Theorem addnqf 10934

Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnqf	⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10916	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		addpqf 10930	. . . 4 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6732	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10911	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3942	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5678	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 704	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6746	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 704	. 2 ⊢ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-plq 10900	. . 3 ⊢ +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6698	. 2 ⊢ ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 234	1 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Syntax hints:   ⊆ wss 3906   × cxp 5661   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  Ncnpi 10830   +_pQ cplpq 10834  Qcnq 10838  [Q]cerq 10840   +_Q cplq 10841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ni 10858  df-pli 10859  df-mi 10860  df-lti 10861  df-plpq 10894  df-enq 10897  df-nq 10898  df-erq 10899  df-plq 10900  df-1nq 10902

This theorem is referenced by:  addcomnq  10937  adderpq  10942  addassnq  10944  distrnq  10947  ltanq  10957  ltexnq  10961  nsmallnq  10963  ltbtwnnq  10964  prlem934  11019  ltaddpr  11020  ltexprlem2  11023  ltexprlem3  11024  ltexprlem4  11025  ltexprlem6  11027  ltexprlem7  11028  prlem936  11033