MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnegs1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulnegs1d 28200
Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulnegs1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulnegs1d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
mulnegs1d (๐œ‘ โ†’ (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต) = ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต)))

Proof of Theorem mulnegs1d
StepHypRef Expression
1 mulnegs1d.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
21negsidd 28088 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +s ( -us โ€˜๐ด)) = 0s )
32oveq1d 7445 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +s ( -us โ€˜๐ด)) ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต))
41negscld 28083 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( -us โ€˜๐ด) โˆˆ No )
5 mulnegs1d.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
61, 4, 5addsdird 28197 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +s ( -us โ€˜๐ด)) ยทs ๐ต) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต)))
7 muls02 28181 . . . . 5 (๐ต โˆˆ No โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
85, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
93, 6, 83eqtr3d 2782 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต)) = 0s )
101, 5mulscld 28175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1110negsidd 28088 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต))) = 0s )
129, 11eqtr4d 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต)) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต))))
134, 5mulscld 28175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1410negscld 28083 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) โˆˆ No )
1513, 14, 10addscan1d 28047 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) +s (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต)) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต))) โ†” (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต) = ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต))))
1612, 15mpbid 232 1 (๐œ‘ โ†’ (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐ต) = ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1536   โˆˆ wcel 2105  โ€˜cfv 6562  (class class class)co 7430   No csur 27698   0s c0s 27881   +s cadds 28006   -us cnegs 28065   ยทs cmuls 28146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8702  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703  df-sle 27804  df-sslt 27840  df-scut 27842  df-0s 27883  df-made 27900  df-old 27901  df-left 27903  df-right 27904  df-norec 27985  df-norec2 27996  df-adds 28007  df-negs 28067  df-subs 28068  df-muls 28147
This theorem is referenced by:  mulnegs2d  28201  mul2negsd  28202  precsexlem9  28253  recsex  28257  absmuls  28282
  Copyright terms: Public domain W3C validator