MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddnq 10133
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑠 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
2 oveq1 6931 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑦) = (𝐴 +Q 𝑦))
31, 2breq12d 4901 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦) ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑦)))
4 oveq2 6932 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 +Q 𝑦) = (𝐴 +Q 𝐵))
54breq2d 4900 . 2 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵)))
6 1lt2nq 10132 . . . . . . . 8 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
7 ltmnq 10131 . . . . . . . 8 (𝑦Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q (1Q +Q 1Q))))
86, 7mpbii 225 . . . . . . 7 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q (1Q +Q 1Q)))
9 mulidnq 10122 . . . . . . 7 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
10 distrnq 10120 . . . . . . . 8 (𝑦 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝑦 ·Q 1Q) +Q (𝑦 ·Q 1Q))
119, 9oveq12d 6942 . . . . . . . 8 (𝑦Q → ((𝑦 ·Q 1Q) +Q (𝑦 ·Q 1Q)) = (𝑦 +Q 𝑦))
1210, 11syl5eq 2826 . . . . . . 7 (𝑦Q → (𝑦 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝑦 +Q 𝑦))
138, 9, 123brtr3d 4919 . . . . . 6 (𝑦Q𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑦))
14 ltanq 10130 . . . . . 6 (𝑥Q → (𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑦) ↔ (𝑥 +Q 𝑦) <Q (𝑥 +Q (𝑦 +Q 𝑦))))
1513, 14syl5ib 236 . . . . 5 (𝑥Q → (𝑦Q → (𝑥 +Q 𝑦) <Q (𝑥 +Q (𝑦 +Q 𝑦))))
1615imp 397 . . . 4 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥 +Q 𝑦) <Q (𝑥 +Q (𝑦 +Q 𝑦)))
17 addcomnq 10110 . . . 4 (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
18 vex 3401 . . . . 5 𝑥 ∈ V
19 vex 3401 . . . . 5 𝑦 ∈ V
20 addcomnq 10110 . . . . 5 (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟)
21 addassnq 10117 . . . . 5 ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡))
2218, 19, 19, 20, 21caov12 7141 . . . 4 (𝑥 +Q (𝑦 +Q 𝑦)) = (𝑦 +Q (𝑥 +Q 𝑦))
2316, 17, 223brtr3g 4921 . . 3 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q (𝑥 +Q 𝑦)))
24 ltanq 10130 . . . 4 (𝑦Q → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦) ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q (𝑥 +Q 𝑦))))
2524adantl 475 . . 3 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦) ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q (𝑥 +Q 𝑦))))
2623, 25mpbird 249 . 2 ((𝑥Q𝑦Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
273, 5, 26vtocl2ga 3476 1 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  Qcnq 10011  1Qc1q 10012   +Q cplq 10014   ·Q cmq 10015   <Q cltq 10017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ni 10031  df-pli 10032  df-mi 10033  df-lti 10034  df-plpq 10067  df-mpq 10068  df-ltpq 10069  df-enq 10070  df-nq 10071  df-erq 10072  df-plq 10073  df-mq 10074  df-1nq 10075  df-ltnq 10077
This theorem is referenced by:  ltexnq  10134  nsmallnq  10136  ltbtwnnq  10137  prlem934  10192  ltaddpr  10193  ltexprlem2  10196  ltexprlem4  10198
  Copyright terms: Public domain W3C validator