Theorem negsex 28051

Description: Every surreal has a negative. Note that this theorem, addscl 27989, addscom 27974, addsass 28013, addsrid 27972, and ltadds1im 27993 are the ordered Abelian group axioms. However, the surreals cannot be said to be an ordered Abelian group because No is a proper class. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negsex	⊢ (𝐴 ∈ No → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 +s 𝑥) = 0s )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2		negsid 28049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ( -us ‘𝐴) → (𝐴 +s 𝑥) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
4	3	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑥 = ( -us ‘𝐴) → ((𝐴 +s 𝑥) = 0s ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s ))
5	4	rspcev 3578	. 2 ⊢ ((( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s ) → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 +s 𝑥) = 0s )
6	1, 2, 5	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 +s 𝑥) = 0s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   No csur 27619   0_s c0s 27813   +_s cadds 27967   -u_s cnegs 28027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-nadd 8604  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-les 27725  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815  df-made 27835  df-old 27836  df-left 27838  df-right 27839  df-norec 27946  df-norec2 27957  df-adds 27968  df-negs 28029

This theorem is referenced by: (None)