MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnneo 8654
Description: If a natural number is even, its successor is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnneo ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))

Proof of Theorem nnneo
StepHypRef Expression
1 nnon 7861 . . . 4 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
2 onnbtwn 6459 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
433ad2ant1 1134 . 2 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
5 suceq 6431 . . . . 5 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ suc ๐ถ = suc (2o ยทo ๐ด))
65eqeq1d 2735 . . . 4 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
763ad2ant3 1136 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
8 ovex 7442 . . . . . . . 8 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ V
98sucid 6447 . . . . . . 7 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด)
10 eleq2 2823 . . . . . . 7 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
119, 10mpbii 232 . . . . . 6 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต))
12 2onn 8641 . . . . . . . 8 2o โˆˆ ฯ‰
13 nnmord 8632 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง 2o โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
1412, 13mp3an3 1451 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
15 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1614, 15syl6bir 254 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
1711, 16syl5 34 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
18 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต))
19 nnmcl 8612 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰)
2012, 19mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰)
21 nnon 7861 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
22 oa1suc 8531 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
24 1oex 8476 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o โˆˆ V
2524sucid 6447 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ suc 1o
26 df-2o 8467 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
2725, 26eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ 2o
28 1onn 8639 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ ฯ‰
29 nnaord 8619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1o โˆˆ ฯ‰ โˆง 2o โˆˆ ฯ‰ โˆง (2o ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
3028, 12, 20, 29mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
3127, 30mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
32 nnmsuc 8607 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3312, 32mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3431, 33eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3523, 34eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3718, 36eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
38 peano2 7881 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ด โˆˆ ฯ‰)
39 nnmord 8632 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง 2o โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4012, 39mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4138, 40sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4241ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4342adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4437, 43mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o))
4544simpld 496 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด)
4645ex 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
4717, 46jcad 514 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
48473adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
497, 48sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
504, 49mtod 197 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4323  Oncon0 6365  suc csuc 6367  (class class class)co 7409  ฯ‰com 7855  1oc1o 8459  2oc2o 8460   +o coa 8463   ยทo comu 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471
This theorem is referenced by:  nneob  8655
  Copyright terms: Public domain W3C validator