Theorem addnqf 10961

Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnqf	⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10943	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		addpqf 10957	. . . 4 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6731	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10938	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5674	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6745	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 705	. 2 ⊢ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-plq 10927	. . 3 ⊢ +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6697	. 2 ⊢ ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 234	1 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3902   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  Ncnpi 10857   +_pQ cplpq 10861  Qcnq 10865  [Q]cerq 10867   +_Q cplq 10868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10885  df-pli 10886  df-mi 10887  df-lti 10888  df-plpq 10921  df-enq 10924  df-nq 10925  df-erq 10926  df-plq 10927  df-1nq 10929

This theorem is used by:  addcomnq  10964  adderpq  10969  addassnq  10971  distrnq  10974  ltanq  10984  ltexnq  10988  nsmallnq  10990  ltbtwnnq  10991  prlem934  11046  ltaddpr  11047  ltexprlem2  11050  ltexprlem3  11051  ltexprlem4  11052  ltexprlem6  11054  ltexprlem7  11055  prlem936  11060