Theorem elzs 28478

Description: Membership in the set of surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elzs	⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28473	. . 3 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2	1	eleq2i 2855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ 𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)))
3		subsfn 28118	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
4		nnssno 28416	. . . 4 ⊢ ℕs ⊆ No
5		xpss12 5663	. . . 4 ⊢ ((ℕs ⊆ No ∧ ℕs ⊆ No ) → (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No ))
6	4, 4, 5	mp2an 702	. . 3 ⊢ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )
7		ovelimab 7575	. . 3 ⊢ (( -s Fn ( No × No ) ∧ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )) → (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦)))
8	3, 6, 7	mp2an 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
9	2, 8	bitri 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905   × cxp 5646   “ cima 5651   Fn wfn 6517  (class class class)co 7397   No csur 27705   -_s csubs 28114  ℕ_scnns 28407  ℤ_sczs 28472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-nadd 8637  df-no 27708  df-lts 27709  df-bday 27710  df-slts 27852  df-cuts 27854  df-0s 27901  df-1s 27902  df-made 27921  df-old 27922  df-left 27924  df-right 27925  df-norec2 28043  df-adds 28054  df-subs 28116  df-n0s 28408  df-nns 28409  df-zs 28473

This theorem is referenced by:  nnzsubs  28479  nnzs  28480  0zs  28482  znegscl  28486  zaddscl  28488  zmulscld  28491  elzn0s  28492  eln0zs  28494  zseo  28516