Theorem pw2divsnegd 28722

Description: Move negative sign inside of a power of two division. (Contributed by Scott Fenton, 8-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsnegd	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Proof of Theorem pw2divsnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsnegd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsnegd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3	1, 2	pw2divscld 28712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
4	3	negsidd 28315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) = 0s )
5		2no 28692	. . . . . . . 8 ⊢ 2s ∈ No
6		expscl 28704	. . . . . . . 8 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7	5, 2, 6	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8		muls01 28385	. . . . . . 7 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
10	1	negsidd 28315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
11	9, 10	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1	negscld 28310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
13	1, 12	addscld 28253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
14		0no 28082	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
16	13, 15, 2	pw2divmulsd 28713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴))))
17	11, 16	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s )
18	1, 12, 2	pw2divsdird 28721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))))
19	4, 17, 18	3eqtr2rd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
20	12, 2	pw2divscld 28712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
21	3	negscld 28310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
22	20, 21, 3	addscan1d 28273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
23	19, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))))
24	23	eqcomd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   No csur 27884   0_s c0s 28078   +_s cadds 28232   -u_s cnegs 28292   ·_s cmuls 28379   /_su cdivs 28460  ℕ_0scn0s 28585  2_sc2s 28683  ↑_scexps 28685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-1s 28081  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-subs 28295  df-muls 28380  df-divs 28461  df-seqs 28557  df-n0s 28587  df-nns 28588  df-zs 28652  df-2s 28684  df-exps 28686

This theorem is used by:  z12negscl  28751