Theorem ip2i 30917

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2i.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2i	⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30905	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2i.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 5	nvgcl 30709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 3, 6	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8		ip2i.9	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	4, 9	dipcl 30801	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	2, 7, 8, 10	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
12	11	addridi 11327	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14	nvrinv 30740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
16	2, 3, 15	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
17	16	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵)
18	4, 14, 9	dip0l 30807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
19	2, 8, 18	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
20	17, 19	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
21	20	oveq2i 7372	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22		df-2 12238	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24		ax-1cn 11090	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24, 24, 3	3pm3.2i 1341	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
26	4, 5, 13	nvdir 30720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
27	2, 25, 26	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
28	4, 13	nvsid 30716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	2, 3, 28	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
30	29, 29	oveq12i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
31	27, 30	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
32	23, 31	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
33	32	oveq1i 7371	. . 3 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
34	12, 21, 33	3eqtr4ri 2771	. 2 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
35	4, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8	ip1i 30916	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
36	34, 35	eqtri 2760	1 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  -cneg 11372  2c2 12230  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675   ·_𝑠OLD cns 30676  0_veccn0v 30677  ·_𝑖OLDcdip 30789  CPreHil_OLDccphlo 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-dip 30790  df-ph 30902

This theorem is referenced by:  ipdirilem  30918