Theorem ip2i 30857

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2i.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2i	⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30845	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2i.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 5	nvgcl 30649	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 3, 6	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8		ip2i.9	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	4, 9	dipcl 30741	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	2, 7, 8, 10	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
12	11	addridi 11446	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14	nvrinv 30680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
16	2, 3, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
17	16	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵)
18	4, 14, 9	dip0l 30747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
19	2, 8, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
20	17, 19	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
21	20	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22		df-2 12327	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24		ax-1cn 11211	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24, 24, 3	3pm3.2i 1338	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
26	4, 5, 13	nvdir 30660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
27	2, 25, 26	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
28	4, 13	nvsid 30656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	2, 3, 28	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
30	29, 29	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
31	27, 30	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
32	23, 31	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
33	32	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
34	12, 21, 33	3eqtr4ri 2774	. 2 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
35	4, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8	ip1i 30856	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
36	34, 35	eqtri 2763	1 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  2c2 12319  NrmCVeccnv 30613   +_𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·_𝑠OLD cns 30616  0_veccn0v 30617  ·_𝑖OLDcdip 30729  CPreHil_OLDccphlo 30841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-dip 30730  df-ph 30842

This theorem is referenced by:  ipdirilem  30858