MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfnq 10919
Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
halfnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem halfnq
StepHypRef Expression
1 distrnq 10904 . . . 4 (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
2 distrnq 10904 . . . . . . . 8 ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
3 1nq 10871 . . . . . . . . . . 11 1Q โˆˆ Q
4 addclnq 10888 . . . . . . . . . . 11 ((1Q โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q)
53, 3, 4mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q
6 recidnq 10908 . . . . . . . . . 10 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q
87, 7oveq12i 7374 . . . . . . . 8 (((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (1Q +Q 1Q)
92, 8eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (1Q +Q 1Q)
109oveq1i 7372 . . . . . 6 (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
117oveq2i 7373 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q)
12 mulassnq 10902 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
13 mulcomnq 10896 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) = ((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
1413oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ (1Q +Q 1Q)) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
1512, 14eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ ((1Q +Q 1Q) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
16 recclnq 10909 . . . . . . . . 9 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q)
17 addclnq 10888 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q)
1816, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q)
19 mulidnq 10906 . . . . . . . 8 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ Q โ†’ (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))))
205, 18, 19mp2b 10 . . . . . . 7 (((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) ยทQ 1Q) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
2111, 15, 203eqtr3i 2773 . . . . . 6 (((1Q +Q 1Q) ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))
2210, 21, 73eqtr3i 2773 . . . . 5 ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) = 1Q
2322oveq2i 7373 . . . 4 (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)) +Q (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (๐ด ยทQ 1Q)
241, 23eqtr3i 2767 . . 3 ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = (๐ด ยทQ 1Q)
25 mulidnq 10906 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)
2624, 25eqtrid 2789 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด)
27 ovex 7395 . . 3 (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆˆ V
28 oveq12 7371 . . . . 5 ((๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))))
2928anidms 568 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))))
3029eqeq1d 2739 . . 3 (๐‘ฅ = (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) โ†’ ((๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด))
3127, 30spcev 3568 . 2 (((๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q))) +Q (๐ด ยทQ (*Qโ€˜(1Q +Q 1Q)))) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
3226, 31syl 17 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Qcnq 10795  1Qc1q 10796   +Q cplq 10798   ยทQ cmq 10799  *Qcrq 10800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860
This theorem is referenced by:  nsmallnq  10920
  Copyright terms: Public domain W3C validator