Theorem mulnegs1d 27544

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulnegs1d	⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	negsidd 27445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
3	2	oveq1d 7409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ( 0s ·s 𝐵))
4	1	negscld 27440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
5		mulnegs1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6	1, 4, 5	addsdird 27541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) ·s 𝐵) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)))
7		muls02 27526	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = 0s )
10	1, 5	mulscld 27520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10	negsidd 27445	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) = 0s )
12	9, 11	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
13	4, 5	mulscld 27520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) ∈ No )
14	10	negscld 27440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)) ∈ No )
15	13, 14, 10	addscan1d 27412	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) ↔ (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
16	12, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394   No csur 27072   0_s c0s 27252   +_s cadds 27372   -u_s cnegs 27423   ·_s cmuls 27491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-1o 8450  df-2o 8451  df-nadd 8650  df-no 27075  df-slt 27076  df-bday 27077  df-sle 27177  df-sslt 27212  df-scut 27214  df-0s 27254  df-made 27271  df-old 27272  df-left 27274  df-right 27275  df-norec 27351  df-norec2 27362  df-adds 27373  df-negs 27425  df-subs 27426  df-muls 27492

This theorem is referenced by:  mulnegs2d  27545  mul2negsd  27546  precsexlem9  27590  recsex  27594