MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnqf 10058
Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnqf +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 10040 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 addpqf 10054 . . . 4 +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6276 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 675 . . 3 ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 10035 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3809 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5333 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 675 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6288 . . 3 ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 675 . 2 (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-plq 10024 . . 3 +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6250 . 2 ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 222 1 +Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3776   × cxp 5316  cres 5320  ccom 5322  wf 6100  Ncnpi 9954   +pQ cplpq 9958  Qcnq 9962  [Q]cerq 9964   +Q cplq 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ni 9982  df-pli 9983  df-mi 9984  df-lti 9985  df-plpq 10018  df-enq 10021  df-nq 10022  df-erq 10023  df-plq 10024  df-1nq 10026
This theorem is referenced by:  addcomnq  10061  adderpq  10066  addassnq  10068  distrnq  10071  ltanq  10081  ltexnq  10085  nsmallnq  10087  ltbtwnnq  10088  prlem934  10143  ltaddpr  10144  ltexprlem2  10147  ltexprlem3  10148  ltexprlem4  10149  ltexprlem6  10151  ltexprlem7  10152  prlem936  10157
  Copyright terms: Public domain W3C validator