Theorem elzs 28370

Description: Membership in the set of surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elzs	⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28365	. . 3 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2	1	eleq2i 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ 𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)))
3		subsfn 28056	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
4		nnssno 28327	. . . 4 ⊢ ℕs ⊆ No
5		xpss12 5700	. . . 4 ⊢ ((ℕs ⊆ No ∧ ℕs ⊆ No ) → (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No ))
6	4, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )
7		ovelimab 7611	. . 3 ⊢ (( -s Fn ( No × No ) ∧ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )) → (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦)))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
9	2, 8	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   × cxp 5683   “ cima 5688   Fn wfn 6556  (class class class)co 7431   No csur 27684   -_s csubs 28052  ℕ_scnns 28319  ℤ_sczs 28364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-subs 28054  df-n0s 28320  df-nns 28321  df-zs 28365

This theorem is referenced by:  nnzsubs  28371  nnzs  28372  0zs  28374  znegscl  28378  zaddscl  28380  zmulscld  28383  elzn0s  28384  eln0zs  28386  zseo  28406