Theorem pw2divsnegd 28377

Description: Move negative sign inside of a power of two division. (Contributed by Scott Fenton, 8-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsnegd	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Proof of Theorem pw2divsnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsnegd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsnegd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3	1, 2	pw2divscld 28367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
4	3	negsidd 27989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) = 0s )
5		2sno 28347	. . . . . . . 8 ⊢ 2s ∈ No
6		expscl 28359	. . . . . . . 8 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7	5, 2, 6	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8		muls01 28056	. . . . . . 7 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
10	1	negsidd 27989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
11	9, 10	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1	negscld 27984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
13	1, 12	addscld 27928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
14		0sno 27776	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
16	13, 15, 2	pw2divsmuld 28368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴))))
17	11, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s )
18	1, 12, 2	pw2divsdird 28376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))))
19	4, 17, 18	3eqtr2rd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
20	12, 2	pw2divscld 28367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
21	3	negscld 27984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
22	20, 21, 3	addscan1d 27948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
23	19, 22	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))))
24	23	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   No csur 27585   0_s c0s 27772   +_s cadds 27907   -u_s cnegs 27966   ·_s cmuls 28050   /_su cdivs 28131  ℕ_0scnn0s 28247  2_sc2s 28338  ↑_scexps 28340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-nadd 8607  df-no 27588  df-slt 27589  df-bday 27590  df-sle 27691  df-sslt 27728  df-scut 27730  df-0s 27774  df-1s 27775  df-made 27793  df-old 27794  df-left 27796  df-right 27797  df-norec 27886  df-norec2 27897  df-adds 27908  df-negs 27968  df-subs 27969  df-muls 28051  df-divs 28132  df-seqs 28219  df-n0s 28249  df-nns 28250  df-zs 28308  df-2s 28339  df-exps 28341

This theorem is referenced by:  zs12negscl  28391