Theorem nn0mnfxrd 32824

Description: Nonnegative integers or minus infinity are extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnfxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
nn0mnfxrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nn0mnfxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		mnfxr 11202	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2824	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		nn0mnfxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
9		elunsn 4627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞)))
10	9	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
12	3, 7, 11	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887  {csn 4567  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33722