Theorem negnegs 28114

Description: A surreal is equal to the negative of its negative. Theorem 4(ii) of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negnegs	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem negnegs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	negsidd 28112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐴))) = 0s )
3	1	negscld 28107	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	3, 1	addscomd 28037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
5		negsid 28111	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
6	2, 4, 5	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
8	3, 7, 1	addscan2d 28069	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((( -us ‘( -us ‘𝐴)) +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴))
9	6, 8	mpbid 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   No csur 27681   0_s c0s 27875   +_s cadds 28029   -u_s cnegs 28089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-1o 8432  df-2o 8433  df-nadd 8631  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-les 27786  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-0s 27877  df-made 27897  df-old 27898  df-left 27900  df-right 27901  df-norec 28008  df-norec2 28019  df-adds 28030  df-negs 28091

This theorem is referenced by:  ltnegs  28115  negs11  28119  negsfo  28123  negbday  28127  negleft  28128  negright  28129  negsubsdi2d  28150  mul2negsd  28232  absnegs  28317  abslts  28319  onsbnd2  28352  zcuts0  28478  zseo  28492  z12negsclb  28551  renegscl  28568