Theorem pw2divsnegd 28544

Description: Move negative sign inside of a power of two division. (Contributed by Scott Fenton, 8-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsnegd	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Proof of Theorem pw2divsnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsnegd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsnegd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3	1, 2	pw2divscld 28534	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
4	3	negsidd 28137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) = 0s )
5		2no 28514	. . . . . . . 8 ⊢ 2s ∈ No
6		expscl 28526	. . . . . . . 8 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7	5, 2, 6	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8		muls01 28207	. . . . . . 7 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
10	1	negsidd 28137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
11	9, 10	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1	negscld 28132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
13	1, 12	addscld 28075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
14		0no 27904	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
16	13, 15, 2	pw2divmulsd 28535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴))))
17	11, 16	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s )
18	1, 12, 2	pw2divsdird 28543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))))
19	4, 17, 18	3eqtr2rd 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
20	12, 2	pw2divscld 28534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
21	3	negscld 28132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
22	20, 21, 3	addscan1d 28095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
23	19, 22	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))))
24	23	eqcomd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   No csur 27706   0_s c0s 27900   +_s cadds 28054   -u_s cnegs 28114   ·_s cmuls 28201   /_su cdivs 28282  ℕ_0scn0s 28407  2_sc2s 28505  ↑_scexps 28507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-nadd 8638  df-no 27709  df-lts 27710  df-bday 27711  df-les 27811  df-slts 27853  df-cuts 27855  df-0s 27902  df-1s 27903  df-made 27922  df-old 27923  df-left 27925  df-right 27926  df-norec 28033  df-norec2 28044  df-adds 28055  df-negs 28116  df-subs 28117  df-muls 28202  df-divs 28283  df-seqs 28379  df-n0s 28409  df-nns 28410  df-zs 28474  df-2s 28506  df-exps 28508

This theorem is referenced by:  z12negscl  28573