Theorem nn0mnfxrd 32812

Description: Nonnegative integers or minus infinity are extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnfxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
nn0mnfxrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nn0mnfxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		mnfxr 11191	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2823	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		nn0mnfxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
9		elunsn 4617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞)))
10	9	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
12	3, 7, 11	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3883  {csn 4557  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167  ℕ₀cn0 12426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-nn 12164  df-n0 12427

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33710