Theorem nn0mnfxrd 33096

Description: Nonnegative integers or minus infinity are extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnfxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
nn0mnfxrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nn0mnfxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12508	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		mnfxr 11261	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		nn0mnfxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
9		elunsn 4649	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞)))
10	9	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
11	8, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
12	3, 7, 11	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  {csn 4589  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237  ℕ₀cn0 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-nn 12229  df-n0 12500

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33968