MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfnq 10973
Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
halfnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem halfnq
StepHypRef Expression
1 distrnq 10958 . . . 4 (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
2 distrnq 10958 . . . . . . . 8 ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
3 1nq 10925 . . . . . . . . . . 11 1Q โˆˆ Q
4 addclnq 10942 . . . . . . . . . . 11 ((1Q โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q)
53, 3, 4mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q
6 recidnq 10962 . . . . . . . . . 10 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q
87, 7oveq12i 7423 . . . . . . . 8 (((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (1Q +Q 1Q)
92, 8eqtri 2760 . . . . . . 7 ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (1Q +Q 1Q)
109oveq1i 7421 . . . . . 6 (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
117oveq2i 7422 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q)
12 mulassnq 10956 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
13 mulcomnq 10950 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) = ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
1413oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
1512, 14eqtr3i 2762 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
16 recclnq 10963 . . . . . . . . 9 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q)
17 addclnq 10942 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q)
1816, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q)
19 mulidnq 10960 . . . . . . . 8 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q โ†’ (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
205, 18, 19mp2b 10 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
2111, 15, 203eqtr3i 2768 . . . . . 6 (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
2210, 21, 73eqtr3i 2768 . . . . 5 ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q
2322oveq2i 7422 . . . 4 (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (๐ด ยทQ 1Q)
241, 23eqtr3i 2762 . . 3 ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (๐ด ยทQ 1Q)
25 mulidnq 10960 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)
2624, 25eqtrid 2784 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด)
27 ovex 7444 . . 3 (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ V
28 oveq12 7420 . . . . 5 ((๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))))
2928anidms 567 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))))
3029eqeq1d 2734 . . 3 (๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โ†’ ((๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด))
3127, 30spcev 3596 . 2 (((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
3226, 31syl 17 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Qcnq 10849  1Qc1q 10850   +Q cplq 10852   ยทQ cmq 10853  *Qcrq 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914
This theorem is referenced by:  nsmallnq  10974
  Copyright terms: Public domain W3C validator