Theorem nnadjuALT 10284

Description: Shorter proof of nnadju 10283 using ax-rep 5231. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nnadjuALT	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadjuALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		nnon 7887	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
3		onadju 10279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
5		carden2b 10055	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)))
7		nnacl 8628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
8		cardnn 10051	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
10	6, 9	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  Oncon0 6365  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ωcom 7881   +_o coa 8481   ≈ cen 8978   ⊔ cdju 9986  cardccrd 10023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027

This theorem is used by: (None)