Theorem negnegs 27498

Description: A surreal is equal to the negative of its negative. Theorem 4(ii) of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negnegs	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem negnegs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 27490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	negsidd 27496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐴))) = 0s )
3	1	negscld 27491	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	3, 1	addscomd 27431	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
5		negsid 27495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
6	2, 4, 5	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
8	3, 7, 1	addscan2d 27462	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴))
9	6, 8	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   No csur 27123   0_s c0s 27303   +_s cadds 27423   -u_s cnegs 27474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27126  df-slt 27127  df-bday 27128  df-sle 27228  df-sslt 27263  df-scut 27265  df-0s 27305  df-made 27322  df-old 27323  df-left 27325  df-right 27326  df-norec 27402  df-norec2 27413  df-adds 27424  df-negs 27476

This theorem is referenced by:  sltneg  27499  negs11  27503  negsfo  27507  negsbday  27511  negsubsdi2d  27527  mul2negsd  27597