Theorem nnzs 28344

Description: A positive surreal integer is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnzs	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℤs)

Proof of Theorem nnzs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nns 28310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → (𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs)
2		nnsno 28285	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ No )
3		1sno 27798	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4		pncans 28041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ))
7		1nns 28309	. . . 4 ⊢ 1s ∈ ℕs
8		rspceov 7405	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs ∧ 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
10	1, 6, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
11		elzs 28342	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
12	10, 11	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  (class class class)co 7356   No csur 27605   1_s c1s 27794   +_s cadds 27929   -_s csubs 27989  ℕ_scnns 28274  ℤ_sczs 28336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8592  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750  df-0s 27795  df-1s 27796  df-made 27815  df-old 27816  df-left 27818  df-right 27819  df-norec 27908  df-norec2 27919  df-adds 27930  df-negs 27990  df-subs 27991  df-n0s 28275  df-nns 28276  df-zs 28337

This theorem is referenced by:  nnzsd  28345  n0zs  28347  expsnnval  28384  pw2cutp1  28418  zs12addscl  28426  zs12bday  28433