Theorem nnzsubs 28326

Description: The difference of two surreal positive integers is an integer. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnzsubs	⊢ ((𝐴 ∈ ℕs ∧ 𝐵 ∈ ℕs) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ ℤs)

Proof of Theorem nnzsubs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 -s 𝐵)
2		rspceov 7463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕs ∧ 𝐵 ∈ ℕs ∧ (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 -s 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs (𝐴 -s 𝐵) = (𝑥 -s 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕs ∧ 𝐵 ∈ ℕs) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs (𝐴 -s 𝐵) = (𝑥 -s 𝑦))
4		elzs 28325	. 2 ⊢ ((𝐴 -s 𝐵) ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs (𝐴 -s 𝐵) = (𝑥 -s 𝑦))
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕs ∧ 𝐵 ∈ ℕs) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  (class class class)co 7414   -_s csubs 28007  ℕ_scnns 28274  ℤ_sczs 28319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-nadd 8687  df-no 27642  df-slt 27643  df-bday 27644  df-sslt 27781  df-scut 27783  df-0s 27824  df-1s 27825  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec2 27937  df-adds 27948  df-subs 28009  df-n0s 28275  df-nns 28276  df-zs 28320

This theorem is referenced by:  zaddscl  28335