negsf 28085 . . 3 -us : No No
2 negs11 28082 . . . . 5 ((𝑥 No 𝑦 No ) → (( -us𝑥) = ( -us𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
32biimpd 229 . . . 4 ((𝑥 No 𝑦 No ) → (( -us𝑥) = ( -us𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
43rgen2 3198 . . 3 𝑥 No 𝑦 No (( -us𝑥) = ( -us𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
5 dff13 7276 . . 3 ( -us : No 1-1 No ↔ ( -us : No No ∧ ∀𝑥 No 𝑦 No (( -us𝑥) = ( -us𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
61, 4, 5mpbir2an 711 . 2 -us : No 1-1 No
7 negsfo 28086 . 2 -us : No onto No
8 df-f1o 6567 . 2 ( -us : No 1-1-onto No ↔ ( -us : No 1-1 No ∧ -us : No onto No ))
96, 7, 8mpbir2an 711 1 -us : No 1-1-onto No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wf 6556  1-1wf1 6557  ontowfo 6558  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560   No csur 27685   -us cnegs 28052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8705  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sle 27791  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-0s 27870  df-made 27887  df-old 27888  df-left 27890  df-right 27891  df-norec 27972  df-norec2 27983  df-adds 27994  df-negs 28054
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator