Theorem pw2divsnegd 28622

Description: Move negative sign inside of a power of two division. (Contributed by Scott Fenton, 8-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsnegd	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Proof of Theorem pw2divsnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsnegd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsnegd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3	1, 2	pw2divscld 28612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
4	3	negsidd 28215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) = 0s )
5		2no 28592	. . . . . . . 8 ⊢ 2s ∈ No
6		expscl 28604	. . . . . . . 8 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7	5, 2, 6	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8		muls01 28285	. . . . . . 7 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
10	1	negsidd 28215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
11	9, 10	eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1	negscld 28210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
13	1, 12	addscld 28153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
14		0no 27982	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
16	13, 15, 2	pw2divmulsd 28613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴))))
17	11, 16	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = 0s )
18	1, 12, 2	pw2divsdird 28621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))))
19	4, 17, 18	3eqtr2rd 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
20	12, 2	pw2divscld 28612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
21	3	negscld 28210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
22	20, 21, 3	addscan1d 28173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
23	19, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)) = ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))))
24	23	eqcomd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = (( -us ‘𝐴) /su (2s↑s𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   No csur 27784   0_s c0s 27978   +_s cadds 28132   -u_s cnegs 28192   ·_s cmuls 28279   /_su cdivs 28360  ℕ_0scn0s 28485  2_sc2s 28583  ↑_scexps 28585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-nadd 8655  df-no 27787  df-lts 27788  df-bday 27789  df-les 27889  df-slts 27931  df-cuts 27933  df-0s 27980  df-1s 27981  df-made 28000  df-old 28001  df-left 28003  df-right 28004  df-norec 28111  df-norec2 28122  df-adds 28133  df-negs 28194  df-subs 28195  df-muls 28280  df-divs 28361  df-seqs 28457  df-n0s 28487  df-nns 28488  df-zs 28552  df-2s 28584  df-exps 28586

This theorem is referenced by:  z12negscl  28651