Theorem mulnegs1d 27975

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulnegs1d	⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	negsidd 27869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3	2	oveq1d 7416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ( 0s ·s 𝐵))
4	1	negscld 27864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
5		mulnegs1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6	1, 4, 5	addsdird 27972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)))
7		muls02 27956	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = 0s )
10	1, 5	mulscld 27950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10	negsidd 27869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) = 0s )
12	9, 11	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
13	4, 5	mulscld 27950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) ∈ No )
14	10	negscld 27864	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)) ∈ No )
15	13, 14, 10	addscan1d 27832	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) ↔ (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
16	12, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   No csur 27488   0_s c0s 27670   +_s cadds 27791   -u_s cnegs 27847   ·_s cmuls 27921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sle 27593  df-sslt 27629  df-scut 27631  df-0s 27672  df-made 27689  df-old 27690  df-left 27692  df-right 27693  df-norec 27770  df-norec2 27781  df-adds 27792  df-negs 27849  df-subs 27850  df-muls 27922

This theorem is referenced by:  mulnegs2d  27976  mul2negsd  27977  precsexlem9  28028  recsex  28032  absmuls  28053