Theorem mulnegs1d 28186

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulnegs1d	⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	negsidd 28074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3	2	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ( 0s ·s 𝐵))
4	1	negscld 28069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
5		mulnegs1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6	1, 4, 5	addsdird 28183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)))
7		muls02 28167	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = 0s )
10	1, 5	mulscld 28161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10	negsidd 28074	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) = 0s )
12	9, 11	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
13	4, 5	mulscld 28161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) ∈ No )
14	10	negscld 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)) ∈ No )
15	13, 14, 10	addscan1d 28033	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) ↔ (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
16	12, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   No csur 27684   0_s c0s 27867   +_s cadds 27992   -u_s cnegs 28051   ·_s cmuls 28132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-muls 28133

This theorem is referenced by:  mulnegs2d  28187  mul2negsd  28188  precsexlem9  28239  recsex  28243  absmuls  28268