Theorem mulnegs1d 28603

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
mulnegs1d	⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2	1	negsidd 28485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -s‘𝐴)) = 0s )
3	2	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) ·s 𝐵) = ( 0s ·s 𝐵))
4	1	negscld 28480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐴) ∈ No)
5		mulnegs1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
6	1, 4, 5	addsdird 28600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) ·s 𝐵) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)))
7		muls02 28584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)) = 0s )
10	1, 5	mulscld 28578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
11	10	negsidd 28485	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))) = 0s )
12	9, 11	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))))
13	4, 5	mulscld 28578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) ∈ No)
14	10	negscld 28480	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵)) ∈ No)
15	13, 14, 10	addscan1d 28443	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))) ↔ (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))))
16	12, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   0_s c0s 28248   +_s cadds 28402   -_scnegs 28462   ·_s cmuls 28549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465  df-muls 28550

This theorem is used by:  mulnegs2d  28604  mul2negsd  28605  precsexlem9  28658  recsex  28662  absmuls  28687