Theorem nnzs 28310

Description: A positive surreal integer is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnzs	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℤs)

Proof of Theorem nnzs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nns 28278	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → (𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs)
2		nnsno 28253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ No )
3		1sno 27771	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4		pncans 28012	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ))
7		1nns 28277	. . . 4 ⊢ 1s ∈ ℕs
8		rspceov 7395	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs ∧ 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) -s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
10	1, 6, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
11		elzs 28308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
12	10, 11	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346   No csur 27578   1_s c1s 27767   +_s cadds 27902   -_s csubs 27962  ℕ_scnns 28243  ℤ_sczs 28302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583  df-sle 27684  df-sslt 27721  df-scut 27723  df-0s 27768  df-1s 27769  df-made 27788  df-old 27789  df-left 27791  df-right 27792  df-norec 27881  df-norec2 27892  df-adds 27903  df-negs 27963  df-subs 27964  df-n0s 28244  df-nns 28245  df-zs 28303

This theorem is referenced by:  nnzsd  28311  n0zs  28313  expsnnval  28349  pw2cutp1  28381  zs12addscl  28387  zs12bday  28394