Theorem negsex 28035

Description: Every surreal has a negative. Note that this theorem, addscl 27973, addscom 27958, addsass 27997, addsrid 27956, and ltadds1im 27977 are the ordered Abelian group axioms. However, the surreals cannot be said to be an ordered Abelian group because No is a proper class. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negsex	⊢ (𝐴 ∈ No → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 +s 𝑥) = 0s )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28028	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2		negsid 28033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ( -us ‘𝐴) → (𝐴 +s 𝑥) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
4	3	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑥 = ( -us ‘𝐴) → ((𝐴 +s 𝑥) = 0s ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s ))
5	4	rspcev 3565	. 2 ⊢ ((( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s ) → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 +s 𝑥) = 0s )
6	1, 2, 5	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 +s 𝑥) = 0s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   No csur 27603   0_s c0s 27797   +_s cadds 27951   -u_s cnegs 28011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013

This theorem is referenced by: (None)