Theorem elzs 28312

Description: Membership in the set of surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elzs	⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28307	. . 3 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ 𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)))
3		subsfn 27970	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
4		nnssno 28255	. . . 4 ⊢ ℕs ⊆ No
5		xpss12 5646	. . . 4 ⊢ ((ℕs ⊆ No ∧ ℕs ⊆ No ) → (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No ))
6	4, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )
7		ovelimab 7547	. . 3 ⊢ (( -s Fn ( No × No ) ∧ (ℕs × ℕs) ⊆ ( No × No )) → (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦)))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
9	2, 8	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   × cxp 5629   “ cima 5634   Fn wfn 6494  (class class class)co 7369   No csur 27584   -_s csubs 27966  ℕ_scnns 28247  ℤ_sczs 28306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-nadd 8607  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27773  df-1s 27774  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec2 27896  df-adds 27907  df-subs 27968  df-n0s 28248  df-nns 28249  df-zs 28307

This theorem is referenced by:  nnzsubs  28313  nnzs  28314  0zs  28316  znegscl  28320  zaddscl  28322  zmulscld  28325  elzn0s  28326  eln0zs  28328  zseo  28349