MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnqf 10891
Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnqf +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 10873 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 addpqf 10887 . . . 4 +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6697 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 691 . . 3 ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 10868 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3953 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5653 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 691 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6713 . . 3 ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 691 . 2 (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-plq 10857 . . 3 +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6664 . 2 ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 230 1 +Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3915   × cxp 5636  cres 5640  ccom 5642  wf 6497  Ncnpi 10787   +pQ cplpq 10791  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   +Q cplq 10798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-1nq 10859
This theorem is referenced by:  addcomnq  10894  adderpq  10899  addassnq  10901  distrnq  10904  ltanq  10914  ltexnq  10918  nsmallnq  10920  ltbtwnnq  10921  prlem934  10976  ltaddpr  10977  ltexprlem2  10980  ltexprlem3  10981  ltexprlem4  10982  ltexprlem6  10984  ltexprlem7  10985  prlem936  10990
  Copyright terms: Public domain W3C validator