MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfnq 10971
Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
halfnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem halfnq
StepHypRef Expression
1 distrnq 10956 . . . 4 (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
2 distrnq 10956 . . . . . . . 8 ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
3 1nq 10923 . . . . . . . . . . 11 1Q โˆˆ Q
4 addclnq 10940 . . . . . . . . . . 11 ((1Q โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q)
53, 3, 4mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q
6 recidnq 10960 . . . . . . . . . 10 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q
87, 7oveq12i 7421 . . . . . . . 8 (((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (1Q +Q 1Q)
92, 8eqtri 2761 . . . . . . 7 ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (1Q +Q 1Q)
109oveq1i 7419 . . . . . 6 (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
117oveq2i 7420 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q)
12 mulassnq 10954 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
13 mulcomnq 10948 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) = ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
1413oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
1512, 14eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
16 recclnq 10961 . . . . . . . . 9 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q)
17 addclnq 10940 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q)
1816, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q)
19 mulidnq 10958 . . . . . . . 8 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q โ†’ (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
205, 18, 19mp2b 10 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
2111, 15, 203eqtr3i 2769 . . . . . 6 (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
2210, 21, 73eqtr3i 2769 . . . . 5 ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q
2322oveq2i 7420 . . . 4 (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (๐ด ยทQ 1Q)
241, 23eqtr3i 2763 . . 3 ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (๐ด ยทQ 1Q)
25 mulidnq 10958 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)
2624, 25eqtrid 2785 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด)
27 ovex 7442 . . 3 (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ V
28 oveq12 7418 . . . . 5 ((๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))))
2928anidms 568 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))))
3029eqeq1d 2735 . . 3 (๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โ†’ ((๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด))
3127, 30spcev 3597 . 2 (((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
3226, 31syl 17 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Qcnq 10847  1Qc1q 10848   +Q cplq 10850   ยทQ cmq 10851  *Qcrq 10852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912
This theorem is referenced by:  nsmallnq  10972
  Copyright terms: Public domain W3C validator