MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnqf 10347
Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnqf +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 10329 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 addpqf 10343 . . . 4 +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6504 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 691 . . 3 ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 10324 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3947 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5543 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 691 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6517 . . 3 ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 691 . 2 (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-plq 10313 . . 3 +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6478 . 2 ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 234 1 +Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3910   × cxp 5526  cres 5530  ccom 5532  wf 6324  Ncnpi 10243   +pQ cplpq 10247  Qcnq 10251  [Q]cerq 10253   +Q cplq 10254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-ni 10271  df-pli 10272  df-mi 10273  df-lti 10274  df-plpq 10307  df-enq 10310  df-nq 10311  df-erq 10312  df-plq 10313  df-1nq 10315
This theorem is referenced by:  addcomnq  10350  adderpq  10355  addassnq  10357  distrnq  10360  ltanq  10370  ltexnq  10374  nsmallnq  10376  ltbtwnnq  10377  prlem934  10432  ltaddpr  10433  ltexprlem2  10436  ltexprlem3  10437  ltexprlem4  10438  ltexprlem6  10440  ltexprlem7  10441  prlem936  10446
  Copyright terms: Public domain W3C validator