Theorem negsidd 28264

Description: Surreal addition of a number and its negative. Theorem 4(iii) of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negsidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negsidd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )

Proof of Theorem negsidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negsid 28263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   No csur 27833   0_s c0s 28027   +_s cadds 28181   -u_s cnegs 28241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-nadd 8654  df-no 27836  df-lts 27837  df-bday 27838  df-les 27938  df-slts 27980  df-cuts 27982  df-0s 28029  df-made 28049  df-old 28050  df-left 28052  df-right 28053  df-norec 28160  df-norec2 28171  df-adds 28182  df-negs 28243

This theorem is used by:  negnegs  28266  negsdi  28272  mulnegs1d  28382  zsoring  28631  pw2divsnegd  28671