MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnadjuALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnadjuALT 10192
Description: Shorter proof of nnadju 10191 using ax-rep 5278. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nnadjuALT ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))

Proof of Theorem nnadjuALT
StepHypRef Expression
1 nnon 7857 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ On)
2 nnon 7857 . . . 4 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ 𝐡 ∈ On)
3 onadju 10187 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On) β†’ (𝐴 +o 𝐡) β‰ˆ (𝐴 βŠ” 𝐡))
41, 2, 3syl2an 595 . . 3 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝐡) β‰ˆ (𝐴 βŠ” 𝐡))
5 carden2b 9961 . . 3 ((𝐴 +o 𝐡) β‰ˆ (𝐴 βŠ” 𝐡) β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)))
7 nnacl 8609 . . 3 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝐡) ∈ Ο‰)
8 cardnn 9957 . . 3 ((𝐴 +o 𝐡) ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
106, 9eqtr3d 2768 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  Oncon0 6357  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Ο‰com 7851   +o coa 8461   β‰ˆ cen 8935   βŠ” cdju 9892  cardccrd 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator