Theorem mulnegs1d 28555

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
mulnegs1d	⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2	1	negsidd 28437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -s‘𝐴)) = 0s )
3	2	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) ·s 𝐵) = ( 0s ·s 𝐵))
4	1	negscld 28432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐴) ∈ No)
5		mulnegs1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
6	1, 4, 5	addsdird 28552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) ·s 𝐵) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)))
7		muls02 28536	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐵) = 0s )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)) = 0s )
10	1, 5	mulscld 28530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
11	10	negsidd 28437	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))) = 0s )
12	9, 11	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))))
13	4, 5	mulscld 28530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) ∈ No)
14	10	negscld 28432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵)) ∈ No)
15	13, 14, 10	addscan1d 28395	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) ·s 𝐵)) = ((𝐴 ·s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))) ↔ (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵))))
16	12, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ·s 𝐵) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Nocsur 28006   0_s c0s 28200   +_s cadds 28354   -_scnegs 28414   ·_s cmuls 28501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-1o 8484  df-2o 8485  df-nadd 8683  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-les 28111  df-slts 28153  df-cuts 28155  df-0s 28202  df-made 28222  df-old 28223  df-left 28225  df-right 28226  df-norec 28333  df-norec2 28344  df-adds 28355  df-negs 28416  df-subs 28417  df-muls 28502

This theorem is used by:  mulnegs2d  28556  mul2negsd  28557  precsexlem9  28610  recsex  28614  absmuls  28639