Theorem addnqf 11036

Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnqf	⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 11018	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		addpqf 11032	. . . 4 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6734	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 11013	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5665	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6748	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 705	. 2 ⊢ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-plq 11002	. . 3 ⊢ +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6700	. 2 ⊢ ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 234	1 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3895   × cxp 5648   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  Ncnpi 10932   +_pQ cplpq 10936  Qcnq 10940  [Q]cerq 10942   +_Q cplq 10943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ni 10960  df-pli 10961  df-mi 10962  df-lti 10963  df-plpq 10996  df-enq 10999  df-nq 11000  df-erq 11001  df-plq 11002  df-1nq 11004

This theorem is used by:  addcomnq  11039  adderpq  11044  addassnq  11046  distrnq  11049  ltanq  11059  ltexnq  11063  nsmallnq  11065  ltbtwnnq  11066  prlem934  11121  ltaddpr  11122  ltexprlem2  11125  ltexprlem3  11126  ltexprlem4  11127  ltexprlem6  11129  ltexprlem7  11130  prlem936  11135