MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2i 29812
Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ip2i.8 𝐴 ∈ 𝑋
ip2i.9 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2i ((2𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (2 Β· (𝐴𝑃𝐡))

Proof of Theorem ip2i
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 29800 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ip2i.8 . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
4 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
64, 5nvgcl 29604 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
72, 3, 3, 6mp3an 1462 . . . . 5 (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8 ip2i.9 . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
9 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
104, 9dipcl 29696 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
112, 7, 8, 10mp3an 1462 . . . 4 ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚
1211addid1i 11349 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡)
13 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
14 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
154, 5, 13, 14nvrinv 29635 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
162, 3, 15mp2an 691 . . . . . 6 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
1716oveq1i 7372 . . . . 5 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡)
184, 14, 9dip0l 29702 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0)
192, 8, 18mp2an 691 . . . . 5 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0
2017, 19eqtri 2765 . . . 4 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = 0
2120oveq2i 7373 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) + 0)
22 df-2 12223 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2322oveq1i 7372 . . . . 5 (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
2524, 24, 33pm3.2i 1340 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
264, 5, 13nvdir 29615 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
272, 25, 26mp2an 691 . . . . . 6 ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
284, 13nvsid 29611 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
292, 3, 28mp2an 691 . . . . . . 7 (1𝑆𝐴) = 𝐴
3029, 29oveq12i 7374 . . . . . 6 ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
3127, 30eqtri 2765 . . . . 5 ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3223, 31eqtri 2765 . . . 4 (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3332oveq1i 7372 . . 3 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡)
3412, 21, 333eqtr4ri 2776 . 2 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡))
354, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8ip1i 29811 . 2 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐡) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡)) = (2 Β· (𝐴𝑃𝐡))
3634, 35eqtri 2765 1 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (2 Β· (𝐴𝑃𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  -cneg 11393  2c2 12215  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  0veccn0v 29572  Β·π‘–OLDcdip 29684  CPreHilOLDccphlo 29796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-dip 29685  df-ph 29797
This theorem is referenced by:  ipdirilem  29813
  Copyright terms: Public domain W3C validator