Theorem negnegs 28036

Description: A surreal is equal to the negative of its negative. Theorem 4(ii) of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negnegs	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem negnegs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	negsidd 28034	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐴))) = 0s )
3	1	negscld 28029	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	3, 1	addscomd 27959	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
5		negsid 28033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
6	2, 4, 5	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
8	3, 7, 1	addscan2d 27991	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴))
9	6, 8	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   No csur 27603   0_s c0s 27797   +_s cadds 27951   -u_s cnegs 28011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013

This theorem is referenced by:  ltnegs  28037  negs11  28041  negsfo  28045  negbday  28049  negleft  28050  negright  28051  negsubsdi2d  28072  mul2negsd  28154  absnegs  28239  abslts  28241  onsbnd2  28274  zcuts0  28400  zseo  28414  z12negsclb  28473  renegscl  28490