Theorem nnzs 28799

Description: A positive surreal integer is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnzs	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℤs)

Proof of Theorem nnzs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nns 28763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → (𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs)
2		nnno 28737	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ No)
3		1no 28223	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4		pncans 28485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No) → ((𝐴 +s 1s ) −s 1s ) = 𝐴)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ((𝐴 +s 1s ) −s 1s ) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) −s 1s ))
7		1nns 28762	. . . 4 ⊢ 1s ∈ ℕs
8		rspceov 7489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs ∧ 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) −s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 −s 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1479	. . 3 ⊢ (((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕs ∧ 𝐴 = ((𝐴 +s 1s ) −s 1s )) → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 −s 𝑦))
10	1, 6, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 −s 𝑦))
11		elzs 28797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 −s 𝑦))
12	10, 11	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℤs)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  (class class class)co 7440  Nocsur 28024   1_s c1s 28219   +_s cadds 28372   −_s csubs 28433  ℕ_scnns 28726  ℤ_sczs 28791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-nadd 8700  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-0s 28220  df-1s 28221  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244  df-norec 28351  df-norec2 28362  df-adds 28373  df-negs 28434  df-subs 28435  df-n0s 28727  df-nns 28728  df-zs 28792

This theorem is used by:  nnzsd  28800  n0zs  28802  expnnsval  28839  pw2cutp1  28874  z12addscl  28890