Theorem nn0mnfxrd 33036

Description: Nonnegative integers or minus infinity are extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnfxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
nn0mnfxrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nn0mnfxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12512	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		mnfxr 11265	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		nn0mnfxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
9		elunsn 4654	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞)))
10	9	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
11	8, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
12	3, 7, 11	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {csn 4594  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241  ℕ₀cn0 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-nn 12233  df-n0 12504

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33912