Theorem addnqf 10373

Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnqf	⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10355	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		addpqf 10369	. . . 4 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6534	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10350	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3974	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5573	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 690	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6547	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 690	. 2 ⊢ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-plq 10339	. . 3 ⊢ +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6508	. 2 ⊢ ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 233	1 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Syntax hints:   ⊆ wss 3939   × cxp 5556   ↾ cres 5560   ∘ ccom 5562  ⟶wf 6354  Ncnpi 10269   +_pQ cplpq 10273  Qcnq 10277  [Q]cerq 10279   +_Q cplq 10280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-ni 10297  df-pli 10298  df-mi 10299  df-lti 10300  df-plpq 10333  df-enq 10336  df-nq 10337  df-erq 10338  df-plq 10339  df-1nq 10341

This theorem is referenced by:  addcomnq  10376  adderpq  10381  addassnq  10383  distrnq  10386  ltanq  10396  ltexnq  10400  nsmallnq  10402  ltbtwnnq  10403  prlem934  10458  ltaddpr  10459  ltexprlem2  10462  ltexprlem3  10463  ltexprlem4  10464  ltexprlem6  10466  ltexprlem7  10467  prlem936  10472