Theorem nn0mnfxrd 32839

Description: Nonnegative integers or minus infinity are extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnfxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
nn0mnfxrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nn0mnfxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12437	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		mnfxr 11193	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		nn0mnfxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
9		elunsn 4628	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞)))
10	9	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = -∞))
12	3, 7, 11	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  {csn 4568  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33737