MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzs 28387
Description: A positive surreal integer is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
nnzs (𝐴 ∈ ℕs𝐴 ∈ ℤs)

Proof of Theorem nnzs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nns 28368 . . 3 (𝐴 ∈ ℕs → (𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs)
2 nnsno 28344 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕs𝐴 No )
3 1sno 27887 . . . . 5 1s No
4 pncans 28117 . . . . 5 ((𝐴 No ∧ 1s No ) → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
52, 3, 4sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕs → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
65eqcomd 2741 . . 3 (𝐴 ∈ ℕs𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ))
7 1nns 28367 . . . 4 1s ∈ ℕs
8 rspceov 7480 . . . 4 (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
97, 8mp3an2 1448 . . 3 (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
101, 6, 9syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℕs → ∃𝑥 ∈ ℕs𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
11 elzs 28385 . 2 (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
1210, 11sylibr 234 1 (𝐴 ∈ ℕs𝐴 ∈ ℤs)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  (class class class)co 7431   No csur 27699   1s c1s 27883   +s cadds 28007   -s csubs 28067  scnns 28334  sczs 28379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-n0s 28335  df-nns 28336  df-zs 28380
This theorem is referenced by:  nnzsd  28388  n0zs  28390  expsnnval  28424  zs12bday  28439
  Copyright terms: Public domain W3C validator