Theorem elzs 28279

Description: Membership in the set of surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elzs	⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28274	. . 3 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2	1	eleq2i 2821	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ 𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)))
3		subsfn 27937	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
4		nnssno 28222	. . . 4 ⊢ ℕs ⊆ No
5		xpss12 5656	. . . 4 ⊢ ((ℕs ⊆ No ∧ ℕs ⊆ No ) → (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No ))
6	4, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )
7		ovelimab 7570	. . 3 ⊢ (( -s Fn ( No × No ) ∧ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )) → (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦)))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
9	2, 8	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   × cxp 5639   “ cima 5644   Fn wfn 6509  (class class class)co 7390   No csur 27558   -_s csubs 27933  ℕ_scnns 28214  ℤ_sczs 28273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-nadd 8633  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-1s 27744  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-subs 27935  df-n0s 28215  df-nns 28216  df-zs 28274

This theorem is referenced by:  nnzsubs  28280  nnzs  28281  0zs  28283  znegscl  28287  zaddscl  28289  zmulscld  28292  elzn0s  28293  eln0zs  28295  zseo  28315