Theorem zaddscl 28373

Description: The surreal integers are closed under addition. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddscl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐵 ∈ ℤs) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs)

Proof of Theorem zaddscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑧 ∈ ℕs (∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕs 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)))
2		reeanv 3209	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs (𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕs 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)))
3	2	2rexbii 3113	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑧 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs (𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑧 ∈ ℕs (∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕs 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)))
4		elzs 28363	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦))
5		elzs 28363	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤs ↔ ∃𝑧 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤))
6	4, 5	anbi12i 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐵 ∈ ℤs) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)))
7	1, 3, 6	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐵 ∈ ℤs) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑧 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs (𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)))
8		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑥 ∈ ℕs)
9	8	nnsnod 28307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑥 ∈ No )
10		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑧 ∈ ℕs)
11	10	nnsnod 28307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑧 ∈ No )
12		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑦 ∈ ℕs)
13	12	nnsnod 28307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑦 ∈ No )
14		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑤 ∈ ℕs)
15	14	nnsnod 28307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → 𝑤 ∈ No )
16	9, 11, 13, 15	addsubs4d 28083	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → ((𝑥 +s 𝑧) -s (𝑦 +s 𝑤)) = ((𝑥 -s 𝑦) +s (𝑧 -s 𝑤)))
17		nnaddscl 28326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) → (𝑥 +s 𝑧) ∈ ℕs)
18		nnaddscl 28326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs) → (𝑦 +s 𝑤) ∈ ℕs)
19		nnzsubs 28364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 +s 𝑧) ∈ ℕs ∧ (𝑦 +s 𝑤) ∈ ℕs) → ((𝑥 +s 𝑧) -s (𝑦 +s 𝑤)) ∈ ℤs)
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → ((𝑥 +s 𝑧) -s (𝑦 +s 𝑤)) ∈ ℤs)
21	16, 20	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → ((𝑥 -s 𝑦) +s (𝑧 -s 𝑤)) ∈ ℤs)
22		oveq12 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) → (𝐴 +s 𝐵) = ((𝑥 -s 𝑦) +s (𝑧 -s 𝑤)))
23	22	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) → ((𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs ↔ ((𝑥 -s 𝑦) +s (𝑧 -s 𝑤)) ∈ ℤs))
24	21, 23	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) ∧ (𝑦 ∈ ℕs ∧ 𝑤 ∈ ℕs)) → ((𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs))
25	24	rexlimdvva 3194	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕs ∧ 𝑧 ∈ ℕs) → (∃𝑦 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs (𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs))
26	25	rexlimivv 3179	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕs ∃𝑧 ∈ ℕs ∃𝑦 ∈ ℕs ∃𝑤 ∈ ℕs (𝐴 = (𝑥 -s 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 -s 𝑤)) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs)
27	7, 26	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐵 ∈ ℤs) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  (class class class)co 7360   +_s cadds 27941   -_s csubs 28002  ℕ_scnns 28294  ℤ_sczs 28357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sle 27717  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805  df-1s 27806  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828  df-right 27829  df-norec 27920  df-norec2 27931  df-adds 27942  df-negs 28003  df-subs 28004  df-n0s 28295  df-nns 28296  df-zs 28358

This theorem is referenced by:  zaddscld  28374  zsoring  28388  pw2cutp1  28440