Theorem pw2divsnegd 28768

Description: Move negative sign inside of a power of two division. (Contributed by Scott Fenton, 8-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsnegd	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Proof of Theorem pw2divsnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsnegd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsnegd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3	1, 2	pw2divscld 28758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
4	3	negsidd 28361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) = 0s )
5		2no 28738	. . . . . . . 8 ⊢ 2s ∈ No
6		expscl 28750	. . . . . . . 8 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7	5, 2, 6	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8		muls01 28431	. . . . . . 7 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
10	1	negsidd 28361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
11	9, 10	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1	negscld 28356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
13	1, 12	addscld 28299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
14		0no 28128	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
16	13, 15, 2	pw2divmulsd 28759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴))))
17	11, 16	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s )
18	1, 12, 2	pw2divsdird 28767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))))
19	4, 17, 18	3eqtr2rd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
20	12, 2	pw2divscld 28758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
21	3	negscld 28356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
22	20, 21, 3	addscan1d 28319	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
23	19, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))))
24	23	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   No csur 27930   0_s c0s 28124   +_s cadds 28278   -u_s cnegs 28338   ·_s cmuls 28425   /_su cdivs 28506  ℕ_0scn0s 28631  2_sc2s 28729  ↑_scexps 28731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-nadd 8653  df-no 27933  df-lts 27934  df-bday 27935  df-les 28035  df-slts 28077  df-cuts 28079  df-0s 28126  df-1s 28127  df-made 28146  df-old 28147  df-left 28149  df-right 28150  df-norec 28257  df-norec2 28268  df-adds 28279  df-negs 28340  df-subs 28341  df-muls 28426  df-divs 28507  df-seqs 28603  df-n0s 28633  df-nns 28634  df-zs 28698  df-2s 28730  df-exps 28732

This theorem is used by:  z12negscl  28797