Theorem addnqf 10903

Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnqf	⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10885	. . . 4 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		addpqf 10899	. . . 4 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3		fco 6712	. . . 4 ⊢ (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
4	1, 2, 3	mp2an 702	. . 3 ⊢ ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5		elpqn 10880	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
6	5	ssriv 3940	. . . 4 ⊢ Q ⊆ (N × N)
7		xpss12 5660	. . . 4 ⊢ ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
8	6, 6, 7	mp2an 702	. . 3 ⊢ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9		fssres 6726	. . 3 ⊢ ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
10	4, 8, 9	mp2an 702	. 2 ⊢ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11		df-plq 10869	. . 3 ⊢ +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
12	11	feq1i 6678	. 2 ⊢ ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
13	10, 12	mpbir 233	1 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q

Syntax hints:   ⊆ wss 3904   × cxp 5643   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6513  Ncnpi 10799   +_pQ cplpq 10803  Qcnq 10807  [Q]cerq 10809   +_Q cplq 10810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-ni 10827  df-pli 10828  df-mi 10829  df-lti 10830  df-plpq 10863  df-enq 10866  df-nq 10867  df-erq 10868  df-plq 10869  df-1nq 10871

This theorem is referenced by:  addcomnq  10906  adderpq  10911  addassnq  10913  distrnq  10916  ltanq  10926  ltexnq  10930  nsmallnq  10932  ltbtwnnq  10933  prlem934  10988  ltaddpr  10989  ltexprlem2  10992  ltexprlem3  10993  ltexprlem4  10994  ltexprlem6  10996  ltexprlem7  10997  prlem936  11002