Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2i 28614
 Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8 𝐴𝑋
ip2i.9 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2i ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 28602 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ip2i.8 . . . . . 6 𝐴𝑋
4 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
64, 5nvgcl 28406 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
72, 3, 3, 6mp3an 1458 . . . . 5 (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8 ip2i.9 . . . . 5 𝐵𝑋
9 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
104, 9dipcl 28498 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
112, 7, 8, 10mp3an 1458 . . . 4 ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
1211addid1i 10820 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
14 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
154, 5, 13, 14nvrinv 28437 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
162, 3, 15mp2an 691 . . . . . 6 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈)
1716oveq1i 7149 . . . . 5 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵)
184, 14, 9dip0l 28504 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
192, 8, 18mp2an 691 . . . . 5 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
2017, 19eqtri 2824 . . . 4 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
2120oveq2i 7150 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22 df-2 11692 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2322oveq1i 7149 . . . . 5 (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24 ax-1cn 10588 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2524, 24, 33pm3.2i 1336 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
264, 5, 13nvdir 28417 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
272, 25, 26mp2an 691 . . . . . 6 ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
284, 13nvsid 28413 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
292, 3, 28mp2an 691 . . . . . . 7 (1𝑆𝐴) = 𝐴
3029, 29oveq12i 7151 . . . . . 6 ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
3127, 30eqtri 2824 . . . . 5 ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3223, 31eqtri 2824 . . . 4 (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3332oveq1i 7149 . . 3 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
3412, 21, 333eqtr4ri 2835 . 2 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
354, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8ip1i 28613 . 2 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
3634, 35eqtri 2824 1 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  -cneg 10864  2c2 11684  NrmCVeccnv 28370   +𝑣 cpv 28371  BaseSetcba 28372   ·𝑠OLD cns 28373  0veccn0v 28374  ·𝑖OLDcdip 28486  CPreHilOLDccphlo 28598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-nmcv 28386  df-dip 28487  df-ph 28599 This theorem is referenced by:  ipdirilem  28615
 Copyright terms: Public domain W3C validator