Theorem mulnegs1d 28097

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulnegs1d	⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	negsidd 27982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3	2	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ( 0s ·s 𝐵))
4	1	negscld 27977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
5		mulnegs1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6	1, 4, 5	addsdird 28094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)))
7		muls02 28078	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = 0s )
10	1, 5	mulscld 28072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10	negsidd 27982	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) = 0s )
12	9, 11	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
13	4, 5	mulscld 28072	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) ∈ No )
14	10	negscld 27977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)) ∈ No )
15	13, 14, 10	addscan1d 27941	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) ↔ (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
16	12, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   No csur 27576   0_s c0s 27764   +_s cadds 27900   -u_s cnegs 27959   ·_s cmuls 28043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27579  df-slt 27580  df-bday 27581  df-sle 27682  df-sslt 27719  df-scut 27721  df-0s 27766  df-made 27786  df-old 27787  df-left 27789  df-right 27790  df-norec 27879  df-norec2 27890  df-adds 27901  df-negs 27961  df-subs 27962  df-muls 28044

This theorem is referenced by:  mulnegs2d  28098  mul2negsd  28099  precsexlem9  28151  recsex  28155  absmuls  28180